§ 40] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ |
169 |
|||||||
в |
котором подставим |
заданную зависимость р. = <л (&) |
в |
виде |
||||
|
|
|
1 = |
|
|
(7.16) |
||
|
|
|
I1 |
Р-о |
|
|
|
|
И |
затем интегрируем |
его |
для |
заданных |
граничных |
условий |
||
|
& = 0 |
при |
т) = 0, |
&=1 при |
tj = 1. |
(7.17) |
||
|
Например, при |
зависимости |
|
|
|
|
||
|
|
|
JL^Ad+aa»), |
|
(7.18) |
|||
|
|
|
Р |
Рр |
|
|
|
|
которая приближенно справедлива для капельных жидкостей, уравнение (7.15) примет вид:
g+„2a2&__„2i |
(7.19) |
где
Решением этого уравнения, удовлетворяющим граничным условиям (7.17), является выражение
&+ a'in(na) (Па) sin (»g7))+cos (пат;) — 1] . (7.21)
Для определения скорости v обратимся к формуле (7.5'), принимающей вид:
|
|
|
«т) |
р.о |
|
|
(7 22) |
|
|
|
|
|
|
||
Считая внутренний цилиндр неподвижным, |
т. е. |
|
|||||
|
|
|
■Ц —0 |
При |
7] = 0, |
|
(7.23) |
|
|
|
V — U |
При |
7) = 1, |
|
|
|
|
|
|
|
|||
получим после |
интегрирования |
(7.22) с удовлетворением пер |
|||||
вому граничному условию |
(7.23): |
|
|
||||
Лт0 |
f |
1 |
4-a® — COS (Па) |
. |
. . |
.1 |
|
v =>--- |
< |
—I———r-i—- [ 1 |
— cos (пат)) -4- sin (пат]) >. |
||||
пало |
I |
|
sin (па) |
‘ |
1 |
v |
1'} |
170 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Подставляя сюда значение т0 из (7.20), получим оконча тельно:
|
|
1 4- а2 — COS (па) |
., |
, ,, |
, |
|
|||
а |
Р-0 |
|
, , |
.—- |
1 |
1 |
— COS (пат]) |
+ |
|
|
Sin (па) |
|
v |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
-|- sin (пат)) |, (7.24) |
||
где п определяется |
согласно |
второму граничному усло |
|||||||
вию (7.23) из |
соотношения |
|
|
|
|
|
|
||
|
tg —= - |
|
|
|
—■ . |
(7.25) |
7 |
||
|
& 2 — 2 4-а2 V |
Х(Г2 — |
Гх) |
v |
|||||
Напряжение трения т0 определится формулой (7.20). |
|
||||||||
В общем |
случае |
для |
произвольного вида функции F (&) |
||||||
уравнение (7.15) перепишем в виде |
|
|
|
|
|
||||
где |
|
UV |
+ & |
|
|
|
|
(7.26) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А2 = ТТТ-----ГЙГ’ |
(7’27) |
||||||
|
|
|
Л(/2— |
|
|
|
|
|
|
а штрихи обозначают производные по т). |
|
|
|||||||
Интегрируя уравнение |
(7.26) |
по переменной &, |
находим: |
||||||
где |
&'= ± |
ф(&), |
(7.28) |
||||||
|
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<p(») = J F(&)d&, |
(7.29) |
||||||
а %—постоянная интегрирования, подлежащая определению.
Знак перед |
радикалом |
определяется |
знаком |
производной. |
||
Интегрируя |
(7.28) |
по т) |
и |
удовлетворяя условию & = 0 при |
||
т] = 0, получим: |
|
» |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)— kJ |
±/ф0-|(») ■ |
(7.30) |
|||
|
|
|||||
Второе условие |
(&=1 при tq = 1) |
дает соотношение для |
||||
определения постоянной |
ф0: |
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
|
(7.31) |
|
|
f ----- |
= k. |
|||
/±Гфо—К»)
§ 41] |
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ |
ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |
171 |
||
■ Для нахождения v заменим |
в (7.5х) р выражением |
(7.16) |
|||
и перейдем к |
переменной 3; получим: |
|
|||
|
|
rfo |
(ft), |
|
|
|
|
Ро |
|
||
что с |
учетом |
(7.28) дает |
после интегрирования |
|
|
|
v = |
» |
|
|
|
|
•*/ |
-----(7.32) |
|
||
|
|
^Ро у |
± 'Кфо — Ф (®) |
|
|
Здесь удовлетворено граничное условие v = Ux при & = 0. Другое условие, v = U2 при ft=l, приводит к уравнению
|
|
U |
U |
|
Г -----F(^>d* |
, |
(7.33) |
||
|
|
2 |
|
|
J ±/ф0-ф(&) |
|
|
||
которое служит для определения т0. |
|
|
|
||||||
|
|
§ 41. Неизотермическое течение сжимаемого |
|
||||||
|
|
вязкого газа вокруг вращающегося цилиндра |
|
||||||
|
Л. Г. Степанянц1) решил задачу о ламинарном течении |
||||||||
вокруг цилиндра с |
|
учетом сжимаемости и зависимости вяз |
|||||||
кости |
от температуры. |
|
|
|
|
|
|||
|
Уравнение баланса энергии, которое в общем случае |
||||||||
сжимаемого нагреваемого газа имеет векторный вид2):* |
|
||||||||
div [р V (i + |
|
— р grad |
-|- V2j — р rot (V X V) + |
||||||
|
|
|
|
4-ypVdiv V] = O, |
|
|
|||
в |
рассматриваемом |
случае |
приводится к простому виду: |
||||||
|
|
dr ( |
' |
|
+ |
1} = °’ |
<7-34) |
||
|
|
L dr \ Р 1 |
2 / |
г J j |
|
|
|||
где |
I — теплосодержание |
газа: |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
1 = срТ. |
|
|
|
|
|
х) Степанянц Л. Г., |
Некоторые случаи движения сжимае |
|||||||
мого |
вязкого газа, |
|
Труды |
ЛПИ, Энергомашиностроение, |
№ 5, |
||||
1953. |
Л о й ц я н с к и й Л. Г., |
Механика |
жидкости и газа, Физ- |
||||||
|
2) |
||||||||
матгиз, 19159, стр. 700.
