§ 81 ВЛИЯНИЕ РАВНОМЕРНОГО ОТСОСА 39
Результаты вычислений этих величин приведены в таблице 3. В ней даны значения
Нт = lim Н и |
Р |
Фо, = lim arctg , |
|
< ОО |
? > 00 |
а также Гтпт. |
Таблица 3 |
|
Характерные постоянные для течения около вращающегося диска при равномерном отсосе
с поверхности диска
(по Стюарту)
k
о«
IF '
р
Фоо
0 1 2 3 4 ОО
1,271 |
0,811 |
0,488 |
0,331 |
0,250 |
0 |
0,599 |
0,401 |
0,244 |
0,166 |
0,125 |
0 |
2,122 |
2,022 |
2 |
2 |
2 |
2 |
0,181 |
0,080 |
0,0295 |
0,0136 |
0,0078 |
0 |
0,886 |
1,259 |
2,057 |
3,019 |
4,008 |
0 |
0,886 |
0,259 |
0,057 |
0,019 |
0,008 |
0 |
37° 42' |
17° 54' |
6° 47' |
3°10' |
1°48' |
0 |
Заметим, что величины Hv, для больших значений k вы числяются по формуле
/у |
=__£__ _J_ £-3 |
|
__2Ю23 , -it , |
(2 72) |
||
0° |
п |
2 к |
-±-288« |
12960 й |
Н----(2-/^) |
|
Интересно, |
что если |
построить профили скоростей в от |
||||
ношении абсциссы *д, /В |
то практически |
значения О |
||||
совпадают для |
всех значений |
k (рис. 10). |
Значения |
|||
имеют максимум в одной и той |
же точке |
и |
характер |
|||
кривых |
F |
отличается лишь |
масштабом |
по оси |
ординат |
|
40 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
|
(рис. 11). Таким образом, |
все кривые можно приблизительно |
||
представить в виде формул: |
|
||
|
( |
_г£\ |
|
|
F = А |
г* — е |
|
|
G = e~^, |
(2.73) |
|
|
|
||
|
4^тах |
|
|
|
Для оценки изменения |
момента трения и радиальной со |
|
ставляющей напряжения трения вычислим производные Д'(0),
Рис. 10. Значения безразмерной окружной скорости С? в зависимости от безразмер ного расстояния p.=z/5* (по Стюарту).
О' (0). Из формул (2.63), (2.64) для больших значений k получим:
д'(0)=4/г-1-4^-5+й-^-9+ ....
(2-74)
G'(0) = - k-1 А-3 + й й~7+ •••
Числовые значения этих величин для разных значений k при ведены в таблице 4.
§ 8] |
ВЛИЯНИЕ РАВНОМЕРНОГО |
ОТСОСА |
|
41 |
||
|
|
|
|
|
Таблица 4 |
|
Значения величин F’ (0) |
и — G' (0) для различной |
|||||
интенсивности отсоса с поверхности диска |
|
|||||
k |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
оо |
F' (0) |
0,510 |
0,389 |
0,249 |
0,167 |
0,125 |
0 |
- G' (0) |
0,616 |
1,175 |
2,041 |
3,012 |
4,005 |
оо |
Отсюда следует, что отсос увеличивает момент трения вращающегося диска, уменьшая в то же время радиальную составляющую напряжения трения.
42 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
§9. Течение вокруг диска при внезапном разгоне
иостановке
Рассмотрим задачи нестационарного течения вокруг вра щающегося диска: течение при внезапном приведении диска во вращательное движение с угловой скоростью ш, а также
задачу |
о |
внезапной остановке вращающегося диска 9- |
|
|||||
а) Случай внезапного разгона. Как и в случае |
||||||||
задачи |
о |
внезапном приведении в движение пластинки, сле |
||||||
дуя Блазиусу2*), вводим |
замену переменных: |
|
||||||
|
|
|
|
|
т)=-4=-- |
|
(2-75) |
|
|
|
|
|
|
|
2/^ |
|
|
Величины безразмерных скоростей |
F=^, О=^,как |
|||||||
и для |
установившегося |
течения вокруг диска (§ 4), |
можем |
|||||
полагать |
независимыми от |
г и разыскивать их в виде рядов: |
||||||
|
|
|
G— l=/o(^) + W/2(^)+ •••> |
(2-76) |
||||
|
|
|
|
F = |
|
01) + (<++ 01) + • ■ • |
(2.77) |
|
Заметим, |
что |
G,-= G—1 |
есть безразмерная окружная ско |
|||||
рость среды относительно диска. |
|
|
||||||
Граничные |
условия |
задачи имеют следующий вид: |
|
|||||
|
|
|
при |
2 = 0 |
vr = vs — Q, |
v^ = rw, |
(2.78) |
|
|
|
|
при |
2 = сю |
|
= ■»,?= 0. |
||
|
|
|
|
|
||||
тт |
1 др |
в уравнениях |
/Т |
|
|
|||
Член -- |
|
(1.1) отпадает, так как основная |
||||||
масса жидкости остается неподвижной и давление постоянно. Подставив (2.76) и (2.77) в уравнения (1.1), заметим, что, ограничиваясь первыми членами разложения по степеням <ot, получим уравнение
l)Thiriot К. Н„ Ober die laminare Anlaufstromung einer Fliissigkeit fiber einem rotierenden Boden bei plotzlichen Anderung des Drehzustandes, ZAMM, t. 20, 1940.
2) В 1 a s i u s H., Grenzschichten in Fliissigkeiten mit kleiner Reibung, Z. Math. u. Physik, t. 56, 1908,
§ 9] ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА ПРИ ВНЕЗАПНОМ РАЗГОНЕ 43
Это есть известное уравнение распространения тепла, реше ние которого имеет вид:
/0 = const • J" е~^ dt\.
