Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

(8.16)

Для жидкой и газовой среды уравнение энергии может быть также представлено в интегральной форме

, (8.17)

где - элементарный объем и его контрольная поверхность;

- напряжение поверхностных сил;

- количество теплоты, подводимое к единице массы за единицу времени.

8.2. Турбулентное течение

Для турбулентного течения характерно перемешивание жидкости, пульсации скоростей и давлений.

Рис. 8.1. Пульсация скорости в турбулентном потоке

Скорость беспорядочно колеблется около некоторого осреднённого v_оср по времени значения, которое в данном случае остается постоянным. Турбулентное течение всегда является неустановившимся, так как значения скоростей и давлений, а также траектория частиц, изменяются по времени.

Распределение скоростей при турбулентном течении более равномерное, а нарастание скорости у стенки более крутое, чем при ламинарном течении.

Рис. 8.2. Профили скоростей в ламинарном

и турбулентном потоках

Так как при турбулентном течении отсутствует слоистость потока и происходит перемешивание жидкости, закон трения Ньютона в этом случае выражает лишь малую часть полного касательного напряжения.

Благодаря перемешиванию жидкости и непрерывному переносу количества движения в поперечном направлении касательное напряжение τ₀ на стенке трубы в турбулентном потоке значительно больше, чем в ламинарном. В связи с этим потери энергии при турбулентном течении жидкости в трубах также получаются иными, нежели при ламинарном.

Рис. 8.3. Зависимость от v и Q

Ввиду сложности турбулентного течения и трудностей его аналитического исследования до настоящего времени для него не имеется достаточно строгой и точной теории.

Турбулентное движение в практических расчетах описывают не мгновенными, а осредненными во времени скоростями

, (8.18)

где Т – интервал усреднения.

Разность называют пульсационной скоростью.

Для оценки пульсационных составляющих (добавок) скорости вводят стандарт, равный среднеквадратичному отклонению пульсационных добавок

. (8.19)

Степенью (интенсивностью) турбулентности называют отношение среднеквадратичного отклонения пульсационной составляющей (добавки) скорости к характерной скорости потока (к осредненной местной скорости в данной точке, к средней по вертикали, к средней по живому сечению, к максимальной скорости). Обычно за характерную скорость принимают среднюю скорость потока, осредненную местную скорость в данной точке или динамическую скорость

, (8.20)

где R – гидравлический радиус;

J – гидравлический уклон.

Исследования показывают, что наиболее общие результаты для описания пульсирующих скоростей при турбулентном движении получаются, если в качестве масштаба скоростей принять динамическую скорость , т.е.

. (8.21)

В качестве примера рассмотрим поток жидкости в прямолинейной цилиндрической трубе круглого сечения (осесимметричный поток). Структуру потока в трубе при турбулентном режиме движения обычно представляют в виде приближенной двухслойной схемы (модели). На твердой стенке скорости, в том числе и пульсационные, равны нулю. Вблизи твердой стенки находится очень тонкий слой, в котором преимущественное влияние имеют касательные напряжения, рассчитываемые по закону вязкого трения Ньютона. Поэтому рассматриваемый слой называют вязким подслоем потока.

В пределах вязкого подслоя скорость линейно увеличивается от нуля на стенке до некоторого значения на границе слоя. Раньше считали, что в пределах этого тонкого слоя движение полностью ламинарное, пульсации скорости, давления, касательного напряжения в нем отсутствуют и поэтому его называли ламинарным подслоем (пленкой).

Остальную часть поперечного сечения трубы считают занятой турбулентным ядром потока, где и происходят интенсивные пульсации скорости и перемешивание частиц жидкости.

Уравнения движения, выраженные через осредненные скорости для случая турбулентного неустановившегося движения несжимаемой жидкости носят название уравнений Рейнольдса и имеют вид

В проекции на ось х:

(8.22)

Величины типа , входящие в уравнение Рейнольдса, называются турбулентными напряжениями. Связь между ними и скоростями деформаций устанавливается на основе гипотез, составляющих основу полуэмпирических теорий турбулентности (гипотеза М. Буссинеска, гипотеза Л. Прандтля, гипотеза Дж. Тейлора, гипотеза Т. Кармана и др.). В большинстве случаев для практических расчетов, связанных с турбулентным течением жидкостей в трубах, пользуются экспериментальными данными, систематизированными на основе теории гидродинамического подобия.

