Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

7.2. Закон изменения момента количества движения

Для системы частиц закон об изменении момента количеств движения формулируется следующим образом: производная по времени от вектора главного момента количеств движения системы относительно какого-либо центра равна вектору главного момента внешних сил, приложенных к системе, взятому относительно того же центра, т.е.

. (7.14)

Если применить этот закон для объема жидкости , ограниченного контрольной поверхностью s, то получим, что изменение момента количеств движения относительно некоторой точки будет

. (7.15)

После преобразований, аналогичных рассмотренным в выводе закона об изменении количеств движения, окончательно получим

. (7.16)

Следовательно, действие моментов внешних сил определяется моментом количеств движения жидкости, переносимым через поверхность s.

7.3. Силовое воздействие потока на ограничивающие его стенки

Для материального тела массой m, движущегося со скоростью , изменение количества движения за время dt вследствие действия силы выразится векторным уравнением

, (7.17)

где - приращение количества движения, обусловленное импульсом .

Применим эту теорему механики к участку потока с расходом Q между сечениями 1-1 и 2-2 в условиях установившегося течения (рис. 7.1).

Рис. 7.1. Схема применения уравнения количества

движения к жидкости

За время dt этот участок переместится в положение, определяемое сечениями 1'-1' и 2'-2'. Чтобы выразить приращение количества движения рассматриваемого участка, нужно из количества движения объема между сечениями 1-1 и 2-2 вычесть количество движения объема между сечениями 1’-1’ и 2'-2'. При вычитании количество движения промежуточного объема, ограниченного сечениями 1'-1’ и 2-2, сократится и останется лишь разность количеств движения элементов 2-2' и 1-1', которые на рис. 7.1 заштрихованы. Объемы этих элементов , а следовательно, и их массы одинаковы, поэтому приращение количества движения будет равно .

Это приращение количества движения обусловлено импульсом всех внешних сил, действующих на объем жидкости между сечениями 1-1 и 2-2, - сил давления в первом и втором сечениях и , силы тяжести всего объема G, а также реакции стенок русла R, которая складывается из сил давления и трения, распределенных по боковой поверхности объема. Обозначим вектор равнодействующих всех сил через . Тогда

, (7.18)

или после сокращения на dt

. (7.19)

Таким образом, при установившемся движении вектор равнодействующей всех внешних сил, действующих на жидкость в фиксированном объеме, равен геометрической разности количеств движения жидкости, вытекающей из этого объема и втекающей в него за единицу времени.

Уравнение (7.19) можно записать в виде

(7.20)

и в соответствии с этим построить замкнутый треугольник (или многоугольник) векторов, как показано на рис. 7.1. В связи с тем что в уравнении (7.20) вектор , имеет знак «минус», при построении он направлен в сторону, обратную действительному его направлению. То же уравнение (7.20) можно записать и в проекциях на ту или иную ось.

В качестве примера определим силу воздействия потока жидкости на преграду. Пусть жидкость вытекает в атмосферу и наталкивается на безграничную стенку, установленную нормально к потоку. В результате жидкость растекается по стенке, изменяя направление своего течения на 90° (рис. 7.2). Известны площадь сечения потока S, скорость истечения и плотность жидкости .

Рис. 7.2. Воздействие струи на преграду

Для решения данной задачи берем фиксированный объем, показанный штриховой линией. Так как давление внутри струи и по поверхности жидкости равно атмосферному, т.е. избыточное давление равно нулю, для направления, совпадающего с вектором скорости истечения , уравнение будет

. (7.21)

Это и есть сила воздействия потока жидкости на преграду.

8. Лекция №8

8.1. Уравнение баланса энергии

Закон об изменении энергии или переноса энергии для некоторого объема формулируется следующим образом.

Изменение во времени полной энергии некоторой массы вещества равно сумме мощностей внешних объемных и поверхностных сил, приложенных к рассматриваемой массе и ее поверхности, сложенной с отнесенным к единице времени количеством тепла, которое протекает вследствие теплопроводности через поверхность, ограничивающую выделенную массу. Приведенный закон можно записать в виде

, (8.1)

где - мощности массовых и поверхностных сил, приложенных к рассматриваемой массе и ее поверхности;

Q - количество тепла, протекающее в единицу времени через поверхность рассматриваемого объема.

Полная энергия единицы объема Е есть сумма внутренней и кинетической энергии, т.е.

. (8.2)

Внутренняя энергия единицы массы при условии, что газ совершенен, равна произведению абсолютной температуры Т на удельную теплоемкость при постоянном объеме , т.е.

. (8.3)

Следовательно, полная энергия единицы объема равна

. (8.4)

Работа массовых или объемных сил может быть вычислена как сумма работ составляющих массовых сил, отнесенных к единице массы, X, У и Z на перемещениях и . Следовательно, мощность массовых сил, отнесенных к единице объема, равна

. (8.5)

К каждой грани элементарного параллелепипеда приложены силы с нормальными и касательными составляющими. Рассмотрим работу сил, приложенных к граням, перпендикулярным к оси х. Работа нормальной составляющей , приложенной к грани 1, лежащей в координатной плоскости уz, равна

, (8.6)

а работа нормальной составляющей, приложенной к грани 2, удаленной от координатной плоскости уz на расстояние dx, будет

. (8.7)

Очевидно, сумма мощностей нормальных составляющих сил, приложенных к граням, перпендикулярным к оси х, отнесенная к единице объема, будет равна .

Соответствующая сумма мощностей касательных составляющих, приложенных к тем же граням, запишется

. (8.8)

Аналогичные расчеты мощностей поверхностных сил, приложенных к площадкам, нормальным к осям у и z, дают

; (8.9)

. (8.10)

Таким образом, мощность поверхностных сил единицы объема будет

(8.11)

Количество входящего и выходящего из данного объема тепла Q

. (8.12)

Тогда, подставив в уравнение (8.1) выражения для Е, , и Q по формулам (8.4), (8.5), (8.11) и (8.12), окончательно получим уравнение баланса энергии

. (8.13)

Мощность массовых сил можно представить в виде скалярного произведения

. (8.14)

Аналогичным образом представим мощность поверхностных сил в виде

, (8.15)

где - векторы напряжений поверхностных сил, приложенных к граням, перпендикулярным осям х, y и z. Тогда уравнение баланса энергии может быть представлено в виде