Материал: Гидравлика. курс лекций. Бородкин В.В

5.3. Уравнение Навье-Стокса для вязкой жидкости

Рассмотрим изотермическое движение вязкой несжимаемой жидкости. В этом случае плотность и вязкость будут величинами постоянными.

Подставим выражения компонент напряжений в соответствии с формулами (5.20) - (5.22) и (5.29) в уравнения в напряжениях (4.31) и, учитывая, что для несжимаемой жидкости

, (5.30)

получим уравнение движения вязкой несжимаемой жидкости. Так, для проекции на ось х найдем

(5.31)

Проделав аналогичные преобразования с двумя другими уравнениями (4.31), будем иметь систему уравнений

(5.32)

где - оператор Лапласа.

Уравнения (5.32) представляют собой замкнутую систему с четырьмя неизвестными и р. Величины и , а также проекции массовых сил X, У и Z должны быть заданы.

Вспоминая выражение для ускорения (3.10), видим, что уравнения (5.32) представляют собой нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. В векторной форме они имеют вид

, (5.33)

где - вектор с проекциями и .

Уравнения (5.32) впервые были получены в 1845 г. Стоксом и поэтому часто называются уравнениями Стокса.

Для решения системы (5.32) следует задать граничные условия. При наличии же локальных составляющих ускорения, т.е. в нестационарном потоке, необходимы и начальные условия.

Начальные условия ставятся так же, как и для идеальной жидкости, в виде распределения скоростей во всей рассматриваемой области в момент времени , т.е. задается вид функций

.

Граничные условия задаются на поверхности обтекаемого тела и на бесконечности, в невозмущенной жидкости. На бесконечности, как правило, считают известными величины скорости и давления, а для внутренней задачи - расход жидкости.

Тип граничных условий для любого уравнения в частных производных, называют именами известных ученых: Дирихле, Неймана или Робина.

Условие Дирихле соответствует случаю, когда на границе замкнутой области задано значение искомой функции, т.е. и = f. Если на границе замкнутой области задано значение не самой искомой функции, а лишь ее производной по нормали, т.е. ди/дп= f , то такое граничное условие называют условием Неймана. Смешанные граничные условия Дирихле и Неймана в виде ди / дп + ku = f , где k > 0, носят название граничного условия Робина.

6. Лекция №6

6.1. Модель идеальной (невязкой) жидкости. Уравнения Эйлера

Из всех моделей жидкости, рассматриваемых в гидромеханике, наиболее простой является модель идеальной жидкости. Идеальной жидкостью называют жидкость, в которой отсутствуют внутреннее трение и теплопроводность. Таким образом, при движении идеальной жидкости касательных сил трения нет и все взаимодействие между соприкасающимися объемами жидкости сводится к действию нормальных поверхностных сил.

Допущение об отсутствии касательных поверхностных сил означает, что недиагональные компоненты напряжений в точке движущейся жидкости обращаются в нуль

.

Таким образом принимают, что при движении идеальной жидкости, так же как при состоянии равновесия любой сплошной среды, нормальное напряжение в данной точке не зависит от направления площадки, к которой оно приложено.

В гидростатике и гидродинамике скалярную величину нормального напряжения давления в данной точке потока идеальной жидкости будем называть гидродинамическим давлением или давлением в данной точке.

Несмотря на то, что идеальная жидкость в действительности не существует, многие теоретические решения, полученные в предположении идеальности жидкости, имеют большое практическое значение.

Это объясняется тем, что идеальная жидкость сохраняет основные свойства реальных жидкостей (непрерывность или сплошность).

Для вывода уравнения движения воспользуемся уравнением в напряжениях, проекция которого на ось х будет

(6.1)

где - проекция ускорения;

- проекция массовой силы, отнесенной к единице объема.

Остальные три слагаемых представляют собой производные от нормальных и касательных напряжений в жидкости.

Так как в идеальной жидкости вязкость отсутствует, а касательные напряжения равны нулю, то величина нормальных напряжений будет . Поэтому уравнения движения идеальной жидкости в проекциях на оси координат имеют вид

(6.2)

Полученную систему уравнений в векторной форме можно представить в виде

. (6.3)

Это уравнение движения идеальной жидкости часто называют уравнением Эйлера.