Основной расчетной формулой для потерь напора при турбулентном течении в круглых трубах является эмпирическая формула, называемая формулой Дарси - Вейсбаха и имеющая следующий вид:

. (8.23)

Эта основная формула применима как при турбулентном, так и при ламинарном течении; различие заключается лишь в значениях коэффициента .

9. Лекция №9

9.1. Подобие гидромеханических процессов

Теория подобия получила общее признание, как простейший метод решения некоторых теоретических задач и как основа строгого научного экспериментального исследования гидродинамических процессов на моделях. Для установления законов подобия разделим все экспериментально изучаемые явления и процессы на две группы.

Первая группа это процессы, которые математически описаны, т.е. дифференциальные уравнения этих процессов существуют. Опыты же проводятся для того, чтобы найти пути решения этих уравнений или сравнить результаты эксперимента с решениями уравнений, если они получены.

Другая группа процессов и явлений еще не имеет уравнений, их описывающих. Тогда опыты ставятся для того, чтобы установить законы, управляющие исследуемыми явлениями, записать эти законы в виде некоторых математических соотношений и распространить указанные результаты на случаи, для которых эксперимент не производился.

В зависимости от того, к какой группе относится изучаемое явление, определяется метод нахождения безразмерных параметров, называемых числами подобия. Если уравнение дано (хотя и нет его решений), то числа подобия, как будет показано далее, легко находятся из анализа уравнений. В начальной стадии изучения некоторых сложных явлений, когда еще нет описывающих их уравнений, а иногда нет вообще математической постановки задачи, единственным методом получения чисел подобия, определяющих процесс, является теория размерности.

На примере уравнений гидромеханики рассмотрим метод анализа уравнений. Для выяснения условий, при соблюдении которых уравнения движения будут одинаковы или движения подобны, напишем уравнения Стокса для плоского случая в безразмерном виде. В качестве масштаба длины выберем какой-либо характерный размер тела l (хорда крыла, диаметр или радиус трубы и др.), а масштабами скоростей, давлений, плотности, температуры и пр. - их характерные значения (на бесконечности, средние по объемным, массовым расходам и пр.).

Обозначая безразмерные величины теми же буквами, что и размерные, но с черточкой, произведем следующую замену:

(9.1)

За масштаб времени взято время, характерное для данного движения, а за масштаб массовых сил, отнесенных к единице массы - ускорение силы тяжести.

После подстановки написанных выражений в уравнение Стокса получим уравнения плоского движения и уравнение неразрывности

;

;

. (9.2)

Разделив первые два уравнения на и третье на и опустив для простоты письма черточки над буквами, получим

;

;

. (9.3)

Из этой системы следует, что если два потока подобны, т. е. они определяются одинаковыми уравнениями и одинаковыми граничными и начальными условиями, представленными в безразмерном виде, то для этих двух потоков должны быть одинаковы следующие безразмерные величины

. (9.4)

Обычно в теории подобия пользуются комбинациями указанных величин, каждая из которых имеет свое название и обозначается следующим образом:

- число Струхаля; (9.5)

- число Фруда; (9.6)

- число Эйлера; (9.7)

- число Рейнольдса. (9.8)

Условие одинаковости чисел, характеризующих подобие, обозначается словом idem, т.е. Sh = idem, Re = idem и т.д.

Число Эйлера для сжимаемой жидкости

, (9.9)

где - скорость звука;

- показатель адиабаты;

М - отношение скорости потока к скорости звука.

Следовательно, число Eu для сжимаемой жидкости заменяется числами k и М. Используя уравнение энергии в безразмерном виде, можно показать, что каждая из этих величин в отдельности должна быть одинакова для двух подобных потоков, т.е. k = idem и М = idem. Таким образом, в подобных потоках сжимаемой жидкости будет

Sh = idem, Re = idem, Fr = idem, M = idem и = idem.