Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Пусть f (x)		0 при a	x	. Очевидно, что в этом
			N
случае	интеграл	Φ(N )		f (x)dx	есть монотонно
			a
возрастающая функция от переменной N: большему
значению N соответствует большее значение площади
фигуры.	Если при этом функция Φ(N)				M при N	,

(ограничена), то она имеет предел (признак существования предела):

	lim Φ(N ) A M , т.е.			f (x)dx		A.
	N
				a
Интеграл сходится.
	Если Φ(N) неограниченна при					x	,	то
несобственный		интеграл	расходится		к	бесконечности:
f ( x)dx		.
a
	Теорема.	Пусть	для	x a,		выполняется
соотношение:
	0 f (x) g(x) ,						(15)
	тогда:
1.	Если	g(x)dx сходится, то сходится и					f (x)dx .
	a					a
2.	Если	f (x)dx	расходится,		то	расходится		и
		a

g(x)dx .

Доказательство:

Пусть

g(x)dx

сходится,

т.е.

lim g(x)dx A

g(x)

f(x)

0 a N х

Рис. 22.

Таким образом, при возрастая ограничена сверху,

Проинтегрируем неравенство (15) в пределах от a до N:

N N

	f (x)dx	g(x)dx A ,
	a	a
	, т.е. Φ(N)	A
	.
N	Φ(N) ,	монотонно

поэтому существует предел:

	lim Φ(N )		lim	f (x)dx и		f (x)dx сходится.
N		N
				a		a
2.	Пусть	f (x)dx расходится. Тогда
	a
			N		N
	G(N )		g(x)dx		f (x)dx A .
			a		a
Но	Φ(N)		, N	,		следовательно	и
G(N)	, N		и	g(x)dx расходится.
				a

Следствие 1. Если f(x) непрерывна на a,, причѐм

0	f (x)		A		, где p>1, то		f (x)dx сходится.
0	f (x)				, где p>1, то		f (x)dx сходится.
			x p				a
							a
	Следствие 2. Если f(x) непрерывна на							a,		, f (x) 0
и	f (x)	A		, где		p 1 , то	f (x)dx расходится.
и	f (x)			, где		p 1 , то	f (x)dx расходится.
		x p					a
							a
	Примеры.
	1.Исследовать сходимость интеграла									dx
											.
								1	x2	1 e x	.
								1
Сравним данный						интеграл	с известным			сходящимся

интегралом

. Так как при

2 ,

2 1

e x

то

. Следовательно интеграл сходится.

x2 1 e x

2. Аналогично доказывается, что

dx расходится.

Действительно, при x

, а

расходится.

2.Несобственные интегралы от неограниченных функций (несобственные интегралы второго рода).

Непрерывная на отрезке функция интегрируема на

нѐм.

1. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на конечном промежутке a, b за исключением конечного числа точек.

Если f(x) на

отрезке

a, b

имеет конечное

число

только

разрывов

рода

(конечные скачки), то

в этом случае отрезок

a, b

точками

с и d

можно разбить на три промежутка, в

Рис. 23. каждом из которых функция f(x) непрерывна. В этом случае интеграл в пределах от a до b на основании свойств аддитивности определяется как сумма интегралов от непрерывных функций:

b	c	d	b
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx
a	a	c	d

(собственные интегралы).

2. Пусть функция f(x) определена и непрерывна при

a x	b , а в точке b терпит бесконечный разрыв (разрыв II
рода).	В этом смысле определѐнный интеграл на a, b не

может существовать, т.к. не существует предел интегральных сумм. Поступим следующим образом.

Возьмѐм произвольное число		0 и рассмотрим отрезок
a, b	(рис. 24).

y=f(x)

Рис. 24.

Функция

f(x)

непрерывна

на

этом

отрезке,

значит

существует интеграл

f (x)dx

Φ(

) .

Если

существует

предел

этого

интеграла

когда

0, то этот предел называется несобственным

интегралом второго рода и обозначается:

lim

f (x)dx

f (x)dx .

Если предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл называется расходящимся.

Аналогично определяется интеграл с особенностью на нижнем пределе. Пусть f(x) непрерывна на a x b , а при х=а имеет разрыв второго рода (рис. 25), тогда

f (x)dx

lim

f (x)dx. .

y=f(x)

Рис. 25.

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога