Определение финансовых пузырей во временных рядах тема достаточно новая для экономической науки. Самые ранние работы по ней считаются опубликованными в 1980-ых годах. На этот момент математический аппарат и методики эконометрического анализа уже начали позволять исследователям создавать тесты для определения периодов избыточной волатильности во временных рядах. Поэтому на текущий момент существует не так много методик для определения финансовых пузырей. Большая часть из них была сформирована в конце 1980-ых - начале 1990-ых годах. В этой главе разобраны наиболее популярные и эффективные из этих методик. Далее приведено математическое определение финансового пузыря.
Проблема оптимизации для потребительской полезности может быть выведена из базовой модели оценки активов в ситуации отсутствия арбитража и рациональных ожиданий индивидов. В начале максимизируется экономическая функция полезности индивида:
Где, - пожертвование, бета - коэффициент дисконтирования для будущего потребления, - хранимые активы, - цена актива после выплаты дивидендов, - выплаты от удержания актива.
Оптимизационная условия первого порядка выглядит следующим образом
Для целей оценки актива предполагается, что полезно линейна, что делает маржинальную полезности и риск-нейтральность индивида неизменными переменными. В этом случае уравнение (1) примет следующий вид
Также предполагается наличие безрискового актива с единой процентной ставкой r на всём периоде, также с отсутствие арбитража:
Уравнение (2) - начальная точка для большинства эмпирических тестов. Решением этого уравнения является следующее:
Формула оценки актива, как может быть видно состоит из двух частей ожидаемых платежей от владения активов и часть, называемая пузырём, в данном случае его наличие не предполагается, но оно вводится для последующей оценки. Предполагается, что часть “пузыря” в уравнении является стационарной. Также вводятся следующие допущения к модели оценки: отсутствие асимметрии информации у агентов; потребители риск-нейтральны; коэффициент дисконтирования равен константе; процесс формирования дивидендов остаётся неизменным.
Тогда, в случае отсутствия пузыря на рынке формула для оценки активов будет выглядеть следующим образом:
При этом, если правая часть уравнения, отвечающая за наличие пузыря не равна нулю, то “бессмертный индивид” может продать актив и потерять полезность, которая будет меньше из-за дисконтирования, чем цена его продажи. Эмпирические тесты на определения пузыря активов выводиться из уравнений (3) и (4) без использования уравнения оптимального состояния (5).[6]
Ниже рассмотрены первые и последние на данный момент модели определения финансовых пузырей.
2.1 Тесты, основанные на граничной дисперсии
Тесты, основанные на граничной дисперсии были впервые представлены Шиллером и Лерой-Портером. Тест Шиллера даёт только точечные оценки дисперсий, поэтому статистическая значимость не может быть проверена, тогда как у Лерой-Портера рассматривают цены активов и дивиденды как двумерные процессы, строя оценки дисперсий со стандартными ошибками. Нулевая гипотеза в модели Шиллера заключается в том, что «рыночное фундаментальное» решение уравнения (3) составляет основу оценки активов, так что
Далее P* - экс-пост рациональная цена может быть найдена как настоящая стоимость выплат за владение активом:
При условии рациональных ожиданий разница между настоящими и ожидаемыми дивидендами непредсказуема, так как её среднее значение равно 0. Обозначим эту разницу как :
Данные виды тестов опираются на наблюдение о том, что так как не коррелирует со всей информацией в момент времени t, включая цену, оптимальная цена может быть записана как
Уравнение (7) устанавливает верхнюю границы разнице наблюдаемой цены, в предположении, что цены образуются согласно (5). Рациональная цена ex-post должна быть как минимум равна наблюдаемой цене, потому что наблюдаемая цена основана на ожидаемых дивидендах и поэтому не реагирует на изменения, вносимые будущими прогнозными ошибками, которые включают в себя цену ex-post. Если в данных нарушена граничная дисперсии, это свидетельствует о том, что стоимость актива не соответствуют уравнению (5). Применение теста, связанного с дисперсией сложнее, так как, чем его математическая формулировка, поскольку никогда не наблюдается, так не может существовать бесконечный поток дивидендов. Для эмпирического использования тест приближен, предполагая, что значение , где T - настоящий момент времени, последнее доступное значение данных и построение ряда оптимальной цены происходит с использованием наблюдаемых значений дивидендов. Для конечной цены Шиллер использует среднее значение выборки реальной цены.[25]
Тест Шиллера показывает, что фактическая волатильность цены превышает установленную по дисперсии рациональной цены ex-post на порядок колебаний. Хотя Шиллер и Гроссман и Шиллер использовали этот вывод для критики существующей модели оценки активов, не приписывая высокую волатильность цены активов проявлению “пузыря”, другие авторы, в том числе Тирол и Бланшард и Уотсон предположили, что граничная дисперсия может быть преодолена из-за наличия пузыря на рынке. Хотя нарушение граничной дисперсии возможно из-за наличия пузыря, эта теория испытывает проблемы с её использованием, что делает её непригодной для обнаружения финансовых пузырей. Некоторые из этих проблем -- это широкие проблемы, присутствующие в тестах, основанных на граничной дисперсии, применяемых для оценки активов, но они являются такими важными для моделей тестирования на наличие финансовых пузырей. Флавин показал, что использование средней цены в качестве крайней ex-post рациональной цены, тест отклоняется на маленьких объёмах выборок. Клейдон утверждает: дисперсии, о которых идет речь, теоретически, представляют собой кросс-секционные дисперсии в момент времени, однако для оценки на наличие пузыря используются временные ряды. Он показал, что данные, полученные из чистой модели текущей стоимости, нарушают граничную дисперсию, когда используются нестационарные дисперсии временных рядов. Марш и Мертон также показывают яркий пример теста на превышение граничной дисперсии, когда дивиденды и оценка актива нестационарны.[2;18]
Эта критика применима при использовании тестов оценки дисперсий для опровержения модели текущей стоимости. Для обхода критики Флавина, тест может использовать последнюю наблюдаемую цену в качестве конечной цены. Авторы Манкиве, Ромер и Шапиро отметили, что тесты на граничную дисперсию в этом случае не очень хорошо подходят для обнаружения пузырей активов.
