Флут, Ходрик и Каплан указывают на схожую проблему. Уравнение Эйлера (11) выводится и проверяется в течение двух последовательных периодов, но оно должно содержать в себе формулу для оценки долгоживущих активов. Общая формула отношения между двумя любыми периодами в будущем:
(15)
Где, снова структурированная ошибка, указывающая на разницу между ожидаемыми и действительными исходами. Уравнение рыночной оценки актива (13), опирается на эти отношения, не только на последовательные периоды, но и на периоды далёкие друг от друга. Флут, Ходрик и Каплан утверждают, что хотя уравнение (15) остаётся верным для двух последовательных периодов, но статистическая ошибка стремительно растёт для периодов далёких друг от друга. Они проверяют уравнение (15) для k, равному одному и двум, и получают, для k=1 тест принимается, а для k=2 тест отклоняется (15). Стоит обратить внимание, что это разница не указывает на арбитражные возможности или иррациональность, это указывает на то, что константа нормы дисконтирования риско-нейтральных инвесторов в уравнении Эйлера далека от реальности.[14]
Флут, Ходрик и Каплан также указывают, что даже если в модели отсутствуют проблемы, обнаруживаемые при проверке на спецификацию, отказ от ограничений коэффициентов может быть обусловлен причинами отличными от наличия финансового пузыря. Их альтернативой является тест, который предлагается Гамильтоном и Уайтманом (1985) и Флутом, Ходриком (1986): агенты считают низкой вероятность события, которое окажет значительное влияние на цену актива. Стандартным примером этого является изменение налогового законодательства, в вероятность которого агенты верят и, следовательно, включают его в цену актива, но в примере эти изменения не происходит. Если есть такие крупные воздействия на цену, которые случаются очень редко, эти события могут не включаться даже в выборку столетних годовых данных. Ожидаемые переключатели режима, особенно те, которые не происходят, представляют собой серьезную проблему для обнаружения пузырей, так как их влияние на цены активов похоже на влияние пузыря активов.
2.3 Тесты, основанные на интеграции и коинтеграции
Существующие на тот момент не позволяли точно характеризовать обнаруженный пузырь. И тест Уэста, и тесты на граничную дисперсию пытались определить специфические виды пузырей. Тест Уэста определяет финансовый пузырь, устраняя все другие альтернативы с помощью тестов на спецификацию модели. Пузыри активов, однако, имеют определенные характеристики, которые могут быть использованы для их определения.
Диба и Гроссман отмечают, что рациональный пузырь не может начинаться, поэтому, если он существует, то это всегда должен был существовать. Причины зависят от отсутствия возможностей арбитража и невозможности отрицательных цен. Отсутствие возможности арбитража подразумевают, что нет избыточных доходов от активов с компонентом пузыря, то есть,
как и в уравнении (4). В этом случае, действительный процесс пузыря, подразумевая, что это стохастический пузырь, следует стохастическому уравнению
(16)
Где, ( (17)
Если равно нулю, то пузырь активов, начнёт формироваться в следующем неотрицательной реализации z. Если это реализация - отрицательное число, то пузырь тоже будет отрицательным и большим по абсолютной ожидаемой величине, согласно закону его движения. Это говорит о том, что цена актива будет негативной в конечном временном отрезке, из-за чего невозможно его свободное движение. Если ожидаемая реализация z не отрицательная, когда компонент пузыря равен нулю, то он также не может быть положительным, потому что он должен быть нулевым для в ожидании использования арбитражных возможностей в будущем. Таким образом, когда равна нулю, все будущие реализации z должны быть равны нулю с вероятностью один, а пузырь не может повторно начинаться. Учитывая это, Диба и Гроссман утверждают, что, если существует пузырь, он должен существовать с первого дня торгов. Они рассматривают это как доказательство для исключения рациональных пузырей и предлагают способ для эмпирической проверки на отсутствие пузыря.
Их тест на пузыри основан на ненаблюдаемых фундаментальных данных и налагает определённую структуру данных, отклонение от которой может указывать на присутствие пузыря активов. Диба и Гроссман определяют рыночную цену как
(18)
- наблюдаемые невидимые для исследователя фундаментальные данные. При учёте условия не стационарности , чем , рыночная цена актива будет такой же стационарной, как и дивиденды. При отсутствии пузыря, цена актива будет равна рыночной и также будет стационарной, если дивиденды стационарны в n-ых разностях, тогда и цена актива будет стационарна в n-ых разностях.
Это связь нарушается при наличии пузыря, что и является основой для теста. N-ых разности пузыря активов из уравнения (16):
Диба и Гроссман отмечают, что для стандартных простых процессов z, таких как белый шум, первые разницы пузыря создаются нестационарным и необратимым процессом. Действительно, процесс образования финансового пузыря не стационарен, независимо от количества взятых разниц, и это свойство может быть доказано эконометрически. Процесс, у которого есть ожидаемый единичный корень, близкий к нулю и периодические повторяющийся может быть определён иначе.[10]
Естественный способ проверить существование пузыря в данных, это посмотреть являются ли цены активов стационарными с течением времени, необходимым для того, что сделать дивиденды стационарными. Они также установили, что хотя дивиденды, как и цены активов являются интегрированными первого порядка, уравнение (18) накладывает равновесное соотношение между этими двумя рядами. При нулевой гипотезе об отсутствии пузырей в ценах активов и предположении, что является стационарным, дивиденды и цена актива должны быть коинтегрированы. Стоит заметить, что предположения, сделанные о ненаблюдаемых фундаментальных данных, на этот раз более строгие: они
должны быть стационарными по уровням, хотя дивиденды должны быть только стационарными в разностях для работы теста.
Используя тесты Дики-Фуллера, Диба и Гроссман установили, что и дивиденды, и цены активов интегрированы в уровнях, но стационарны в разностях. Таким образом, их первый тест показывает, что пузыря нет. Когда они проверяют коинтеграцию используя коэффициенты Бхаргавы, они также получают достаточные доказательства для коинтеграции цены активов и дивидендов. Они интерпретируют эти данные как указание отсутствие пузыря цен активов.
Перед тем, как перейти к критике Эванса этих тестов, стоит задуматься о толковании результатов. Если бы они указывали на то, что цена на актив более нестационарна, чем дивиденды, или что дивиденды и цены активов интегрированы первого порядка, но не коинтегрированы. Одна из проблем с интеграцией или коинтеграцией испытаний являются эконометрические проблемы обнаружения нестационарности и оценки коинтеграционных отношений. Это проблема существует независимо от результата теста на финансовые пузыри; существует множество конкурирующих тестов с различными свойствами размерности и мощностью, и они не дают одинаковые результаты. В случае, если тесты указывают наличие пузыря, правильная интерпретация заключается в том, что они предполагают наличие «чего-то нестационарного» в цене активов.
Конечно, это может быть из-за пузыря, но также может быть, что сделанное предположение о стационарности фундаментальных данных не выполняется, и ряд ,интегрирован второго порядка, а дивиденды первого. Разумеется, тогда появляется вопрос о возможности найти такие ненаблюдаемое фундаментальные данные, которые были бы интегрированы второго порядка. Диба и Гроссман ссылаясь на это, утверждают, что хотя отказ от условий стационарности или коинтеграции не является доказательством существования пузыря, неспособность его опровержения является доказательством его отсутствия.
Эванс утверждает, что хотя аргумент Дибы и Гроссмана о пузырях начинающихся с самого первого дня торгов подразумевает, что пузырь не “лопается” и снова начинает формироваться, возможно, что пузырь рухнет до небольшого ненулевого значения, а затем продолжать увеличиваться и все еще следовать уравнению (4). Его пример периодически разрушающего пузыря:
если
Где принимает значение 1 с вероятность и 0 с вероятностью (1-). Эта формулировка пузыря удовлетворяет уравнению (4), ожидаем чистый доход от пузыря равен (1+r). Для низких значений пузырь растёт медленно, если же эта величина больше, то и пузырь расширяется быстрее, но может “лопнуть” в каждом периоде с вероятностью (1-). В случае коллапса, размер пузыря не уменьшается до нулевого; он становится маленькой положительной величиной, д. В этом случае пузырь не подлежит критике Дибе и Гроссмана о его перезапуске, потому что он никогда не «лопнет», он лишь будет дискретно уменьшаться. Этот пример пузырей использует тот факт, что пузырь должен увеличиваться с ожидаемым темпом роста r скоростью, но не заканчиваться.
