I 41] |
нёизотёРмичёсйоё тёчёниё |
сжимаемого газа |
1Т5 |
кого |
ряда |
|
|
|
2 = 2сх. |
(7-46) |
|
|
8=1 |
|
|
сходящегося вместе с производной |
при -^ < 1 !)• |
|
|
Коэффициенты Cs определяются из рекуррентных соот- |
|||
ношений: |
|
|
|
2Ci ’ |
|
j |
i |
V} . . |
> (7.47) |
Cs—— s(s—l)Ct |
I |
^=з |
) |
Таким образом: |
|
z = CjW |
|
(7.48)
причем Ct и р должны быть найдены из условий при ш = 1, г=1 и I = 1.
Заметим, что требование положительности теплосодержания i > 0 приводит к условию
-Ц- <0,76,
Q2
обеспечивающему сходимость полученных рядов во всей интересующей нас области изменения переменных.
Результаты вычислений — изменение скорости v и тепло содержания I вдоль радиуса — представлены на рис. 64
и65.
i)К а м к е Э., Справочник по обыкновенным дифференциаль ным уравнениям, ИЛ, 1951.
176 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЙЗКОЙ СРЁДЕ (ГЛ. VII
По найденным значениям v и |
I |
находим р и р из первого |
|
и четвертого уравнений системы |
(7.38), интегрирование ко |
||
торых при условии р — 1 при г — 1 дает для |
давления |
||
(1 |
Г |
\ |
(7.49) |
|
/ |
||
/гМ? У |
~~pdr ). |
||
Плотность вычисляется затем из уравнения р=у.
На рис. 66 и 67 представлены графики распределений р и р по радиусу для воздуха (k— 1,4, Р = 0,75). Для боль ших значений ср полученные значения величин р и р нельзя считать достоверными, так как при больших ср велики также температуры (теплосодержания) газа (см. рис. 65), и до пущение п= 1 теряет силу.
§ 41] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |
177 |
Рис. 65. |
Распределение теплосодер |
Рис. |
66. Распределение давлений вбли |
жания вблизи вращающегося в газе |
зи |
вращающегося в газе цилиндра |
|
цилиндра при л — 1 (по Степанянцу). |
|
при п=1 (по Степанянцу). |
|
Цифры |
в квадратных скобках обозна |
|
|
чают значения в бесконечности.
Рис. 67. Распределение плотности вблизи |
Рис. 68. Коэффициент сопротивле |
вращающегося в газе цилиндра при п = 1 |
ния вращающегося в газе цилиндра |
(по Степанянцу). |
(по Степанянцу). |
12 Зак. 944. Л. А. Дорфман
178 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
|
Коэффициент трення |
поверхности цилиндра |
о газ |
cf = |
||||
-—-— получается равным |
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
ТРА |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г _ 1 |
4? |
р _ PA^i |
|
(7.50) |
||
|
|
Cf— R?T’ |
— |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Н. |
|
|
|
|
График изменения |
изображен на |
рис. 68. |
Для n — Q, |
||||
как |
и |
для несжимаемой жидкости, |
c/. = 4/R1. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
Теплоотдача |
цилиндра |
||
|
|
|
|
характеризуется |
величиной |
|||
|
|
|
|
|
N |
|
2^, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
’■=х‘ЖЬ(7-51> |
|||
|
|
|
|
значения которого изобра |
||||
|
|
|
|
жены на рис. 69. |
|
|||
|
|
|
|
|
Для п — 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N = 2<f> |
|
(7.52) |
|
|
|
|
|
Вращение |
цилин |
||
|
|
|
|
дра в |
газе с |
высокой |
||
|
|
|
|
температурой (п = 0,5). |
||||
|
|
|
|
В |
этом случае |
уравнение |
||
|
|
|
|
(7.42) примет вид: |
|
|||
|
|
|
|
|
dz |
d^z |
|
|
|
|
|
|
|
du> |
da1 H“ = 0, |
(7.53) |
|
|
|
|
|
где |
|
|
|
|
Рис. |
69. |
Коэффициент теплоотдачи вра- |
|
2Р (Й—1) М? |
2ср |
|||
щающегося в газе цилиндра (по Степа- |
|
