Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

Относительная скорость изменения объема выпуска продукции от изменения затрат на 1 % называется эластичностью выпуска по затратам и обозначается символом Е. Для любого i фактора выполняется условие

Таким образом, для уравнения типа (3.2) эластичность выпуска продукции для каждого фактора является величиной постоянной и равна соответствующему коэффициенту уравнения регрессии. При любом объеме затрат и выпуска увеличение затрат i-го вида ресурсов на 1 % ведет к увеличению выпуска продукции на ai %.

Будем предполагать, что фирма производит n различных видов продукции. Обозначим через q=(q1, ….. qn)T вектор выпуска, компонентами которого являются выпуски каждого конкретного вида продукции. Предположим, что для осуществления выпуска используется m видов факторов производства. Обозначим через x=(x1, ….. xm)T вектор затрат факторов производства, компонентами которого являются объемы потребления каждого конкретного фактора.

Множество векторов выпуска продукции образуют так называемое

пространство выпуска:

Множество векторов затрат факторов производства образуют так на-

зываемое пространство затрат:

Технологическая связь между затратами факторов производства и объемом выпуска продукции описывается с помощью производственной функции.

Функция q=f(x), которая каждому вектору затрат из пространства затрат ставит в соответствие максимальный выпуск, который может быть произведен при данных затратах, называется производственной функцией фир-

мы.

В общем случае производственную функцию можно записать в неявной форме:

F(x, q, A) = 0,

где A представляет собой технологическую матрицу размерами n x m.

Если в качестве независимых аргументов рассматриваются затраты, то производственную функцию называют функцией выпуска. Если в качестве

31

независимых аргументов рассматриваются объемы выпуска, то производственную функцию называют функцией затрат. В дальнейшем для простоты выкладок мы будем предполагать, что фирма выпускает только один вид продукции.

С понятием производственной функции связано понятие предельного продукта.

Предельным продуктом i-го фактора производства (MPi-marginal product (англ.)) называют дополнительный объем выпуска, который будет произведен при потребления каждой дополнительной единицы данного фактора:

Производственная функция обладает следующими свойствами.

1. C увеличением потребления какого-либо фактора значение выпуска продукции возрастает:

2. C увеличением объема потребления какого либо фактора скорость выпуска продукции убывает:

3. Производственная функция является однородной функцией своих аргументов:

где β представляет собой степень однородности.

Рассмотрим основные виды производственных функций:

1. Неоклассическая производственная функция (производственная функция Кобба-Дугласа):

i=1

Здесь величины a1, ….. am представляют эластичности выпуска к изменению объема соответствующего фактора производства, А- масштабирующий множитель.

2. Производственная функция «затраты-выпуск» (функция Леонтьева):

Эта функция задает пропорции, в которых осуществляется потребление затрат факторов производства для осуществления выпуска одной едини-

32

цы продукции. Величины a1, ….. am представляют собой пропорции объемов потребления соответствующих факторов производства.

3. Линейная производственная функция:

i=1

Данное семейство функций полезности описывает ситуацию, когда факторы производства являются полностью взаимозаменяемыми. Коэффициенты a1,…..am представляют собой пропорции, в которых один фактор может быть заменен другим.

Переменные издержки касаются использования имеющихся в распоряжении фирмы факторов производства и изменяются в соответствии с объемом выпуска продукции.

3.2. Функция Кобба-Дугласа

Одной из первых практических работ в области изучения производственных функций было исследование Ч.Кобба и П.Дугласа по данным обрабатывающих отраслей промышленности США за 1899-1922 гг.

В этих исследованиях была принята функция вида

где Y - объем выпуска продукции; X1 - затраты труда; X2 - стоимость производственных фондов.

В результате исследователи пришли к выводу, что а1+а2=1, т.е. имеет место неизменный эффект масштаба производства.

Функция валового внутреннего продукта (ВВП) в зависимости от стоимости основных фондов и числа занятых в народном хозяйстве за 19601994 годы имеет вид:

Производственная функция Y= F(K, L) называется неоклассической, если она является гладкой и удовлетворяет следующим условиям, поддаю-

2) с ростом ресурсов выпуск растет:

33

3) с увеличением ресурсов скорость роста выпуска замедляется:

4) при неограниченном увеличении одного из ресурсов выпуск неограниченно растет:

Мультипликативная ПФ задается выражением

где А — коэффициент нейтрального технического прогресса; а1, a2 - коэффициенты эластичности по труду и фондам.

Если a1>0, a2>0, а1 >a2, имеет место трудосберегающий (интенсивный) рост, в противном случае - фондосберегающий (экстенсивный) рост.

Линией уровня на плоскости К, L, или изоквантой, называется множество тех точек плоскости, для которых F(K, L) =Х0=const. Для мультипликативной ПФ изокванта имеет вид

т.е. является степенной гиперболой, асимптотами которой служат оси координат.

Для разных К, L, лежащих на конкретной изокванте, выпуск равен одному и тому же значению X0, что эквивалентно утверждению о взаимозаменяемости ресурсов.

Поскольку на изокванте F(K, L) = Х0 = const, то

В этом соотношении ∂∂KF > 0, ∂∂LF > 0 , поэтому dK и dL имеют разные

знаки: если dL<0, что означает сокращение объема труда, то dK>0, т.е. выбывший в объеме dL труд замещается фондами в объеме dK.

Наряду с количественным увеличением объема ресурсов важнейшим фактором роста производства служит научно-технический прогресс, проявляющийся в совершенствовании техники и технологии, повышении квалификации работающих, улучшении организации производства. Технический прогресс обычно отражают в производственных функциях следующего вида:

34

где λ - константа, отражающая темп технического прогресса; t - временной фактор.

Параметр et представляет собой выражение временной тенденции развития производства, связанной с техническим прогрессом, совершенствованием планирования, управления и организации производства.

С учетом ограниченности и резкого повышения стоимости природных ресурсов целесообразно строить производственную функцию следующего вида:

где X3- стоимость используемых природных ресурсов.

При анализе экономических явлений с применением производственных функций возникает вопрос о целесообразности расширения масштабов производства. В этом случае анализируется величина

m

A = ∑am. (3.29)

i=1

Возможны три случая:

1.Если А=1, то увеличение ресурсов в k раз приводит к увеличению объема производства также в k раз.

2.Если A >1, то можно говорить о положительном эффекте расширения масштабов производства, т.к. увеличение ресурсов в k раз приводит к росту объемов производства более чем в k раз.

3.Если A <1, то имеем отрицательный эффект расширения масштабов производства.

На основе производственных функций могут быть построены модели зависимости спроса от доходов:

где Y - спрос; X1- величина доходов населения.

Коэффициент эластичности a1 показывает, насколько увеличится спрос при росте доходов на 1%. Коэффициент эластичности может быть и отрицательным (когда с ростом доходов населения может снизиться потребление хлеба, картофеля и т.д.).

3.3. Модель Солоу

Модель Роберта Солоу [5, 6] была построена на неоклассической предпосылке господства совершенной конкуренции на рынках факторов производства, обеспечивающей полную занятость ресурсов. Ученый исходил из того, что необходимым условием является равенство совокупного спроса и совокупного предложения. При этом совокупное предложение в его модели определялось на основании производственной функции Кобба-Дугласа, вы-

35