Материал: Интегральное исчисление функции одной переменной. Дурова В.Н., Зайцева М.И

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Примеры.

1	dx				1	1	1
							1

			lim		x	2 dx 2 lim x	2 lim 1	2


		x
0		x		0		0	0
0
(сходится).

. Установить,

при каких р данный интеграл

0 x

сходится.

P<1

P=1

P>1

Рис. 26.

а) р=1

lim

lim ln x

Интеграл расходится. b) p>1 .

1	dx		lim	1 x	p dx lim			x p	1	1
1	dx							x p	1	1
		p						p	1
	x	p	0			0		p	1
0	x
0			1		p	1
					p	1
	lim						.


		0	1	p	1	p

Интеграл расходится.

с) p<1

lim

1 x

p dx

lim

x p

0 x

p 1

lim

1 p

Интеграл сходится.

Сходимость

или

расходимость

интеграла

x p

определяется скоростью роста подынтегральной функции вблизи точки разрыва: если скорость велика p 1 , то

интеграл расходится, если мала (p<1), то интеграл сходится. Точно также интегралы более общего вида:

и a b x p ,

сходятся, если (p<1) и расходятся p 1 . y

b x

Рис. 27.

Пусть функция f(x) на отрезке a, b имеет несколько точек

разрыва второго рода (рис. 27). Тогда промежуток разбивают на частичные так, чтобы на каждом из них было

по одной точке разрыва, расположенной на конце интервала:

b	c1	c2	c3
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx
a	a	C1	C2
c4	c5	c6		b
f (x)dx	f (x)dx	f (x)dx		f (x)dx.
c3	c4	c5		c6

Если все интегралы в правой части сходятся, то сходится и интеграл в левой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и интеграл, стоящий справа.

Теорема: Пусть	x a,b	выполнено	условие
0 f (x) g(x) , причѐм f(x) и g(x) непрерывны при a			x b ,

а при x=b имеют бесконечные разрывы. Тогда:

Если

g(x)dx сходится, то сходится и f (x)dx ;

Если

f (x)dx расходится, то расходится и g(x)dx .

g(x)

f(x)

Рис. 28.

Доказательство точно такое же, что и для несобственных интегралов первого рода.

Следствие 1. Если	0 f (x)	A		и p<1, то

		b x	p
		b x	p
b
f (x)dx сходится.
a
Следствие 2. Если	f (x) 0 , непрерывна при a					x b ,
а при x=b имеет разрыв первого рода и			f (x)		A		, где

					b x	p

p 1, то f (x)dx расходится.

Примеры. Исследовать сходимость интегралов, используя теоремы сравнения.

100

1.			dx			. При х=0 подынтегральная функция

	3		24		x3
	3	x	24	x	x3
	0

терпит разрыв. Сравним данный интеграл с интегралом

100

	dx		, который сходится. Так как								1					1	, то
			, который сходится. Так как														, то
4		x									3	x	24	x	x 3 4 x
0
100								100
					dx				dx	и данный интеграл сходится.
							x3			и данный интеграл сходится.
		3		x	24	x	x3		4 x
		0						0

	2.						dx					.	При	х=1 подынтегральная функция


				3		1			x4
				3		1			x4
			0
терпит										разрыв.										При					x>0
	1												1					1			.

																3
3			4	3											2
3	1	x	4	3		1			x 1				x 1	x	2			1		x
	1	x				1			x 1				x 1	x
		1		dx									dx
Тогда				dx									dx	.			Но		последний				интеграл

													1
					x 4								1
		0 3 1
		0 3 1										1 x 3
												1 x 3
сходится					p			1		.			Следовательно,							сходится			и	данный
сходится					p		3			.			Следовательно,							сходится			и	данный
							3
интеграл.
					3.9. Абсолютная и условная сходимость
											несобственных интегралов
		Пусть функция f(x) непрерывна на a,																				или		a,b и
имеет на этом промежутке произвольный знак.
		Несобственный											интеграл					называется					абсолютно
сходящимся, если сходится интеграл от функции																							f (x)		.
сходящимся, если сходится интеграл от функции																							f (x)		.

Сама функция f(x) называется при этом абсолютно интегрируемой на соответствующем промежутке.

	f (x)		dx -для интегралов первого рода;	(16)
a
b
	f (x)	dx - для интегралов второго рода.		(17)
	f (x)	dx - для интегралов второго рода.		(17)

Абсолютно сходящийся интеграл сходится, т.е. из сходимости интегралов (16) или (17) следует, соответственно, сходимость интегралов (3)

Источник: https://studfile.net/preview/16565820/

Смотрите также:




_1966(~1
_files_materials_5053_prog.ntr
_Антонян Ю.М., Сексуальные преступления. Чикатило и другие
_РГР № 1 (2)
- Габариты и масса 27
!Фармакология препаратов для терапии заболеваний дыхательных путей
'Образ–Я' и его развитие средствами диалога