о |
|
|
|
Исходя из граничного условия |
т»9 = 0 при |
2 —со, |
получим, |
2 |
откуда |
|
|
что постоянная равна----- ■=, |
|
|
|
У It |
|
|
|
|
|
|
(2.80) |
Для первого приближения компоненты vr |
получаем |
следую |
|
щее дифференциальное уравнение: |
|
|
|
(2.81)
Общий интеграл однородного уравнения имеет вид:
/0) = а (2^+1)4-р |
^+(27)2 4- 1) |
е-71а dt\ |
где а и р — постоянные |
интегрирования. |
Пользуясь далее |
методом вариации постоянных, Тириот находит следующее решение дифференциального уравнения (2.81) при заданных граничных условиях:
44 |
ЛАМИНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА |
[ГЛ. II |
|
Величина |
vz находится |
из уравнения неразрывности |
|
|
_ |
71 |
(2.83) |
•пг = —W/yQ *J |
A(7])fi?7]=— 4о(7]))2//^/* . |
||
о
Найдена также функция /2 (т;). Значения всех найденных функций приведены в таблице 5 и на рис. 12.
Рис. 12. Значения функций /0, и /2 при внезапном разгоне (по Тириоту).
б) |
Случай |
внезапной остановки. Пусть |
вначале |
||||
диск |
вращается |
совместно |
с жидкостью с |
угловой |
скоро |
||
стью и, а затем его внезапно остановили. |
|
|
|||||
Граничные условия задачи после |
остановки приобретут |
||||||
вид: |
|
при |
д = 0 |
vr = |
= 0, |
) |
|
|
|
(2.84) |
|||||
|
|
при |
2 = СО |
а |
— |
J |
|
|
|
vr = 0, |
|
||||
Заметим, |
что в рассматриваемом случае уже |
0, а именно, |
|||||
согласно |
тому, что = гы, vr = 0, |
будет — ^ = (в2г. |
|||||
Решение разыскиваем в |
виде |
|
|
|
|||
o-/oh)+W/2(^)+ •••■
Г = <1(71)+(<)3/з(7])+ ...
§ 9] ТЕЧЕНИЕ ВОКРУГ ДИСКА ПРИ ВНЕЗАПНОМ РАЗГОНЕ 45
|
|
|
|
Таблица 5 |
|
|
Значения функций /0, /р |
и /2 для случая |
|||
внезапного приведения диска во вращательное движение |
|||||
|
|
(по Тириоту) |
|
|
|
7) = |
Z |
|
|
* |
|
:---- =■ |
/о |
Л |
Л |
/2 |
|
|
2V\t |
|
|
||
|
0,05 |
-0,056 |
+0,0362 |
+0,0009 |
—0,0236 |
|
0,1 |
-0,113 |
+0,0639 |
+0,0035 |
|
|
0,2 |
-0,223 |
+0,0975 |
+0,0118 |
—0,0437 |
|
0,3 |
—0,329 |
+0,1099 |
+0,0219 |
—0,0586 |
|
0,4 |
-0,428 |
+0,1084 |
+0,0333 |
-0,0675 |
|
0,5 |
-0,521 |
+0,0984 |
+0,0436 |
—0,0716 |
|
0,6 |
-0,604 |
+0,0846 |
+0,0529 |
-0,0705 |
|
0,7 |
-0,678 |
+0,0692 |
+0,0606 |
-0,0675 |
|
0,8 |
-0,742 |
+0,0547 |
+0,0667 |
-0,0600 |
|
0,9 |
—0,797 |
+0,0418 |
+0,0716 |
-0,0537 |
|
1,0 |
-0,843 |
+0,0311 |
+0,0752 |
—0,0433 |
|
1,1 |
—0,880 |
+0,0225 |
+0,0778 |
-0,0370 |
|
1,2 |
—0,910 |
+0,0158 |
+0,0797 |
-0,0259 |
|
1,3 |
—0,934 |
+0,0110 |
+0,0811 |
-0,0217 |
|
1,4 |
—0,952 |
+0,0077 |
+0,0820 |
—0,0104 |
|
1,5 |
—0,966 |
+0,0049 |
+0,0825 |
-0,0093 |
|
1,6 |
-0,976 |
+0,0028 |
+0,0827 |
-0,0 |
|
1,7 |
-0,984 |
+0,0022 |
+0,0831 |
—0 |
|
1,8 |
-0,989 |
+0,0015 |
+0,0834 |
—0 |
|
1,9 |
-0,993 |
+0,0009 |
+0,0835 |
-0 |
|
2,0 |
-0,995 |
+0,0004 |
+0,0836 |
—0 |
|
2,1 |
-0,997 |
+0,0002 |
+0,0836 |
—0 |
|
2,2 |
-0,998 |
+0 |
+0,0836 |
—0 |
|
2,3 |
—0,999 |
+0 |
+0,0836 |
-0 |
|
2,4 |
-0,999 |
+0 |
+0,0836 |
-0 |
|
2,5 |
—1,000 |
+0 |
+0,0836 |
-0 |
|
2,6 |
—1,000 |
+0 |
+0,0836 |
—0 |
Для члена /0(т]) |
опять получим уравнение (2.79) |
и решение |
|||
будет иметь вид: |
|
ч |
|
|
|
|
|
|
|
(2.85) |
|
|
|
/о ="7= Г е~^ dri. |
|||
|
|
' |
~ 0 |
|
|
Член Д будет удовлетворять дифференциальному уравнению
Д + 21/1-4Л = 4-“