Дипломная (вкр): Исследование свойств многослойных нанокомпозитных сегнетоэлектрических пленок в диапазоне СВЧ

Расчет емкостей плоскопараллельных проводников удобно выполнить методом конформных отображений.

Формула для расчета емкости конденсатора без учета эффекта проникновения поля в подложку

, .

Сравнение этих формул дает количественную оценку ошибки в интерпретации значения диэлектрической проницаемости пленки:

,

где ε - значение диэлектрической проницаемости пленки, без учета проникновения поля в подложку.

Таким образом при  ошибка будет находиться в пределах (45...50) %.

.2 Определение параметров сегнетоэлектрических пленок по измерениям в объемном резонаторе

Структура “диэлектрическая подложка - сегнетоэлектрическая пленка” может быть использована в качестве диэлектрического заполнения объемного резонатора. Резонансная частота резонатора зависит от диэлектрической проницаемости сегнетоэлектрической пленки и эта зависимость, может быть математически точно найдена для конкретного типа резонатора. Собственная добротность объемного резонатора с сегнетоэлектрической пленкой определяется в основном tgd пленки. Поэтому по экспериментальным значениям резонансной частоты f0 и собственной добротности Q0 резонатора можно рассчитать e и tgd сегнетоэлектрической пленки. Эти же параметры можно определить, используя измерения и расчет в полуволновом щелевом, многощелевом резонаторе, образованном структурой “сегнетоэлектрическая пленка - диэлектрическая подложка” с нанесенными на ее поверхность металлическими электродами.

Известно, что добротность объёмного резонатора, рассчитывается из соотношения:

. (2.1)

Реальный резонатор находится в режиме вынужденных колебаний, и он связан с возбуждающей линией и нагрузкой, но обычно его рассматривают как систему изолированную, обладающую максимальной энергией в момент резонанса. В этом случае максимальная запасённая энергия на частоте резонанса равна энергии электрического или магнитного поля:

. (2.2)

Однако, соотношение для реального резонатора приблизительно, так как фазовый сдвиг между векторами  и  отличается от , в связи с влиянием элементов связи, обеспечивающих реальный вынужденный режим резонатора. Поэтому соотношение для  на самом деле относится к случаю идеального резонатора, в котором колебания происходят на собственных частотах.

Средняя мощность потерь складывается из двух видов: собственных потерь, вызванных потерями в металле резонатора  и диэлектрических потерь , а также потерь на излучение  через элементы связи. Таким образом, средняя мощность потерь в резонаторе равна:

. (2.3)

Следовательно, из (2.1-2.4) следует, что добротность резонатора может быть представлена в виде:

. (2.4)

где  ,  , .

При этом можно ввести понятие собственной добротности резонатора:

. (2.5)

Очевидно, что потери всех видов находятся во взаимосвязи через возмущения полей резонатора, вызванные соответствующими источниками потерь. Обычно потери малы и поэтому  вычисляют исходя из распределения поля в отсутствие потерь, а  и  находят независимо друг от друга. Таким образом, расчёт добротности можно выполнить при известном решении задачи о собственных колебаниях объёмного резонатора.

Рассмотрим сначала собственную добротность резонатора только за счёт потерь в металле. Модель резонатора для расчёта  представим в следующем виде: полуволновой резонатор с произвольной формой поперечного сечения находится в режиме собственных колебаний. Иначе говоря, резонатор образован двумя идеальными короткозамыкающими плоскостями, образующими короткозамкнутый с обеих сторон полуволновой отрезок линии передачи. В таком резонаторе существует колебательный процесс, который можно трактовать как периодическое отражение потока мощности от идеальных закорачивающих плоскостей.

Обозначим через  - мощность распространяющуюся по длине резонатора. Последовательные отражения от идеальных отражающих плоскостей приводят к колебательному режиму, который затухает во времени за счёт конечной собственной добротности резонатора. Время «пробега» по длине резонатора определяется очевидным соотношением

 ,

где  - полуволновая длина резонатора,  - групповая скорость распространения энергии в резонаторе. Поэтому запасённую энергию можно определить как . Коэффициент «два» определяет, что в резонаторе существует два равноправных потока энергии распространяющихся навстречу друг другу от одной отражающей стенки к другой. Используя соотношение для

,

запишем запасённую энергию на резонансной частоте  в виде:

. (2.6)

Потери в металле резонатора определяются коэффициентом затухания в линии  по соответствующему типу волны. Таким образом, мощность потерь, возникающая в резонаторе за один период колебания равна:

. (2.7)

Подставив в соотношение (2.1) соотношения (2.6) и (2.7), найдем собственную добротность (2.8), вызванную конечной проводимостью в стенках металлического объемного резонатора:

. (2.8)

Очевидно, что в этом соотношении следует сделать замену  и тогда:

. (2.9)

Аналогичное соотношение можно получить исходя из иного подхода к расчёту собственной проводимости резонатора.