Это предположение о предельном значении определяет наблюдаемый аналог ex-post рациональной цены как
При нулевой гипотезе об отсутствии пузыря это добавляет небольшой к ex-post рациональной цене, но не влияет на качество самого теста. Важное следствие из этого предположения заключается в том, что если в данных присутствует пузырь, то тест его обнаружит.
Для того, чтобы это увидеть, предположим, что
Как и в уравнении (3), и . Тогда средняя цена может быть записана как
Последние 3 слагаемых в уравнении - ошибки прогноза, которые не коррелируют с текущей ценой, поэтом добавляют неотрицательную дисперсию к средней цене. Тогда граничная дисперсия снова
(9)
Учитывая, что это неравенство предполагает наличие рационального пузыря, ясно, если граничная дисперсия нарушена, то из этого не следует наличие рационального пузыря. [17]
Кокрейн определяет наличие пузыря, используя отклонение Div/Price. Его тест задаётся вопросом, существует ли ставка дисконтирования, которая «объясняет» такую волатильность Div/Price. Если никакая ставка дисконтирования способна показать такое же отношение Div/Price, то можно сделать вывод о том, что существует пузырь. Стоит обратить внимание на то, что стандартная модель налагает некоторые ограничения по ставкам дисконтирования, так что дисконтированная сумма дивидендов сходится, а ставка дисконтирования не может быть отрицательной, поэтому поиск этой ставки дисконтирования, который даст такое же отношение дигисетов к цене, не является тривиальным. Кокрейн считает, что существует изменяющийся во времени процесс изменения ставки дисконтирования, который моделирует данные без необходимости присутствия пузыря активов. И этот процесс удовлетворяет типовым ограничениям и является применимым по сравнению с моделью с Хансена-Джаганнатхана.[9]
2.2 Двухфазный тест Уэста
Из критики тестов с граничной дисперсией видно, что тестирование справедливость модели оценки активов и тестирования на наличие финансовых пузырей связаны, но в их основе лежат разные методы. Для тестирования на наличие пузыря активов, он должен находиться в наборе альтернатив, когда тест отклоняет стандартную модель оценки активов. Важным этап в истории тестов на наличие финансовых пузырей, у который альтернативной гипотезой является наличие пузыря, был тест Уэст. Этот тест ориентирован на спецификацию модели и на наличие пузыря, путём тестирования модели на наличие и его отсутствия последовательно. Вклад Уэста состоял в том, что при отсутствии пузырей уравнение Эйлера, применяющееся для оценки активов без арбитража, может оцениваться отдельно, что позволяет получить информации о ставке дисконтирования. Тогда, если дивиденды могут быть представлены как авторегрессионный процесс, у которого мы знаем норму дисконтирования и параметры AR-процесса, который регулирует дивиденды, мы можем получить достаточную информацию для установления связи между дивидендами и ценой актива. Фактическая взаимосвязь между ценой актива и дивидендами может оцениваться путем регрессии цены актива от его дивидендов. При нулевой гипотезе об отсутствии финансовых пузырей, «фактическое» отношение между ценой актива и его дивидендами не должно отличаться от «построенного».[22]
Удобство этого метода заключается в том, что, если две оценки влияния дивидендов на цену актива отличаются, то можно установить несоответствие в неверной спецификации модели оценки или о наличии пузыря активов. Исследователь может применять эти тесты к уравнению Эйлера и AR-представлению дивидендов, исключая возможность в неверной спецификации модели, и оставления альтернативу наличия финансового пузыря в качестве единственной возможной причины разницы между двумя оценками. Таким образом, этот метод обнаружения пузырей активов является очень привлекательным для исследователей, но у него есть некоторое проблемы, связанные с реализацией. Они обсуждаются в контексте простого примера, который показывает Уэст.
