§ 7] |
ПРИБЛИЖЁННЫЙ РАСЧЕТ ВЛИЯНИЯ ОБДУВА |
33 |
откуда находим:
|
|
|
|
(2.49) |
Момент |
трения пропорционален производной |
| , |
||
которая равна |
|
|
|
|
|
-^1 =-v- |
(*23-5°) |
||
|
dz |
12=0 |
60 |
|
Величина A( |
поэтому |
будет |
равна |
|
|
|
|
lg=O |
(2.51) |
|
|
|
|
|
Ьо
где 80 определяется по формуле (2.49).
Полученное приближенное решение для |
дает зна- |
чения, достаточно близкие к точным, как это видно из рис. 7 (кривая 2).
Шлихтинг и Труккенбродт1) получили приближенное ре шение задачи об обдуве диска при ламинарном режиме мето-
дом Польгаузена, раздельно решая задачу для случаев —
и> 1. Впервые метод Польгаузена для задачи о течении
вокруг вращающегося диска без обдува был применен Кар маном 2). Решения этим методом получаются более громозд кие, чем методом Слезкина-Тарга.
i) Schlichting Н. und Truckenbrodt Е., Die Stromung an einer angeblasenen rotierenden Scheibe, ZAMM, t. 32, № 415, 1952.
2) См. сноску на стр. 15.
3 Зак. 944. Л. А. Дорфман
34 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
|
§ 8. Влияние равномерного отсоса |
|
|
по поверхности диска |
|
Стюарт1) рассмотрел задачу о влиянии равномерного от |
||
соса |
по поверхности диска на ламинарное течение |
вокруг |
вращающегося диска и дал ей изящное решение.
Систему обыкновенных дифференциальных уравнений (2.7) в этом случае следует решить при граничных условиях:
F = 0, |
G=l, H = — k при С = 0, |
] |
|
|
F = O = 0 |
при С = |
J <2'52> |
где величина k |
есть параметр |
отсоса. При больших значе |
|
ниях k первые два уравнения (2.7) можно в первом прибли жении представить в виде
F" — — kF' — G2,
G" = — kG'.
Из второго уравнения этой системы при граничных усло
виях (2.52) |
получается |
0 = е-к. |
|
(2.54) |
||
|
|
|
||||
Тогда первое уравнение (2.53) дает |
|
|
||||
|
Р = |
|
|
|
<2-55) |
|
Для получения полного |
решения введем |
новое перемен |
||||
ное |
|
т] = К. |
|
|
(2.56) |
|
|
|
|
|
|||
Система |
уравнений |
(2.7) |
без |
третьего |
уравнения, служа |
|
щего для определения |
давления, |
преобразуется к виду: |
||||
|
k2F" = F2 + kF'H—G2, |
] |
(2.57) |
|||
|
k2G" = 2FG-±-kG'H, |
[ |
||||
|
0 = 2F + kH'. |
J |
|
|||
Знак дифференцирования (штрих) здесь обозначает диффе ренцирование ПО 7].
1) S t u а г t I. Т., On the effects of uniform suction on the steady flow due to a rotating disc, The quarterly Journal of Meeh, and appl. Math., t. 7, № 4, 1954.
§ 8] |
влияние Равномерного отсоса |
35 |
При больших значениях k решение разыскивается в виде |
||
рядов: |
СО |
|
|
|
|
|
4 = 0 |
|
|
со |
|
|
F = 2^iW. |
(2.58) |
|
4 = 0 |
|
со
G = 2&-iGi(7]).
