Материал: Дорфман Л.А. Гидродинамическое сопротивление и теплоотдача вращающихся тел

§ 42] ОБ ЭФФЕКТЕ РАНКА 183

пературного напора на сопротивление и теплоотдачу вращаю­ щегося цилиндра. Вместе с тем следует обратить внимание на то, что все изложенное относится к ламинарным течениям. С увеличением скорости вращения цилиндров теряется устой­ чивость ламинарных течений и они переходят в турбулент­ ные течения, для которых приведенные решения уже не­ справедливы !).

§ 42. Об эффекте Ранка

Если тангенциально подавать в цилиндрическую трубку газ под давлением, то в трубке образуется вращающийся поток. Ранк заметил12), что при этом наблюдается различие температуры торможения в приосевых и периферийных струйках, достигающее нескольких десятков градусов. На этом эффекте основано температурное разделение газов и паров.

в стационарном одномерном круговом движении вязкого газа. Воспользуемся уравнением (7.34) и будем для простоты

считать физические константы р, X, ср постоянными.

Тогда после интегрирования с учетом условий прилипа­ ния газа к твердой стенке и отсутствия теплоотвода на одной из границ приходим к выражению для температуры

1) Дальнейшее развитие вопросов, рассмотренных в § 40 и 41, дано в работе Борисенко А. И. и Мышки с А. Д„ Темпера­ турные и скоростные поля при ламинарном движении жидкости между вращающимися коаксиальными цилиндрами, ПММ, т. XXIII,

Тогда в соответствии со сказанным выше получим возраста­ ние температуры торможения от оси к периферии.

Более точный количественный результат, учитывающий зависимость вязкости от температуры, можно получить, если использовать данные предыдущего параграфа.

§ 43. Устойчивость течения между двумя вращающимися цилиндрами

Для исследования устойчивости стационарного движения жидкости между двумя вращающимися цилиндрами в пре­ дельном случае сколь угодно больших чисел Рейнольдса

леем *).

Рассмотрим какой-нибудь произвольно малый участок жидкости и предположим, что он смещается с траектории своего движения. При этом появляются силы, действующие на смещенный участок жидкости. Для устойчивости основ­ ного движения необходимо, чтобы эти силы стремились вернуть смещенный элемент в исходное положение.

Обозначим через М (г) = тгг<а момент импульса элемента жидкости, движущегося по радиусу г = const. Центробежная

сила Л42 , действующая на этот элемент, уравновешивается

соответствующим радиальным градиентом давления.

Пусть теперь элемент на радиусе г0 подвергается малому смещению со своей траектории на радиус г > г0. Сохраняю­ щийся момент импульса будет равен Л10=7И(г0), а центро-

бежная сила равна , Для того чтобы элемент стремился

возвратиться в исходное положение, нужно, чтобы эта центробежная сила была меньше той, которая имеется на

Вычисляя М, равное тггш, и опуская все заведомо положи­ тельные множители, получим из (7.64):

186 ВРАЩЕНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА В ВЯЗКОЙ СРЕДЕ [ГЛ. VII

Если цилиндры вращаются в противоположных направлениях,

покоится внутренний цилиндр (<)>! == 0), то движение устойчиво. Следует подчеркнуть, что в указанных рассуждениях совершенно не учитывалось влияние вязких сил трения при смещении элемента жидкости, так что полученный результат справедлив при достаточно малой вязкости, т. е. при доста­

точно больших числах Рейнольдса.

Для определения устойчивости движения при произволь­ ных числах R надо исходить из общего метода наложения на основной поток малых колебаний, подобно тому как это делалось для случая вращающегося диска (§ 12).

Наложим на основной поток [см. уравнение (7.9)] vr =v, = 0, v„ =Дг~]---- ,

где

малые колебания х)

two rotating cylinders, Proc. Roy. Soc. (A), t. 223, стр. 289, 1923.