1. Максиминный критерий Вальда. Это тот самый критерий, который использовался при рассмотрении игр с нулевой суммой (антагонистических игр). Он отражает «принцип гарантированного результата», то есть мы полагаем самый неблагоприятный для нас случай и пытаемся выбрать такую стратегию, которая максимизировала бы наш выигрыш в самой неблагоприятной ситуации. В математическом виде критерий записывается как
V = max min aij . |
(5.8) |
|
i |
j |
|
|
|
|
В качестве оптимальной выбирается стратегия, при которой достигается значение max. Иногда этот критерий называют критерием «крайнего пес-
симизма».
2. Критерий максимакса. Этот критерий является противоположным по своему смыслу предыдущему критерию. А именно, он предполагает рассмотрение не самого неблагоприятного случая (критерий Вальда), а наоборот – наиболее благоприятного. Выбирается в качестве оптимальной такая стратегия, для которой этот самый благоприятный случай дает самый большой выигрыш. В математическом виде критерий записывается следующим образом:
V = max max aij |
. |
|
|
i |
j |
(5.9) |
|
|
|
||
В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, при которой |
|||
достигается значение max. Иногда этот |
|
критерий называют критерием |
|
«крайнего оптимизма». |
|
|
|
3. Критерий Гурвица. Этот критерий является своего рода обобщением двух предыдущих критериев. Он представляет собой целое семейство критериев, зависящих от некоторого параметраα, смысл которо го — в определении баланса между подходами «крайнего пессимизма» и «крайнего оптимизма». В математическом виде критерий записывается как
V = max α max a |
ij |
+(1−α) min a |
|
|
||
i |
|
j |
j |
ij . |
(5.10) |
|
|
|
|
|
|
|
|
В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, при которой достигается значение max. Значение параметра выбирается из интервала 0<α<1. Критерий Вальда является частным случаем критерия Сэвиджа при α = 0 , а критерий максимакса – при α = 1. Выбор конкретного значения параметра определяется скорее субъективными факторами, например склонностью к риску ЛПР (лица принимающего решение). При отсутствии какихлибо явных предпочтений вполне логично, например, выбрать значение
α=0,5.
4. Критерий Сэвиджа (критерий минимаксного риска). Применение данного критерия предполагает рассмотрение некоторой производной матрицы, смысл которой состоит в том, что для каждой стратегии второго игрока определяется выигрыш в наиболее благоприятном случае (при наиболее
96
правильном выборе стратегии первым игроком для данной ситуации), а далее вычисляются величины «недополученных» выигрышей для всех остальных стратегий первого игрока при рассматриваемой стратегии второго игро-
ка. Элементы матрицы R = |
|
|
|
rij |
|
|
|
m×n , |
которая обычно называется матрицей |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
− aij . Далее к матрице рисков применя- |
||||||
риска, рассчитывают как rij |
= max aij |
|||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
||||
ется минимаксный подход, а именно:
R = min max rij . |
(5.11) |
|
i |
j |
|
|
|
|
В качестве оптимальной стратегии выбирается стратегия, на которой достигается min. Тем самым выбираем такую стратегию, для которой значение «недополучения» будет иметь наименьшее значениеиз максимально возможных.
5. Критерий Лапласа. Этот критерий исходит из условия, что игроку ничего не известно о принципах или вероятностях применения вторым игро-
ком своих стратегий, то мы предполагаем эти вероятности все равными Тогда критерий можно записать как
|
|
1 |
n |
|
V = max |
|
∑aij . |
||
i |
n j=1 |
|
||
1n .
(5.12)
Таким образом, смысл данного критерия — максимизация ожидаемого выигрыша в предположении о равновероятности применения вторым игроком своих стратегий.
5.9. Применение теории матричных игр в управлении
Теория игр рассматривает задачи выбора оптимальных решений с учетом возможных действий других участников и случайных событий.
Вигре могут сталкиваться интересы двух и более противников.
Впервом случае игра называется парной, во втором - множественной. Рассмотрим парные игры, а участников игры обозначим А и В. Предположим, что интересы участников поддаются количественному описанию, т.е. результат игры определяется некоторым числом.
Задачей теории игр является выработка рекомендаций для игроков, т.е. определение оптимальной стратегии, которая при многократном повторении игры обеспечивает данному игроку максимально возможный средний выигрыш.
Рассмотрим применение теории игр на примере взаимодействия 2-х строительных организаций - заказчика и подрядчика.
Допустим, что СМУ заключило договор с заводом ЖБИ на централизованную поставку раствора на 180 тыс. р. Если в течение дня раствор не поступит, заказчик терпит убытки в сумме 530 тыс. р. из-за простоя.
97
СМУ может послать на ЖБИ собственный транспорт, дополнительные расходы при этом составят 70 тыс.р. Однако опыт предыдущей работы показал, что это увеличивает надежность поставок только на 50%.
Можно увеличить вероятность получения раствора до 70%, послав на завод своего представителя. Дополнительные затраты при этом составят 60 тыс.р.
Если произвести предварительную оплату работ в размере 100%, то это позволит повысить вероятность выполнения работ в срок до 80%, однако приведет к дополнительным затратам, кроме надбавки за срочность в размере 110 тыс. р.
Можно разместить заказ у другого, абсолютно надежного поставщика по цене, повышенной на 50%. При этом возможны дополнительные расходы, кроме расходов на транспорт, в размере 60 тыс.р., связанные со сверхурочной работой по выработке раствора, поступившего от обоих поставщиков сразу.
Таким образом, заказчик имеет пять своих чистых стратегий:
-ничего не предпринимать;
-оправить собственный транспорт;
-оправить на завод своего представителя;
-произвести предварительную оплату работ;
-разместить заказ у другого, абсолютно надежного подрядчика. У поставщика имеется две чистые стратегии:
-поставки осуществляются в установленные сроки;
-поставки не выполняются в установленные сроки.