i = 0
Подставив их в (2.57) и приравнивая члены при одинаковых степенях k, получим рекуррентные системы дифференциаль ных уравнений:
F'i -+П =
F" -4- /•' |
||
2п |
• |
2п |
|
|
4 = 0 |
|
|
2П-1 |
п-1
^п+1 + Пп+1 = 2 Z (Ffzn-1-i - ОЛп-1-i) +
« = 0 |
|
(«Я); |
|
|
|
||
|
|
(2.59) |
|
о;+о;=о. |
|
|
|
g-+g; = hog; |
|
|(2.60) |
|
П-2 |
П-1 |
||
V ' |
|||
°:+2 |
2 |
(« > 2>; |
|
г=0 |
г=0 |
|
|
«>0. |
|
|
|
">-2F.-. |
(2-61) |
||
з*
36 ЛАМИНАРНОЙ ТЕЧЁНИЙ ВОКРУГ ДИСКА (гл. 11
Соответствующие граничные условия для этих уравнений будут:
F=0, |
O0=l, G„=0, Н„=0 |
при т] = 0, 1 |
||
|
|
F, = O„ = 0 |
|
при 7) = со) ( ' |
(v = 0, 1, |
2, |
3, ..., п, ...; р.= 1, |
2, |
3, .... п, ...). |
Решая последовательно эти уравнения при соответствую |
||||
щих граничных |
условиях, получим |
следующие выражения |
||
для искомых функций при больших значениях параметра k:
Г = i ■ |
+1. [( -1 - ш) |
|
|
|
||
+(4 ’i+тд ‘ +V-” - й ‘"4']+ |
|
|||||
, |
1 [71 |
, . 319 , |
28 369\Л_^ |
, |
|
|
+ |
[\16Т‘ |
+б76Т|+ |
34 56о) |
|
+ |
|
+ ( —Т71 |
"Эб 71— 384/ 2, + 1~ 16 71 |
~57б)6 |
+ |
|||
“Нтг71 |
8й)6 4Г|"^2304е 511 ~ 17 280 |
е |
|
° (j!5) ’ |
||
°=е~"+i [S е~п~ 17)6-11 те 6-3°]+ |
|
|
(2.63) |
|||
|
|
|
||||
+i [(17)2+S - те)6-11+1 |
|
6-311+ |
||||
|
+S6-411-ЗТ46-И] + °(^)> |
<2-64) |
||||
Н = — & + (— g-4-е--)— g е’27])+йт’[288 + |
|
|||||
+(“ Н“й)е-11+(47)+й)б-211+Ае-311—2§8e-4ii]+
|
|
. |
1 |
|
Г |
21 023 |
. / 1 |
|
„ , |
|
391 |
. |
51 829 \ ' |
, |
|
|
||
|
|
+ /ги |
[ |
12 960+ |
\ 8 71 |
|
+288 |
71 |
+17 |
280 |
)е |
+ |
|
|
||||
. |
|
/ |
1 |
2 |
|
119 |
145\ |
|
„ |
. |
/ |
1 |
71 |
209\ _3„ . |
+ |
|||
+ \ |
|
4 71 |
|
96 71 |
128)е |
|
-Ц |
8 |
864)6 |
|
||||||||
|
+ (144 71 |
— 21б) 6-411 + 5760 6-5,1 ~ 5Г840 6-6\| + ° (^) ’ |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.65) |
|
где |
знак |
О |
|
|
обозначает |
бесконечно |
малую величину по- |
|||||||||||
рядка 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
§ 8] |
ВЛИЯНИЕ |
РАВНОМЕРНОГО |
ОТСОСА |
37 |
||
Для |
малых чисел k |
можно |
применить метод |
Кокрэна |
||
(см. § |
4). Вблизи |
С=0 функции F, |
G, Н представляются |
|||
в виде степенных |
рядов: |
|
|
|
||
|
|
F = |
•••■ |
|
|
|
О = 1 —,
tf = — k — а^2+ ....
а для больших значений С используются их асимптотические
представления:
F~Ae~^+- ....
G~Be~cr-+ ....
И-------с+(2_^е-^+...
Эти представления затем сращиваются и находятся неизвест ные постоянные.
Рис. 8. Распределение радиальных скоростей около вращающегося диска при равномерном отсосе (по Стюарту).
Для значения k — 1 численно были определены их зна чения:
а1 = 0,389; ^=-1,175; /1 = 0,334; В= 1,034; с = 1,259.
Графики изменения величин F и G вблизи диска приве дены на рис. 8 и 9.
38 |
ЛАМИНАРНОЕ |
ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
Вычислим некоторые характерные толщины пограничного |
|||
слоя на |
вращающемся |
диске, определяемые по |
окружной |
Рис. 9. Распределение окружных скоростей около вращающегося диска при равномерном отсосе (по Стюарту).
составляющей скорости вблизи диска:
СО
2 00
ол (2.66)
О |
о |
(2.67)
и их отношение
(2.68)
Подставив значение G по формуле (2.64), получим после выполнения интегрирования для больших значений k:
(2.69)
(2.70)
(2.71)