Дипломная работа: Хеджирование портфеля

Рисунок 2.2. Стоимость опциона пут в зависимости от цены исполнения

Отрицательную зависимость можно объяснить следующим образом: при возрастании цены исполнения покупать базовый актив по более высокой цене становится невыгодно. Соответственно, падает ценность такого опциона.

Стоит также отметить, что существуют и другие способы оценки ванильных опционов. К примеру, для оценки ванильных опционов могут использоваться методы Монте-Карло. Но, наверное, формула Блэка-Шоулза-Мертона является наиболее распространенным методом оценки стоимости ванильных опционов.

Азиатские опционы.

Для оценки азиатских опционов существует формула в аналитическом виде. Азиатские опционы с фиксированным страйком можно оценивать на основе модели Блэка. Также, в случае если модель Блэка неприменима, можно использовать методы Монте-Карло. В таком случае генерируется достаточно большое количество вариантов динамики цен базового актива за период до исполнения опциона. Далее для каждого сценария рассчитываются средние цены базового актива за указанный период. После этого можно рассчитать цену опциона как среднее значение дисконтированного выигрыша.

Барьерные опционы.

Для расчета стоимости барьерных опционов любой спецификации можно использовать методы Монте-Карло. Порядок расчета стоимости барьерных опционов методами Монте-Карло аналогичен порядку расчета стоимости азиатских опционов: цена опциона равняется среднему значению дисконтированного выигрыша. Значение выигрыша определяется в зависимости от динамики базового актива. Для расчета стоимости опционов должно быть сгенерировано достаточно большое количество сценариев.

Подводя итоги, в данной главе были рассмотрены основные характеристики ванильных, азиатских и барьерных опционов, а также методы их оценки. Все это будет применено на практике в следующем разделе.

3. Хеджирование портфеля по показателю CVaR

3.1 Снижение CVaR портфеля ванильными, азиатскими, барьерными опционами

В данном разделе анализируются возможности снижения показателя CVaR портфеля посредством приобретения опционов. Для сравнения будут использованы ванильные, азиатские и барьерные опционы.

Предположим, что в начальный момент в управлении имеется сумма 10000 руб. На эти средства приобретаются акции. Однако, задачей работы являются минимизация CVaR. Хеджирование предполагает одновременное занятие позиций на двух рынках: на спотовом (в данном случае рынке акций), а также на рынке производных финансовых инструментов (срочном рынке). В данной работе будут рассматриваться возможности хеджирования посредством опционов.

Таким образом, помимо акций, с целью снижения показателя Conditional Value at Risk приобретаются опционы. Поэтому необходимо распределить средства между акциями и опционами таким образом, чтобы CVaR полученного портфеля был минимальным.

Итак, предположим, что начальные условия следующие:

· Стоимость портфеля в первоначальный момент

V₀ = 10000

· Стоимость 1 акции в первоначальный момент

S₀ = 100

· Годовая доходность акций

м = 0,1

· Волатильность акций

у = 0,4

· Период хеджирования

T = 1 год

· Безрисковая ставка в годовом исчислении

r = 0,7

Предположим, что стоимость акций следует следующему закону:

В таком случае, используя имитационное моделирование, можно построить множество сценариев динамики акций. Стоимость портфеля при отсутствии хеджирования в момент времени t составит:

V_t = xS_t

x - количество акций в портфеле.

Очевидно, что в таком случае стоимость портфеля полностью определяется стоимостью акций. С помощью специального программного обеспечения было рассчитано 1000 возможных цен на заданный момент времени. Таким образом, было получено 1000 возможных стоимостей портфеля. Это позволяет нам рассчитать VaR, а также искомый показатель CVaR. Для этих целей был выбран 95-процентный доверительный интервал. Для заданных параметрах можно получить функцию распределения плотности вероятностей методом непараметрического сглаживания, которая представлена на следующем рисунке:

Рисунок 3.1. Распределение убытков портфеля

Как можно убедиться из графика, распределение далеко от стандартного нормального, имеется значительная асимметрия. VaR данного портфеля составляет 4776 руб., а CVaR, как и должно быть, - несколько больше: 5566. Подобные высокие значения связаны с тем, что заданная волатильность также находится на высоком уровне.

Очевидно, что необходимо предпринять меры, чтобы снизить показатели риска до более приемлемого уровня. Для начала, для того, чтобы захеджировать портфель, обратимся к наиболее популярным для этих целей классическим опционам пут, которые торгуются на биржевом рынке на стандартизированных условиях. Предположим, что есть возможность приобрести опционы пут, базовым активом которых является акция, портфель которых и хеджируется. Для удобства допустим, что горизонт хеджирования совпадает со сроком действия опциона.