В общем случае скорость движения жидкости зависит как от координат, так и от времени, поэтому

. (6.4)

Подставив соответственно выражение для и в уравнение (6.2), получим следующий вид дифференциальных уравнений движения (уравнений Эйлера)

(6.5)

Для интегрирования дифференциальных уравнений движения необходимо иметь некоторые начальные и граничные условия.

Преобразуем левую часть уравнения Эйлера. Ускорение жидкости в проекции на ось х записывалось в уравнении Эйлера в виде

Добавлением и вычитанием величины этому выражению можно придать вид

. (6.6)

Так как

(6.7)

и

, (6.8)

то левая часть уравнения Эйлера будет иметь вид

, (6.9)

где - проекция векторного произведения двух векторов на ось x.

Преобразуя аналогично остальные уравнения Эйлера, запишем уравнения движения идеальной жидкости в форме Громека

(6.10)

Особенность уравнения Эйлера в форме Громека заключается в выделении в явном виде члена, содержащего вихрь вектора скорости. При равенстве нулю слагаемого система уравнений (6.10) сильно упрощается и нетрудно получить интеграл этого уравнения. Последнее слагаемое обращается в нуль в трех случаях: 1) скорость потока равна нулю; 2) векторы скорости и вихря скорости параллельны и поэтому векторное произведение равно нулю. Это случай так называемого винтового движения, весьма редко встречающегося в практике; 3) вихрь скорости равен нулю. Это - безвихревой или так называемый потенциальный поток.

6.2. Интегралы уравнения движения жидкости для разных случаев движения. Баротропные и бароклинные течения

Если во всей области движения , то существует потенциал скорости , т.е.

(6.11)

или

. (6.12)

Тогда уравнение Эйлера в форме Громека примет вид

. (6.13)

Следовательно, выражение в скобках может зависеть только от времени, а от координат не зависит. Интеграл этого уравнения будет

, (6.14)

где определяется из граничных условий. Этот интеграл уравнения Эйлера называется интегралом Коши для потенциального движения идеальной несжимаемой жидкости.

Когда массовые силы являются только силами тяжести, потенциал этих сил принимает вид U = gz, а интеграл Коши

. (6.15)

В уравнении (6.15) имеется два неизвестных и р, поэтому для решения задачи следует воспользоваться уравнением неразрывности

. (6.16)

Подставляя в это уравнение значения проекций скорости, получим

. (6.17)

Уравнение (6.17) является уравнением Лапласа, решая которое можно найти . Подставив значение в уравнение (6.15) и имея в виду, что

, (6.18)

определим давление р. Произвольная функция будет найдена по величине р(t) в некоторой точке.

Если движение стационарно, т.е. , то уравнение (6.15) примет вид

. (6.19)

Этот интеграл уравнений Эйлера называется интегралом Бернулли для потенциального стационарного потока идеальной несжимаемой жидкости. Постоянная будет одной и той же для всей области потенциального потока.

Из уравнения Бернулли видно, что во всей области безвихревого потока энергия жидкости в единице массы остается постоянной. Первое слагаемое выражения (6.19) является кинетической энергией, второе - потенциальной и третье - работой сил давления.

Умножив все слагаемые уравнения (6.19) на величину плотности, получим интеграл Бернулли в виде суммы слагаемых, имеющих размерность давления

, (6.20)

где р - пьезометрический напор;

- скоростной или динамический напор;

- геометрический напор;

- полный напор.

В соответствии с уравнением (6.20) сумма динамического, пьезометрического и геометрического напоров во всей области потенциального потока остается величиной постоянной.

Разделив обе части уравнения (6.19) на g, получим уравнение Бернулли в виде

. (6.21)

Каждый член, входящий в уравнение (6.21), имеет размерность длины. Величину называют динамической высотой, - пьезометрической и z - геометрической высотой.

Согласно уравнению (6.21) сумма динамической, геометрической и пьезометрической высот во всей области потенциального потока остается величиной постоянной.

При отсутствии массовых сил интеграл Бернулли запишется в виде

(6.22)

или

. (6.23)

Если в уравнении (6.19) скорость V будем считать равной нулю, то получим интеграл уравнения Эйлера для гидростатики

. (6.24)

Для того чтобы проинтегрировать уравнения Эйлера (6.2) вдоль линии тока, проделаем некоторые преобразования. Умножим уравнения (6.2) соответственно на dx, dy, dz