Материал: Экономико-математические методы и модели. Гасилов В.В., Околелова Э.Ю

ля, а зависят лишь от отношения цен и отношения дохода к цене (относительных цен и относительного дохода). Выбирая цену первого товара p1 в качестве единицы измерения, получаем:

3.7. Модель общего равновесия Вальраса

Рассмотрим экономику, в которой производится n видов продукции с помощью m факторов производства. Обозначим через p=(p1, … pn)T вектор цен выпуска, w=(w1, … wm)T – вектор цен факторов производства. Будем предполагать, что рынок функционирует в условиях совершенной конкуренции (т. е. все потребители и фирмы являются ценополучателями).

Предположим, что на рынке присутствуют k фирм, каждая из которых способна выпускать любой из видов продукции, осуществляя затраты факторов производства. Обозначим через q(i)=(q1(i), … qn(i))T вектор выпуска продукции i-й фирмой, через x(i)=(x1(i), … xm(i))T вектор затрат факторов производства i-й фирмы.

Производственную функцию фирм запишем в неявном виде:

Как и раньше, будем предполагать, что фирмы максимизируют свою прибыль с учетом собственной технологии производства (производственной функции). Тогда задачи фирм будут выглядеть следующим образом:

Каждая система содержит уравнение с n+m+1 неизвестным. Поскольку эти уравнения справедливы для каждой из фирм, то имеем (n+m+1)k уравнений для задачи общего равновесия.

Кроме этого, в экономике имеется l потребителей, каждый из которых владеет определенным фактором производства (рабочей силой), который он может продать на рынке ресурсов и получить доход. Предполагается, что потребитель получает определенную долю прибыли каждой фирмы.

41

3.8. Рыночное равновесие в модели Леонтьева

Модель Леонтьева может быть использована для нахождения рыночного равновесия так же, как и модель Вальраса. Модель Леонтьева позволяет найти такое решение задачи поиска рыночного равновесия, в котором объемы спроса и потребления гарантированно представляют собой неотрицательные величины.

Модель Леонтьева – это модель многоотраслевой экономики (балансовый анализ). Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями.

Пусть количество i-го фактора производства rij необходимое для обеспечения выпуска j-й отрасли xj, определяется следующим образом:

Здесь B= [bij] - матрица технологических коэффициентов производства факторов производства.

Просуммировав данные соотношения по, выпускам всех отраслей, мы получим спрос всей экономики на i-й фактор:

Обозначим через ri объем предложения i-го фактора. Поскольку спрос не может превышать предложения, то получаем

где r - вектор наличия первичных факторов производства.

Прямая задача экономики заключается в максимизации национального продукта (стоимости объема потребления выпуска), поэтому прямую задачу можно записать в виде

Данная задача представляет собой задачу линейного программирова-

ния:

42

Двойственная задача представляет собой задачу минимизации стоимости первоначальных факторов производства (минимизацию национального дохода):

Как мы видим, задача поиска рыночного равновесия сводится к решению задач линейного программирования и найденное состояние равновесия экономики всегда будет иметь экономический смысл.

3.9. Пример построения производственной функции

Найдем решение классической производственной функции - функции Кобба-Дугласа с применением процессора электронных таблиц EXCEL. В качестве исходных данных примем данные по американской обрабатывающей промышленности за период с 1899 по 1922 гг.

Исходными данными модели являются: Y - индекс производства;

K- индекс основного капитала;

L- индекс труда.

Функция Кобба-Дугласа имеет вид

Поскольку для множественной регрессии EXCEL позволяет определять только линейный вид уравнения, приведем функцию к линейном виду:

Для этого исходные данные логарифмируются и выполняется расчет с помощью корреляционно-регрессионного анализа.

При корреляционном анализе решаются следующие задачи:

1.Устанавливается наличие корреляции или связи между величинами.

2.Устанавливается форма линии связи (линии регрессии).

3.Определяются параметры линии регрессии.

4.Определяется достоверность установленной зависимости и достоверность отдельных параметров.

Тесноту связи между двумя величинами можно определить визуально по соотношению короткой и продольной осей эллипса рассеяния наблюде-

43

ний, нанесенных на поле корреляции. Чем больше отношение продольной стороны к короткой, тем связь теснее.

Более точно теснота связи характеризуется коэффициентом корреляции r. Коэффициент корреляции лежит в пределах -1< r <1. В случае, если r=0, то линейной связи нет. Если r =1, то между двумя величинами существует функциональная связь. При положительном r наблюдается прямая связь, т.е. с увеличением независимой переменной x увеличивается зависимая - y. При отрицательном коэффициенте существует обратная связь - с увеличением независимой переменной зависимая переменная уменьшается. Исходные данные представлены в табл. 3.1.

Для определения тесноты связи между изучаемыми показателями используется функция «Корреляция» пункта меню «Сервис», «Анализ дан-

44

ных». Окно исходных данных корреляционного анализа представлено на рис. 3.4.

Рис. 3.4. Исходные данные корреляционного анализа

Результаты обработки исходных данных приведены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Значения коэффициентов парной корреляции

По результатам корреляционного анализа можно сделать вывод о наличии достаточно тесной связи между объемом производства и влияющими на него факторами, причем связь между факторами прямая.

Анализ формы взаимосвязи между факторами проводится с помощью функции «Регрессия» пункта меню «Сервис», «Анализ данных». Результаты обработки исходных данных приведены на рис. 3.5.

45