172 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Уравнение равновесия частицы газа, на которую действует центробежная сила и градиент давления, имеет такой же вид, как и для несжимаемой жидкости:
dp ри2
(7.35)
dr г '
Для несжимаемой жидкости это уравнение получается также из первого уравнения системы (1.1).
Сохраняется также уравнение (7.2) постоянства момента
трения. Для полноты системы уравнений |
следует еще при |
|
соединить уравнение |
Клапейрона |
|
|
^ = /?Т=:±=1 j, |
(7.36) |
где k — показатель |
изэнтропы, и уравнение зависимости вяз |
|
кости газа от температуры в форме |
|
|
Переходя далее к безразмерным величинам, взяв за мас штабы рассматриваемых величин их значения на поверхности цилиндра, т. е. при г~гг, и введя еще обозначение
Pl
получим следующую систему дифференциальных уравнений,
при записи |
которой сохраним старые обозначения: |
|
1 |
dp |
ри2 |
|
dr |
г ’ |
?- = 1, =
Рг
Будем решать эту систему при граничных условиях, относя щихся к случаю вращения цилиндра в неограниченном про
§ 41] НЕИЗОТЕРМИЧЕСЁОЁ ТЁЧЁНИЁ СЖИМАЕМОГО ГАЗА 173
странстве с монотонным изменением теплосодержания в бес конечности:
при г 1 ?,=/> = 4" |
= 1, |
|
при r->oo v -> 0, |
---- >о1— , а>1. |
|
dr |
\ н |
|
Введенное выше число Mt представляет собой отношение окружной скорости поверхности цилиндра к скорости звука в идеальном газе, имеющем температуру поверхности ци линдра.
Второе, третье и пятое уравнения системы (7.38) можно выделить в самостоятельную систему относительно трех не
известных v, i и |
[л. Интегрируя их по одному разу, |
получим: |
||
d |
I_____ l_ |
и2 \ |
v* ’ = b, |
(7.40) |
Из граничного условия при г —> оо сразу получаем £ = 0. Исключим из полученной системы дифференциальных уравнений величину р и введем новую неизвестную функцию /г2, приняв за новый аргумент величину о) = г>/г; тогда
после простейших преобразований получим систему
^ + р(^-1)М!« = о,
|
я2 |
dz |
|
(7.41) |
|
2 |
da |
|
|
с граничными |
условиями: |
|
|
|
|
при |
о> = 0 |
2 = 0, |
|
|
при |
О) = 1 |
2=1, |
4=1. |
Исключением |
величины |
I получим из |
(7.41) уравнение |
|
(7.42)
где
р = ир(/г—1)М?(|«2') п
1'74 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО |
ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ среде [гл. VH |
|
с граничными условиями: |
|
|
при ш = О |
2 = 0, |
|
При (1) |
= 1 |
(7.43) |
2=1. |
||
Величина р рассматривается при решении (7.42) как неопре
деленный |
параметр и |
определяется из второго |
уравне |
|||
ния |
(7.41) |
при условии: |
|
|
|
|
|
|
|
при <в = 1 |
z = 1. |
|
|
Нетрудно |
заметить, |
что для |
каждого заданного п пара |
|||
метр |
р будет |
функцией |
величины |
<р: |
|
|
|
|
|
<р = р (А—1) Mi = P9i, |
|
||
где |
9 — температурный |
критерий, |
определенный в § |
21. |
||
Для случая ге=0, т. е. постоянного коэффициента вяз кости (х= 1, легко сразу найти решение системы (7.38):
=;=1 + Р(й_ 1)М?(1—О;
к |
|
к |
|
|
|
} |
(7.44)' |
p = i2p(ft-1); n = isp(/c~1) |
; |
р,= 1. |
|
||||
Рассмотрим решение |
задачи для |
случая |
zz= 1, |
соответ |
|||
ствующего газам с |
не |
слишком |
высокими |
температурами, |
|||
а также для случая |
|
1 |
газов |
с высокими |
темпера |
||
п = -% — для |
|||||||
турами.
Вращение цилиндра в газе при п=1. В этом
случае уравнение (7.42) примет вид: |
|
|
2S+ “=o- |
<7-45> |
|
Для теплосодержания из второго уравнения |
(7.4) получим: |
|
,4 dz |
|
|
0 |
d<& • |
|
Решение вблизи 2 = 0, ш = 0 |
разыскивается |
в виде степей- |