Затраты заказчика, в зависимости от его различных стратегий и стратегии подрядчика (П1 - поставка выполнена своевременно, П2 - поставка не выполнена в договорные сроки), представлены в табл. 6.6.
Рассмотрим, например, как получены суммарные затраты заказчика при применении им 3-й стратегии, а поставщиком - 2-й (поставки нет).
При 3-й стратегии вероятность поставки в срок составляет 70%, следовательно, вероятность того, что поставка не будет выполнена своевременно - 30%. Стоимость раствора составит
(180×70)/100=126 тыс. р.
Убытки, связанные с простоем производства, составят
(530×30)/100=159 тыс. р.
Транспортные расходы – 70 тыс.р. и дополнительные затраты, связанные с командированием своего представителя, – 60 тыс.р.
Доплата за срочность составит 100 тыс.р., дополнительные затраты на авансирование работ – 60 тыс. р. Суммарные затраты составят 415 тыс.р.
98
Таблица 5.6 Исходные данные для определения стратегий заказчика
Страте- |
|
Затраты |
Транс- |
Командиро- |
Предоп- |
Издержки |
Итого, |
гия |
Стоимость |
от про- |
портные |
вочные |
лата про- |
от реали- |
тыс.р. |
|
раствора, |
стоя ра- |
расходы, |
расходы, |
дукции, |
зации рас- |
|
|
тыс.р. |
бочих, |
твора, |
|
|||
|
|
тыс.р. |
тыс.р. |
тыс.р. |
тыс.р. |
тыс.р. |
|
|
|
|
|
|
|
||
С1→П1 |
180 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
180 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С1→П2 |
0 |
530 |
0 |
0 |
0 |
0 |
530 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С2→П1 |
180 |
0 |
70 |
0 |
0 |
0 |
250 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С2→П2 |
90 |
265 |
70 |
0 |
0 |
0 |
425 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С3→П1 |
180 |
0 |
70 |
60 |
0 |
0 |
310 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С3→П2 |
126 |
159 |
70 |
60 |
0 |
0 |
415 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С4→П1 |
180 |
0 |
70 |
0 |
110 |
0 |
360 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С4→П2 |
144 |
106 |
70 |
0 |
110 |
0 |
430 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С5→П1 |
450 |
0 |
70 |
0 |
0 |
60 |
580 |
|
|
|
|
|
|
|
|
С5→П2 |
270 |
0 |
70 |
0 |
0 |
0 |
340 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Составим матрицу игры, представленную в табл. 5.7.
Таблица 5.7
Исходные данные для определения стратегий ЖБИ
Стратегия СМУ |
|
Стратегия ЖБИ |
|
|
|
|
|
|
П1 |
|
П2 |
|
|
|
|
С1 |
-180 |
|
-530 |
|
|
|
|
С2 |
-250 |
|
-425 |
|
|
|
|
С3 |
-310 |
|
-415 |
|
|
|
|
С4 |
-360 |
|
-430 |
|
|
|
|
С5 |
-580 |
|
-340 |
|
|
|
|
Поскольку игроком А по терминологии, принятой выше, является заказчик, то в соответствующих клетках записываем "выигрыш" со знаком минус (убытки).
Задача руководства заказчика - определить оптимальную стратегию, обеспечивающую минимум ожидаемых убытков в условиях неопределенности относительно поведения поставщика.
Решение этой игры можно получить в геометрической интерпретации (рис.5.3). Отложим по горизонтальной оси надежность подрядчика, измерен-
99
ную вероятностями в диапазоне от 0 до 1 и обозначим ее как Y, а затраты заказчика обозначим через X1 при наличии поставки, иначе X2.
Для первой стратегии СМУ (С1) затраты составят 180 тыс. р. при Y=1 и 530 тыс. р. при Y=0 (поставки нет). Изобразим на графике затраты при применении первой стратегии, изменяющиеся от 180 тыс. р. при абсолютной надежности подрядчика (Y=1) до 530 тыс.р. при нулевой надежности (Y=0), соединив прямой линией ординату X1=-530 и X2=-180.
Аналогично построим зависимости затрат заказчика при 2-5 стратегиях. Получим график ожидаемых затрат заказчика при применении своих чистых затрат стратегий против смешанных стратегий поставщика.
Из рисунка видно, что при надежности поставщика от 0 до 0,21 оптимальной является пятая стратегия (C5), при надежности поставщика от 0,21 до 0,6 оптимальной является вторая стратегия (C2), а при надежности поставщика от 0,6 до 1 - первая стратегия (С1).
Мы рассматривали задачу как антагонистическую, что принципиально неверно, поскольку поставщик не стремится нанести СМУ максимальный ущерб. Поэтому его надежность может быть и не наихудшей с точки зрения СМУ.
Неантагонистические игры, когда действия второго игрока зависят не от его сознательной деятельности, а от объективной действительности, называют играми с природой. Второй игрок (природа) действует случайно, в условиях неопределенности (климатические условия, спрос на продукцию и т.д.).
В играх с природой применяют следующие критерии: 1. Максиминный критерий Вальда:
Y= max min aij = (−530;−425;−415;−430;−480) = −415.
ij
Всоответствии с максимальным критерием Вальда оптимальной является 3-я стратегия (послать на ЖБИ свой транспорт и представителя).
2. Максимаксный критерий (абсолютного оптимизма):
Y= max min(−180;−250;−310;−360;−340) = −180.
ij
Всоответствии с этим критерием выбираем 1-ю стратегию (ничего не предпринимать), представленную на рис. 5.3.
100