Рассмотрим резонансный отрезок линии передачи, закороченный с обеих сторон (рис. 2.1).

Рис. 2.1.

Мнимую часть постоянной распространения  будем считать обусловленной потерями в металле. Входное сопротивление линии в плоскости короткого замыкания АА: , где  - волновое сопротивление линии. В этом соотношении , следовательно,  можно записать, заменив  на  в виде:

 (2.10)

Вблизи резонанса возможно упрощение, так как  и , значит  и в знаменателе следует пренебречь квадратом малой величины, что преобразует (2.10) к виду:

. (2.11)

Введём малую частотную расстройку  и это приведет к увеличению резонансной длины резонатора на , то есть на частоте длина .

Тогда . А так как , следовательно, . С другой стороны . Поэтому окончательно  в соотношении (2.11) можно представить в виде:

. (2.12)

Последовательный колебательный контур при расстройке  имеет входное сопротивление . Значит, входное сопротивление резонатора в плоскости АА (2.12) и входное сопротивление последовательного колебательного контура имеют одинаковый вид. Следовательно, объёмный резонатор, образованный полуволновым отрезком линии передачи, закороченной с обеих сторон, можно представить в виде последовательного колебательного контура с эквивалентными параметрами: сопротивлением потерь  и эквивалентной индуктивностью . Тогда собственная добротность резонатора, определённая из его эквивалентных параметров, будет равна:

. (2.13)

Очевидно, при  соотношение (2.13) переходит в формулу (2.9).

Рассмотрим составляющую собственной добротности резонатора, вызванную диэлектрическими потерями. В этом случае, если диэлектрик включен частично в объём резонатора, то есть диэлектрическое заполнение резонатора неоднородно, то в соответствие с общим определением собственной добротности  можно представить в виде:

,

где в числителе формулы  является функцией координат, - объём, занимаемый диэлектриком с потерями, определяемыми значением .

С другой стороны, потери, возникающие в объёме резонатора, приводят к комплексной резонансной частоте . Постоянная затухания контура , где  - период собственных резонансных колебаний, а собственная добротность равна . Полагая , получим, что . Оценивая собственную добротность только за счёт  диэлектрика, частично включённого в резонатор, можно записать . Таким образом, , получаем (2.14):

. (2.14)

К аналогичному результату можно придти, подставив соотношение  определяющее потери в линии за счёт , в формулу для собственной добротности (2.9):

. (2.15)

Можно записать (2.15), имея в виду правило дифференцирования сложной функции  , что приведет в свою очередь к виду (2.14).

Используя переход к эквивалентным  и  параметрам, объёмного резонатора можно, на основании формулы (2.12) получить, что эквивалентное емкостное сопротивление объёмного резонатора представлено в виде эквивалентного последовательного колебательного контура и равно . Сопротивление потерь по-прежнему определяется формулой . Подставляя сюда  получим . Из эквивалентных параметров собственная добротность контура, определяемая только потерями в диэлектрике конденсатора, как известно равна . Подставляя в эту формулу требуемые величины, учтя, что , сразу получим соотношение (2.15).

Рис. 2.2. Поперечное сечение волновода с диэлектрическим заполнением

Добротность резонатора, вызванная затуханием в его стенках за счет конечной проводимости равна:

, (2.16)

где V - объем резонатора, S - поверхность стенок резонатора, - поверхностное сопротивление;  - глубина скин-слоя в металле стенок резонатора.

Для LE10 найдем распределение Еy, Hх, Нz на поперечном сечении решив уравнение (2.17)

, (2.17)

с учетом граничных условий на металле и диэлектрических границах. В области 0 £ х £ d1 ; на поперечном сечении пленки d1£х£d12 ; в свободной от диэлектрика области поперечного сечения d12£ х £ а . Из уравнений Максвелла найдем составляющие магнитного поля:

; ,

, (2.18)

 ,