Уравнение Эйлера, полученное из задачи оптимизации полезности потребителя, из предположений, осаждавшихся ранее, следует
(10)
Оно является таким же, как и уравнение (2), но при этом включает в уравнение зависимость от информации потребителей . Уравнение (10) может быть переписано в виде регрессии, используя наблюдаемые переменные:
(11)
Где, . Корреляция ошибки с регрессорами может быть плохой новость для OLS, но в контексте прошлых наблюдений - это естественное условие для теста Уэста.
4 оценка в уравнении (11) представляет оценку нормы дисконтирования. Стоит учесть, что связь между и не влияет на наличие пузыря. Это всего лишь утверждает, что не существует возможностей арбитража с наличием или отсутствием пузыря.
Следующий шаг - характеристика процесса формирования дивидендов. Для примера, предположим, что этот процесс - экзогенный и следует стационарному процессу AR (1):
Авторегрессионный параметр легко восстанавливается с помощью OLS регрессора. Учитывая это, рыночная стоимость актива будет иметь следующий вид:
Действительная цена актива же может содержать в себя пузырь. - сумма фундаментальной оценки актива и пузыря, что делает нулевую гипотезу равной нулю. Если нулевая гипотеза верна, то уравнение оценки актива имеет вид:
Без учёта пузыря, это нам даст верную оценку . Однако если, в данных существует пузырь, и этот пузырь коррелирует с дивидендами, то оценка будет смещенной. Стоит отметить, что будет смещенной только если пузырь коррелирует с дивидендами, и тест определит, только этот вид пузыря.
Тест Уэста позволяет оценить двумя путями. Если оценённое уравнение Эйлера верно характеризует оценку актива, и авторегрессионный процесс формирования дивидендов может быть оценён, то одна оценка связи между дивидендами и ценой равна . Вторая оценка , должна быть такой же, как и при отсутствии пузыря, но при этом должна отличаться, если в данных присутствует пузырь. Сравнение этих двух оценок и есть суть метода Уэста.
Используя коэффициент Хаусмана, тест Уэста строго отклоняет равенство оценок , указывая на наличие пузыря. Существует ряд особенностей при осуществлении этого теста. Первая особенность - не стационарность. Уэста отмечал, что если данные не стационарны, то тест может быть применён к первым разностям данных. Из-за того, что определение не стационарности с высокой степенью надёжности является достаточно сложной задачей, то этот тест проводится для первых разностей. Вторая особенность теста заключается в определении порядка AR процесса формирования дивидендов, который мы взяли равным 1 для упрощения. Связанная с этим особенность заключается в информации доступной инвесторам, но не доступной исследователям: инвесторы приобретают архив руководствуясь большей информацией, чем просто предыдущий поток дивидендов. Тест Уэста в этом случае выглядит так
Где,
Информационный сет Ф - это подсет и включает в себя историю выплаты дивидендов. В этом случае не коррелирует с прошлыми дивидендами, но будет автокоррелировать. Уэст получает ограничения коэффициентов для этого случая, где ограничения больше включены, но имеют схожую идею с процессом AR (1).
Следующая особенность - выбор эконометрического метода для проверки спецификации модели и коэффициентов. Уэст использует ряд спецификационных тестов для уравнения Эйлера и уравнения формирования дивидендов, включая тесты структурного разрыва. Его тестирование на ограничение коэффициентов, как упомянуто выше, является тестом Хаусмана, который приводит к отказу от равенства нулевой гипотезы коэффициентов. Дезбахш и Демиргук-Кунт критикуют эконометрическую методологию Уэста на основаниях того, что его тесты имеют искажаются с маленькими размерами выборок и несовместимы с альтернативой наличия финансового пузыря. Они предлагают тесты с лучшими свойствами для малой выборки, чтобы проверить, действительно ли , отличается от , и не обнаруживают признаков пузыря.
Вопрос об интерпретации отклонения гипотезы о наличие пузыря остается в силе. Как отмечает Уэст, отклонением может быть вызвано наличием пузыря, и это также может быть связано с отказом модели в каком-то другом измерении. Действительно, когда он допускает ставку дисконтирования, меняющуюся со временем, он не находит доказательств существования финансовых пузырей в предположении стационарности разностей. Хотя его подход позволяет раздельно тестировать неопределённость модели и наличие пузыря, трудно тестировать на каждую непредвиденную ситуацию с точки зрения спецификации модели. Например, тест Уэста на структурный разрыв в середине выборки в его модельных уравнениях и ничего не находит, однако, если ставка дисконтирования меняется во времени, но все же означают возвращается к среднему, его тест не обнаружит этого, что может объяснить, почему его уравнение Эйлера прошло тест спецификации, но это разница ставок дисконтирования может влиять на отклонение гипотезы отсутствия пузыря.