§ 39] |
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ С |
ТЕПЛОПЕРЕДАЧЕЙ |
165 |
|||||
б) случай переменных тепловых |
потоков |
по радиусу дис |
||||||
ков: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
(fe = 0, |
1, |
.... п). |
|
Здесь |
а2к, |
b2k< с2к, d2k— заданные функции т. |
Кроме того, |
|||||
должны быть |
выполнены начальные условия: |
|
|
|
||||
|
|
02ft(C, 0)=0 |
==0,1(* |
...........п). |
|
|
||
После того как тепловая задача решена, локальные числа |
||||||||
Нуссельта No и Ni будут даваться |
формулами: |
|
|
|||||
|
|
с W т) |
|
|
|
|
|
|
No |
|
к = 0 |
VR |
Ni |
к = 0__________ |
|||
Vr |
|
2 02^(0.Rfe |
V е |
|
|
|||
|
|
к —О |
|
|
к =0 |
“27с (’ll z) “ |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
где
, дТ
То—характерная температура.
Полученное решение является точным в том смысле, что уравнения (6.74) и (6.78) могут быть решены, например, численным способом.
ГЛАВА VII
ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ
§40. Неизотермическое течение вязкой несжимаемой жидкости между двумя вращающимися цилиндрами
Рассмотрим установившееся течение вязкой жидкости между двумя неограниченными в направлении оси Oz кру говыми соосными цилиндрами под действием вращения этих
цилиндров: внутреннего, |
радиуса rlt с угловой скоростью Шр |
и внешнего, радиуса г2, |
с угловой скоростью о>2. Течения |
во всех плоскостях, перпендикулярных к Oz, будут тожде
ственны, |
т. е. движение |
будет плоское. |
Кроме того, будем |
||
полагать, |
что жидкость движется по концентрическим |
окруж |
|||
ностям с |
центрами на оси Oz. В силу |
симметрии характе |
|||
ристики движения не зависят от координаты <р. |
|
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
■цг = иг = 0, |
vv = v(r), |
р=р(г). |
(7.1) |
|
Рассматривая моменты |
сил трения |
т = тГ(р, приложенных |
|||
к внутренней и наружной поверхностям цилиндрического слоя
радиуса г и толщины dr, и имея в |
виду, что моменты |
сил |
действия и противодействия равны, получим уравнение |
|
|
^(^) = 0. |
|
(7.2) |
При этом напряжение трения т, согласно уравнениям (1.3), |
||
выражается в виде формулы |
|
|
Idv v \ |
d (v\ |
<7-3> |
T = 45F-7) = fir2rb)- |
||
Уравнение баланса энергии при неизотермическом течении выражается уравнением (1.7), которое для рассматриваемой
§ 40] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ 167
задачи, как нетрудно заметить, принимает вид:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0. |
|
|
(7.4) |
При малых по сравнению с |
|
значениях h — r2— |
можно |
|||||||||
вместо уравнений (7.2), |
(7.4) применить приближенные урав |
|||||||||||
нения, |
|
которые получаются |
из них |
пренебрежением |
членами |
|||||||
и |
X |
dT малыми |
ввиду |
малости относительной кривиз- |
||||||||
ны h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
т = const — т0, |
|
|
|
||||||
|
|
|
d?T |
|
|
|
|
|
|
|
(7-5) |
|
|
|
|
Х^ + ? = °- |
|
|
|
||||||
где |
|
При |
этом |
|
выражение (7.3) для |
напряжения |
||||||
трения |
примет вид: |
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
т = у. |
|
|
|
(7.5') |
||||
|
|
|
|
— . |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
Граничные условия задачи имеют вид: |
для скоростей |
|||||||||||
|
|
•и = ш1г1 |
|
при |
r = rlt |
| |
|
(7-6) |
||||
|
|
■и — <в2г2 |
|
при |
г = г2 |
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
для безразмерной температуры |
|
|
7*_ Т' |
|
|
|
||||||
& — -=-----=г- |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 2 |
1 |
|
|
|
|
& = 0 |
при |
|
/■ |
= 7'1,1 |
|
|
(7-7) |
|||
|
|
|
|
1 |
при |
|
Г = г2.) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рассмотрим простейшие случаи г). |
|
|
|
|||||||||
а) |
Теплообмен |
при |
у = const. В этом |
случае рас |
||||||||
пределение скоростей не зависит от процесса |
теплообмена. |
|||||||||||
Уравнение (7.2) принимает |
вид: |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
d!v |
. |
1 |
dv |
|
v |
„ |
|
|
(7.8) |
|
|
|
dr% |
‘~r |
dr |
|
r2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
Решением его при |
граничных условиях (7.6) является |
|||||||||||
|
|
(Г2 + («! - »2) r\ Г2 |
|
(7-9) |
||||||||
|
|
V — |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Тарг С. М., Основные задачи теории ламинарных течений, Гостехиздат, 1951.
168 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Тогда напряжение трения, согласно (7.3), получится рав ным
(7.10)
Подставляя полученное значение в уравнение (7.4), по лучим:
|
|
d( d»\ |
, |
*кпг |
|
|
|
(7.Н) |
||||
|
|
-Г- |
\r-r- |
-4--------J- = 0, |
|
|||||||
|
|
dr |
\ |
dr) |
1 |
|
г3 |
|
|
|
|
|
где |
т — безразмерный коэффициент, |
равный |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
2 |
2 |
z |
|
|
х2 |
|
(7-12) |
|
|
|
|
|
_ |
|
_. |
/ |
о |
• |
|
||
|
Решением уравнения (7.11) при граничных условиях (7.7) |
|||||||||||
будет |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
г2\ |
Г |
|
|
/ |
r2\1 In — |
(7.13) |
||||
|
—;) + 1 |
—т\ |
1----- v |
НА. |
||||||||
|
(гЧ' |
' |
|
|
|
\\ |
гг22. J 1п^ |
|
|
|||
|
Если пренебречь |
диссипацией |
энергии, |
т. е. положить |
||||||||
щ = 0, то распределение температур |
между цилиндрами |
бу |
||||||||||
дет |
определяться |
формулой |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
In |
- |
|
|
(7.14) |
||
|
|
|
|
» = —И- |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1п^ |
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что |
эта |
|
формула |
Ч |
будет справедлива |
и |
для |
||||
|
|
|
||||||||||
любого вида функции р.(Т').
Теплоотдача от стенок цилиндров определится значениями производной от & вблизи стенок:
d»I |
d» I |
dr lr=rl’ dr 'r=r2 ‘ |
|
б) Теплообмен в |
тонком слое при р.(&) =/= const. |
При этом случае можно |
воспользоваться уравнениями (7.5). |
Переходя к безразмерной температуре & и безразмерной ко ординате -ц — у/г, получим из уравнений (7.5) дифферен циальное уравнение
d^ |
h2-2 |
(7-15) |
d^ |
Х(Г2 — Tt)p. = °’ |