Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

где аij и bi - случайные величины, di - заданные уровни вероятности. Обозначим:

закону нормального распределения с известным математическим ожиданием и дисперсией.

Подставив (4) в неравенство (3), получим:

Случайная величина yi при независимых di и Qi будет иметь математическое ожидание и дисперсию:

n

Yi = bi − ∑aij ×xi , (4.63)

j=1

где Qi 2 - дисперсия случайной величины bi. Для первого варианта ограничения (4.54) можно записать:

где tdi - коэффициент, учитывающий закон распределения случайной величины, определяемый аналитически или таблично в зависимости от значения вероятности di;

δyi - среднеквадратическое отклонение случайной величины yi. Подставив в (4.63) значения Yi и δi , получим

После преобразований:

Если сравним выражение (4.67) с аналогичным ограничением в детерминированной постановке

n

∑Qij × x j ≤ bi , (4.68)

j=1

66

то увидим, что ограничение в стохастической постановке отличается двумя признаками:

1) выполнен переход от детерминированных значений к математическим ожиданиям случайных величин Qij и bi ;

2) появился дополнительный член:

который учитывает все вероятностные характеристики задачи:

-закон распределения с помощью tdi;

-заданный уровень вероятности di, дисперсию случайных величин Qij,

равную δij2 , и дисперсию случайных величин bi, равную Qi 2 . Таким образом, получим

n

∑Qij ×x j +ξi ≤ bi . (4.70)

j=1

Решение задач стохастического программирования в такой постановке возможно методами сепарабельного программирования, потому что ограничения задачи не являются линейными функциями.

Поскольку в ограничениях появился дополнительный положительный член ξ1 , это приведет к тому, что потребуется большая величина ресурса bi

по сравнению с детерминированной постановкой.

4.6. Модели оптимального планирования транспортного типа

Если требуется решение вопросов о выборе схемы прикрепления поставщиков и потребителей продукции, используются модели транспортного типа. Классическая транспортная задача заключается в планировании прикрепления поставщиков к потребителям продукции и формулируется следующим образом: однородный продукт, находящийся в m пунктах производства в количестве Р1,Р2,...Рm, требуется доставить в n пунктов потребления. Потребность продукции в этих пунктах равна S1,S2,...Sn.

Экономико-математическая модель задач транспортного типа: целевая функция - затраты на перевозку продукта должны быть мини-

мальными:

Ограничения:

1. Вся продукция от предприятий-поставщиков отправляется потребителям:

67

n

∑xij = Pi ; i =1,m. (4.72)

j=1

2.Все потребители обеспечены продукцией:

m

∑xij =Sj; j =1,n. (4.73)

j=1

3. Мощность поставщиков равна потребности в продукции (условие закрытости):

Модификации транспортной задачи позволяют учитывать особенности различных хозяйственных условий, а именно:

1. Запрет каких-либо перевозок.

Если между поставщиками и потребителями продукции не существует маршрутов (связей) или ими нельзя пользоваться, можно задать стоимость перевозки сij, намного превышающую стоимость остальных перевозок (на-

пример, 99999).

2. Ограниченность пропускных способностей коммуникаций.

Это условие учитывается при введении ограничений, лимитирующих наибольшее значение объема перевозки по конкретному маршруту:

где dij - пропускная способность транспортной линии.

3. Нарушение условия равенства производства и потребления (откры-

тая транспортная задача).

ничение на продукцию, отправляемую из пунктов производства, принимает вид

n

∑xij ≤ Pi ; i =1,m. (4.76)

j=1

Транспортная задача сводится к классическому виду путем введения фиктивного потребителя S n+1 с потребностью

В целевой функции должны учитываться затраты, связанные с хранением и с потерей излишней продукции в каждом пункте производства.

Если суммарный объем производства меньше суммарного объема потребления, необходимо учитывать не только транспортные расходы, но и ущерб от недопоставок. В этой задаче

и ограничения на продукцию, поступающую в каждый пункт потребления, будут

Этот случай также сводится к классической транспортной задаче путем введения фиктивного поставщика с объемом производства:

4.7. Решение задач по планированию перевозок

Задача по планированию перевозок формулируется следующим образом: необходимо составить план транспортирования строительных материалов, минимизирующий затраты на перевозки и издержки, связанные с тем, что часть продукции остается у поставщиков.

Исходные данные представлены в табл. 4.12.

Таблица 4.12

Исходные данные для расчета

В соответствующих клетках таблицы задана стоимость перевозок 1 тонны груза от поставщиков к потребителям - сij, тыс.р. за 1 тонну. Потери, связанные с хранением продукции у поставщиков, составляют: 5, 7, и 4 тыс.р. за 1 тонну для базы N 1, 2 и 3 соответственно.

Решим задачу с использованием программы симплекс-метода. С учетом переменных, определяющих объем грузов, остающихся на базах, размерность задачи составляет 3×5 =15 переменных.

Симплекс-матрица представлена в табл. 4.13.

69

Таблица 4.13 Симплекс-матрица для решения транспортной задачи

Решение задачи в системе электронных таблиц EXCEL осуществляется с помощью пункта меню «Сервис», «Анализ данных». Необходимо представить симплекс-матрицу в виде формул.

Результаты решения представлены в табл. 4.14.

Оптимальное значение функции цели 6210,0.

По результатам расчета можно сделать следующие выводы. Поскольку x15=0, вся продукция базы N 3 направляется потребителям. На базе N 1 остается 50 тонн продукции, на базе N 2 - 120 тонн. С учетом того, что потери, связанные с хранением нереализованной продукции учтены в целевой функции, оптимальная стоимость перевозок составит

6210 - 50 × 5 - 120×7 = 5120 тыс.р.

70