Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

. (6.25)

Затем, сложив почленно и разделив на , получим

. (6.26)

Отдельные слагаемые левой части уравнения, имея в виду стационарность потока, представим в виде

(6.27)

Уравнение (6.26) будет справедливо лишь на линии тока, если между элементами дуги и скоростью будут соблюдаться соотношения

(6.27)

или

. (6.28)

Используя последние равенства, получим

;

(6.29)

так как выражение в скобках представляет собой полный дифференциал. Окончательно левая часть уравнения (6.26) может быть представлена следующим образом

. (6.30)

Тогда, полагая наличие потенциала массовых сил, уравнение (6.26) запишем в виде

(6.31)

или

. (6.32)

При постоянной плотности, что соответствует несжимаемой жидкости, получим

. (6.33)

Интегралом этого уравнения будет

(6.34)

или, имея в виду выражение потенциала сил тяжести, запишем

. (6.35)

Выражение (6.35) называется интегралом или уравнением Бернулли для линии тока.

Уравнение (6.35) тождественно с уравнением Бернулли для потенциального потока. Различие состоит в том, что при потенциальном потоке постоянная С сохраняет свое значение для всей области потока, а при вихревом потоке каждая линия тока имеет свое значение постоянной С. В случае вихревого движения постоянная С сохраняет свое значение и вдоль вихревой линии.

Когда плотность жидкости не постоянна, вид интеграла Бернулли определяется зависимостью плотности жидкости от параметров потока. Наиболее простым с точки зрения математики является движение, при котором плотность есть функция только от давления. Жидкости, плотность которых есть функция давления, называются баротропными. Для баротропных жидкостей плотность равна

. (6.36)

Тогда уравнение (6.32) для стационарного потока при наличии потенциала массовых сил будет

. (6.37)

Если ввести интеграл в виде

, (6.38)

то получим

(6.39)

или

. (6.40)

Последнее выражение есть интеграл Бернулли для баротропного движения.

Интеграл Бернулли для одномерного баротропного движения при отсутствии массовых сил имеет вид

, (6.41)

где Р - так называемая функция давления, значение которой определяется из выражения (6.36) при заданной связи между плотностью и давлением.

Для изотермического процесса функция давления равна

, (6.42)

следовательно, интеграл Бернулли будет иметь вид

. (6.43)

Жидкости, плотность которых есть функция не только давления, но и температуры, называют бароклинными. При течении бароклинных жидкостей их плотность определяется в виде

. (6.44)

Интеграл Бернулли является одним из основных уравнений гидравлики (механики жидкости и газа) и широко применяется в различных своих формах.

7. Лекция №7

7.1. Закон изменения количества движения

Из курсов физики и теоретической механики известна теорема об изменении количеств движения, согласно которой производная по времени от главного вектора количеств движения массы, заключенной в некотором объеме , равна главному вектору всех внешних сил , приложенных к объему

. (7.1)

Рассмотрим применение этой теоремы к стационарно движущемуся потоку жидкости.

Когда количество движения жидкости в объеме , заключенном внутри некоторой неподвижной (так называемой контрольной) поверхности s, будет равно

. (7.2)

Подставив значение в уравнение (7.1), получим

. (7.3)

Так как, согласно закону о сохранении массы в течение всего времени масса частиц жидкости остается постоянной, т.е. , то предыдущее равенство запишется следующим образом

(7.4)

или в проекциях на оси координат

;

; (7.5)

.

Сделаем далее преобразования лишь для проекции на ось х. Так как для стационарного движения и

, (7.6)

а

;

; (7.7)

.

то

(7.8)

Очевидно, что второй интеграл в правой части обращается в нуль, так как при стационарном движении сжимаемой жидкости .

Пользуясь формулой Остроградского - Гаусса для связи интегралов по поверхности s и по объему , заключенному в этой поверхности, в форме

, (7.9)

получим выражение изменения количества движения в проекции на ось х в виде

где

(7.10)

есть проекция вектора скорости на нормаль к площадке ds и, следовательно, есть масса жидкости, проходящая через элементарную площадку контрольной поверхности s.

Проделав аналогичные операции с проекциями на оси у и z, получим

; (7.11)

. (7.12)

Следовательно, уравнение импульсов или закон изменения количеств движения для стационарного движения любых жидкостей и всех сплошных сред (мука, пыль, песок и пр.) можно представить в векторной форме в следующем виде

. (7.13)

Можно заметить, что полученный закон изменения количеств движения для сплошных сред существенно отличается от ранее приведенной его формулировки для твердого тела. Это отличие выражается в том, что вместо производной по времени от количества движения некоторого твердого тела с объемом для сплошной среды рассматривается так называемый перенос количества движения через замкнутую контрольную поверхность s. Причем для определения изменения количеств движения некоторой массы жидкости, заключенной внутри контрольной поверхности, достаточно изучить только то, что происходит на этой контрольной поверхности.