Эванс получил данные с помощью модели пузыря и произвёл процедуру Монте-Карло для теста по исследованию пузырей Дильба и Гроссмана, используя их спецификацию пузыря. Он считает, что в этом случае тест хорошо работает, как утверждают Диба и Гроссман. Затем он использует более низкие значения р, так что пузырь периодически рушится. В этом случае даже для значения р равного 0,95, тесты показывает результаты намного хуже. Для р меньше 0,75, тесты почти никогда не обнаруживают пузыри активов.[11]
Тесты на основе единичных корней с трудом обнаруживают периодически разрушающиеся пузыри, потому что они ведут себя скорее, как стационарные процессы, чем как процессы с высокой волатильностью. Это, конечно делает модель тестирования Дибы и Гроссмана не лучшей из существующих. Как отмечалось выше, отказы гипотез об отсутствии пузыря могут быть связаны с другими временными компонентами модели полезности индивидов, придавая нестационарность разностям цен активов. Из исследования Эванса, следует, что отказ гипотез отсутствия пузырей в этих тестах не является убедительным доказательством отсутствия пузыря в данных.
Важно отметить, что Эванс не показывает существование пузырей в ценах активов, он показывает только, что тесты с единичным корнем не являются основами для отклонения этой гипотеза.
Критика Эванса тестов единичного корня для рациональных пузырей привела к ряду исследований, в которых пытаются преодолеть трудность обнаружения коллапсирующих пузырей. Наиболее эффективным методом для преодоления этого было использование моделей переключения режимов. Этот способ моделирования пузырей приводит к тестам на единичный корень, где переключение режима ускоряется к среднему, что приводит к процессу Маркова.
Холл, Псарадакис и Сола рассматривают каждый компонент разрушающегося пузыря Эванса (уравнения 19 и 20) как отдельный режим с постоянным переключением вероятности. Их процедура Монте-Карло показывает, что процесс Маркова показывает, что ADF тесты хорошо работают для обнаружения эпизодов пузырей, но у них нет эмпирического применения этого к реальным пузырям активов.
Ван Норден и Вигсусон изучая тесты переключения режимов -работы Холла и Сола и Ван Нордена пришли к выводу, что «... даже с несколько сотен наблюдений, тесты показывают иногда значительные искажения размеров». Ван Норден и Вигсусон примененив тест Хола и Сола, имеющий постоянные вероятности переключения, нашли финансовый пузырь в индексе S&P500, но тест Ван Нордена, который моделирует вероятности переключения как функции от размеров пузыря, не указывает на наличие пузырей в том же наборе данных. Существует множество способов моделирования разрушающихся пузырей, и Ван Норден и Вигфуссон сравнивают два из них, показывая, что точный выбор процесса имеет значение.
Тест переключения Маркова для коллапсирующих пузырей позволяет переключаться между двумя состояния, но при этом фундаментальные данные не меняются. Дриффилл и Сола представляют пример переключения фундаментальных данных, который в точности соответствует данным одинаково хорошо в контексте возможных внутренних пузырей, еще раз демонстрируя отсутствие эффективного инструментария для тестирования на наличие пузырей. [15]
Тест Йохансена-Леду-Сорнетта.
Модель Йохансена-Леду-Сорнетта также, как и предыдущие описанные модели начинается с уравнения оценки активов (2). Где цена актива формируется как сумма его фундаментальной цены и части, отвечающей за наличие пузыря. В данной модели спецификация модели пузыря формируется независимо от динамики фундаментальной цены актива. Модель JLS добавляет в фундаментальную цену актива компонент называемый лог-периодичной структурой степенного закона. Тогда получается следующая модель, которая начинается с предположения, что компоненты пузыря удовлетворяет простому стохастическому дифференциальному уравнению с дрифтом:
Где, - цена актива в пузыре, - тренд, - компонента процесса Винера с нулевым средним и дисперсией равной 1. - единовременное резкое повышение цен перед последующим спадом. Динамика этого скачка определяется степенью риска h(t), которая является вероятностью, что падение произойдёт в периоде между и , при условии, что оно ещё не произошло. Тогда получаем , из чего выводим .