Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

ражающей отношение функциональной зависимости между объемом производства с одной стороны и используемыми факторами и их взаимной комбинацией — с другой.

Целью модели Солоу является ответ на вопросы: каковы факторы сбалансированного экономического роста, какой темп роста может позволить себе экономика при заданных параметрах экономической системы и как при этом максимизируются доходы населения и объем потребления?

В общем виде объем национального выпуска Y является функцией 3-х факторов производства: труда L, капитала K, земли N:

Y = f (L, K, N).

Фактор земли в модели Солоу был опущен ввиду малой эффективности в экономических системах, характеризующихся высоким технологическим уровнем, и поэтому объем выпуска зависит от трудовых и производственных факторов Y = f (L, K).

В развернутом виде эта формула имеет вид:

где ∆Y / ∆L – предельный продукт труда MPL, ∆Y / ∆K – предельный продукт капитала MPK.

Это значит, что общий продукт равняется сумме произведений затраченного количества труда и капитала на их предельные продукты, т.е. на прирост продуктов ∆Y от увеличения затрат труда ∆L и затрат капитала ∆K. В упрощенном виде y = Y / L, где y – производительность труда; k = K/ L, где k — капиталовооруженность труда. Тогда производственная функция имеет вид y= f (k), где f (k) = F (k,1).

Графическое изображение этой функции имеет вид, показанный на рис. 3.1. Рисунок показывает, что капиталовооруженность k определяет размер выпуска продукции на одного работника: y = f (k).

выпуск

Рис. 3.1. График производственной функции в модели Солоу

36

При этом tgα = MPK: если k увеличивается на одну единицу, то y возрастает на МРК единиц. По мере роста капиталовооруженности труда его производительность увеличивается, но с убывающей скоростью, т.к. МРК снижается.

Совокупный спрос в модели Солоу определяется инвестиционным и потребительским спросом. Уравнение выпуска продукции на одного работника имеет вид

Тогда у = с + i = (1 — s) y + i, откуда i = sy. В условиях равновесия инвестиции равны сбережениям и пропорциональны доходу.

В результате условие равенства спроса и предложения может быть представлено как

f (k) = c + i или f (k) = i / s.

Производственная функция определяет предложение на рынке товаров, а накопление капитала – спрос на производственную продукцию. Объем же капитала меняется под воздействием инвестиции выбытия. Инвестиции в расчете на одного работника являются частью дохода, приходящегося на одного работника (i = sy) или

Из этого следует, что, чем выше уровень капиталовооруженности k, тем выше уровень производства f(k) и больше инвестиции i.

В модели Р.Солоу норма сбережений – ключевой фактор, определяющий уровень устойчивости капиталовооруженности. Более высокая норма сбережений обеспечивает больший запас капитала и более высокий уровень производства.

Другим фактором непрерывного экономического роста в условиях устойчивой экономики является рост населения. Для устойчивости экономики необходимо, чтобы инвестиции sf(k) компенсировали последствия выбытия капитала и рост капитала (d + n) k, на графике точка Е (рис. 3.2). Однако если рост населения не сопровождается увеличением инвестиций, то это ведет к уменьшению запаса капитала на одного работника.

Таким образом, если страны с более высокими темпами роста населения имеют меньшую капиталовооруженность, то значит – и более низкие доходы.

37

Рис. 3.2. Инвестиции s f(k) и рост капитала (d + n) k

Третьим источником экономического роста после инвестиций и увеличения численности населения является технический прогресс. В неоклассической теории технический прогресс — это качественные изменения в производстве (повышение образования работников, улучшение организации труда, рост масштабов производства) [10].

Включение в модель технического прогресса изменит исходную производственную функцию: Y = f(K, Lε, ε), где ε — эффективность труда одного работника (зависит от здоровья, образования, квалификации), Lε – численность эффективных единиц рабочей силы.

Технический прогресс вызывает прирост эффективности ε с постоянным темпом g. Если g = 5%, то отдача от каждой единицы труда увеличиться на 5 % в год, а это равносильно тому, что объем производства возрастает так, как если бы рабочая сила за год выросла на 5 %. Это трудосберегающая форма технического прогресса.

Если же численность занятых L растет с темпом n, а эффективность ε растет с темпом g, то Lε будет увеличиваться с темпом n + g. Капитал на единицу труда с постоянной эффективностью составит k1 + [K /(Lε)], а объем производства на единицу труда с постоянной эффективностью y1 = Y / (Lε). Состояние устойчивого равновесия достигается при условии

s x f(k1) = (d + n + g) x k1,

где d — норма амортизации.

Из вышеприведенного равенства следует, что существует лишь один уровень капиталовооруженности k1, при которой капитал и выпуск продукции, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью, постоянны (рис. 3.3).

38

(d+n+g)k1

i

E

Sf(k)

k

Рис. 3.3. Условие постоянства капитала и выпуска продукции, приходящиеся на единицу труда с неизменной эффективностью

В устойчивом состоянии k1 при наличии технического прогресса общий объем капитала К и выпуск Y будет расти с темпом n + g. В расчете на одного работника капиталовооруженность k/L и выпуск Y/L будет расти с темпом g. Таким образом, технический прогресс в модели Солоу — это единственное условие непрерывного экономического развития [10].

3.4. Модель Стоуна

Будем предполагать, что определенное количество единиц каждого вида товара необходимо потребителю в любом случае и вопрос относительно их приобретения не является предметом выбора. Оставшиеся средства потребитель использует для приобретения дополнительных единиц товаров в соответствии со своими предпочтениями.

Обозначим через b1, b2, … bn минимальные количества единиц соответствующих видов товара необходимых потребителю. При этом предполагается, что выполняется условие

i=1

Также, без умаления общности, будем предполагать, что предпочтения потребителя относительно дополнительных единиц товаров описываются функцией полезности Кобба-Дугласа:

i=1

39