R —------------------------- =------ ф |
||||||
|
|
нянцу). |
|
|
• |
|
|
' |
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.54) |
Для определения теплосодержания i и вязкости jx получим соответственно уравнения:
2 \ d® ,/ ’ |
(7.55) |
||
|
|||
ср |
dz |
(7.56) |
|
2р |
da |
||
|
|||
§ |
41] |
НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ |
ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |
179 |
||
|
Для |
нахождения связи |
р = р (ср) в |
настоящем |
случае |
|
удобно |
воспользоваться |
условием |
|
|
||
|
|
при |
о>=1 (1=1. |
|
|
|
|
Как |
и выше, решение ищем в виде |
степенного ряда |
|||
|
|
2 = 2 |
|
(7-57) |
||
|
|
|
|
т=1 |
|
|
|
Для |
определения С2 получаем после подстановки ряда |
||||
в |
(7.53) |
уравнение |
|
|
|
|
2С<Сг —|— Р = 0,
а для вычисления последующих коэффициентов—рекуррент ную формулу
2 • 1С2/тД-3 • 2С3/И1__1Д- . . . -\-т(т— \)Ст12 =
= — (/и —1) тСт+1Сг,
где
S-1
7S = 2 С/+ 1) Cs-jCs+r j=0
В |
результате получаем: |
|
|
|
|
|
|
|
1 / Р<0 \ |
1 / Р<0 \2 |
|
11 f |
\3 |
’ |
|
|
2 \ С® / ~’Т \cfj — 48 |
\ Cf) — |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
(7.58) |
а для |
коэффициента вязкости, согласно |
(7.56), |
имеем: |
|
|||
(1 — |
р® \ |
2 |
2 |
|
11 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
с®-) |
4 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(7.59) |
Л. |
Г. Степанянцу удалось просто |
доказать сходимость |
|||||
ряда |
В® |
По-видимому, имеет место’ схо |
|||||
(7.58) при |
|||||||
|
С® |
|
|
|
|
|
|
димость вплоть до предельного значения |
= 0,45 |
(соот |
|||||
ветствующего 1 = 0). |
|
|
|
|
|
|
|
Для определения постоянных Сх и |
{3 |
следует подчинить |
|||||
ряды (7.58) и (7.59) условиям: |
|
|
|
|
|
||
|
при со =1: |
2=1, ц=1. |
|
|
|||
12*
180 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII
Результаты вычислений величин v, I, р, р, [л, crRt и N представлены на графиках рис. 68—74. Нетрудно убедиться, что величины с? и N определяются по формулам:
cfRi — 2|/" V ,
(7.60)
Течение газа между двумя вращающимися
цилиндрами. Л. Г. Степанянц рассмотрел также задачу о движении сжимаемого газа между двумя вращающимися соосными цилиндрами при уело-'
Рис. 70. Распределение скоростей вблизи вращающегося в газе цилиндра при п ==0,5 (по Степанянцу).
после введения переменной ния примет вид:
Г3|1 |
d<s> |
а, |
~dr |
вии, что внешний цилиндр является нетеплопроводным. В этом случае систему (7.38) следует решить при граничных условиях:
при г = 1: V— 1, / = 1,
р= 1,
при г = r2: v = «>2г2 = v2,
dr
Как и ранее, выделяем систе му из трех уравнений, которая ш — vlr и одного интегрирова
[-^+Р*( -1) |
м!А> -g-] = ь, |
(7-61) |
|
v = tn.
Постоянная b может быть выражена через постоянную а
благодаря граничному условию Ч£ = 0 при г~гг- Как сле
дует из (7.61),
Ь = — Р(А— 1)М?а<о2.
§ 41] НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА |
181 |
Рис. 71. Распределение теплосодержа |
Рис. 72. Распределение давлений вблизи |
ния вблизи вращающегося в газе ци |
вращающегося в газе цилиндра при /2 =0,5 |
линдра при п=0,5 (по Степанянцу). |
(по Степанянцу). |
1,0 |
1,4 |
1,8 |
2,2 |
8,0 г |
|
|
Рис. |
73. |
Распределение |
плотности |
Рис. 74. Изменение вязкости вблизи |
||
вблизи вращающегося в газе цилиндра |
вращающегося |
в газе цилиндра при |
||||
|
при л=0,5 (по Степанянцу). s |
<р==2,7 |
(по Степанянцу). |
|||