В зависимости от того, какое значение примет цена акции в момент исполнения опциона, будет определен выигрыш по опциону. Стоимость опционов пут оценивается на основе модели Блэка-Шоулза-Мертона.

Также важным моментом является то, сколько средств инвестор готов потратить на покупку опционов. В зависимости от этого и будет приниматься решение о выборе портфеля опционов для хеджирования.

Стоит добавить и следующее ограничение: нельзя занимать короткие позиции по опционам, поскольку мы ставим противоположную задачу - с помощью опционов захеджироваться от возможного риска снижения стоимости портфеля.

Также с тем, чтобы иметь возможность закрыть позиции по опционам в момент исполнения опционного контракта, вводится следующее ограничение: общее количество купленных опционов не должно превышать количество имеющихся в портфеле акций.

Таким образом, задача минимизации CVaR принимает следующий вид:

- количество спецификаций опционов, используемых для хеджирования.

- затраты на хеджирование портфеля.

- вектор размерностью n, элементами которого являются количества опционов на разных страйках.

- вектор размерностью n, элементами которого являются цены опционов на разных страйках.

- элемент вектора y, то есть количество опционов на конкретном страйке.

Предположим, что имеется возможность приобрести опционы на следующих страйках: 100, 110, 120, 130, 140 руб. Данные цены исполнения были выбраны следующим образом: рынок достаточно волатилен, поэтому должна иметься возможность продать акции по более выгодной цене. Однако, стоит отметить, что возможность продать акции по цене отличной от рыночной требует определенных затрат. Чем выше цена исполнения, тем выше затраты. В связи с вышесказанным при низком ограничении затрат на хеджирование скорее всего будут выбраны опционы на низких страйках, при росте возможностей хеджирования - на более высоких страйках.

Были получены следующие портфели в зависимости от затрат на хеджирование:

Таблица 3.1. CVaR портфеля с ванильными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Как и предполагалось, при росте возможностей хеджирования более оптимальным становился портфеля с опционами на более высоких страйках. Что касается CVaR, то его удалось существенно снизить за счет включения в портфель опционов. Первоначально он составлял 5586 руб., однако при инвестировании 20% первоначальных средств в опционы его удалось сократить до 870 руб. Это означает, что с 95-процентной вероятностью средние убытки по портфелю, превышающие VaR, составят 870 руб.

Также были рассчитаны доходность и стандартное отклонение портфеля - основные индикаторы привлекательности портфеля с точки зрения инвестора. Данные показатели проиллюстрированы в следующей таблице:

Таблица 3.2. Доходность и стандартное отклонение портфеля с ванильными опционами в зависимости от затрат на хеджирования

Данная таблица представляет данные о годовых доходностях и волатильности портфеля в зависимости от затрат на хеджирование. Очевидно, что хеджирование связано с определенными затратами, поэтому мы видим тенденцию к падению доходности по мере роста затрат на хеджирование.

Что касается волатильности, то ее удалось успешно понизить посредством добавления в портфель опционов пут. После хеджирования она упала до 23,8%. Однако подобный успех сопряжен с существенными затратами на хеджирование.

После рассмотрения ванильных опционов предлагается проанализировать возможности хеджирования портфеля азиатскими опционами. Данные опционы не торгуются на бирже, их можно приобрести только на внебиржевом рынке, поскольку они не являются стандартизированными производными финансовыми инструментами. Однако возможность инвестирования в подобные ценные бумаги несет определенный интерес, который будет продемонстрирован далее в работе.

Предположим, что на некотором внебиржевом рынке торгуется азиатский опцион пут с фиксированным страйком с основными характеристиками базового актива, описанными ранее. Кроме них, у азиатского опциона должны быть оговорены и другие характеристики, влияющие на его стоимость. К ним относятся особенности расчета средней цены.

Предположим также, что параметры усреднения следующие:

t₁ - начало периода расчета средней цены.

t₂ - конец периода расчета средней цены.

T₁ - начало периода расчета средней цены, в долях от срока действия опциона.

T₂ - конец периода расчета средней цены, в долях от срока действия опциона.

То есть в основе азиатского опциона лежит цена, рассчитанная как среднее арифметическое за период от до .

Пусть началом периода расчета средней цены будет T₁ = ѕ, а концом - T₂ = 1. То есть конец периода усреднения совпадает со сроком действия опциона. Данные параметры были выбраны, исходя из того, что азиатский опцион с подобной спецификацией может больше соответствовать задачам работы: минимизировать значение CVaR через 1 год.

Результаты минимизации представлены в следующей таблице:

Таблица 3.3. CVaR портфеля с азиатскими опционами в зависимости от затрат на хеджирования