1)/(1) - 0 - функция определена в точке х = 1.
2)Вычислим односторонние пределы (слева задана - прямая линия, справа-
график корня степени два): lim ( |
х + 3) - 4, |
lim (л/х —1) —0, т.е. пределы |
|
ж->1-0v |
' |
*->1+0 V |
’ |
существуют, но они не равны между собой. Следовательно, функция терпит разрыв в точке х = 1.
Задание № 5.5. Определить, является ли функция непрерывной и построить
ее график: |
|
|
|
1)» = 3 - |
х2 + Зж |
2) у = |
х2 - 2х + 1,ж > О |
|
х + 3 |
|
х - 1,ж < О |
П ример № 5.7. Схема |
полного исследования функции у = ------- и |
||
|
|
|
1 —х |
построения ее графика.
Обобщим Ваши знания и умения по теме функции, их свойства и графики.
I. |
Найдем область определения функции, то множество допустимых значений |
|
аргументов, для которых формула дает действительное значение для функции. В |
||
задание функции входит дробь, а, следовательно, знаменатель отличен от нуля: |
||
1 —х2 Ф0 |
х Ф±1. |
|
Таким образом функция определена и непрерывна на всей числовой прямой, |
||
кроме точек х = -1, |
х = 1. |
|
II. |
Проверим, |
является ли функция четной или нечетной: |
у(-х) = |
ы |
у(х). Функция четная, следовательно, ее график будет |
1 - ( - т )2 1 - х 2 |
||
симметричен относительно оси OY.
III. Найдем промежутки возрастания и убывания функции с помощью
производной: у' = —------------- ^ ----- - ----------- -. Приравняем к нулю и получим |
|||||
|
( 1 - х 2) |
( 1 - х 2) |
|
|
|
единственную критическую точку: у* - |
0 —> |
2ж = О |
—» ж = 0. |
|
|
Функция убывает на промежутке х е (-оо, 0). |
|
|
|||
Функция возрастает на промежутке х е (0, +оо). |
|
|
|||
В точке х = 0 функция равна нулю. |
|
|
|
||
IV. Определим поведение функции вблизи точек |
—-^ |
• |
|||
х = -1, х = 1. |
Как видно из задания, функция в этих |
|
.ГУ ' |
||
точках не |
определена, а, следовательно, |
терпит |
|
у |
|
разрыв. Но вблизи этих точек, она принимает вполне конкретные значения. Посчитаем односторонние пределы для каждой точки.
lim |
х2 \ ——00. |
П т ^ |
X2 |
^ - -но, |
Пт |
х2 •) +со, |
И т |
х2 > ——00. |
|
*->-1-0I |
1 - х~ |
*->-1+0 |
1 - х |
j |
*->1-0 .1 -* * J |
*^1-0 1 У |
|||
V. Найдем дополнительные точки, принадлежащие графику функции. |
|||||||||
X |
1"2 |
-1,5 |
-1,1 |
-0,9 |
-0,5 |
|
|
|
|
У |
-1,8 |
-5,7 |
14,2 |
0,33 |
|
|
|
||
1-1,33 |
|
|
|
||||||
41
VI. Построим график функций по всем его найденным свойствам:
1) На интервале х е (—оо,—1) функция убывает тем быстрее, чем ближе х «подходит» к -1.
2) На интервале я; <=(-1,0] функция убывает до нуля включительно.
3) Пользуясь свойствами симметричности графика относительно оси ОУ, делаем вывод, что функция возрастает на интервале х е [0,1), значения функции тем больше, чем ближе х «подходит» к 1. На интервале х е (1,+°о) функция возрастает. По мере увеличения х функция приближается к значению 1, но никогда его не достигнет.
4) Обратим внимание, что у Ф -1 (Подумайте почему!?)
С учетом дополнительных точек, получаем вот такой замечательный график
х2 |
|
|
функции у = |
|
|
1 —яг |
|
|
Задание № 5.6. Исследовать функцию и построить ее график у |
ж2 +1 |
|
х - 1 |
||
|
||
Индивидуальное задание № 5 |
|
Решить следующие задачи, подробно описывая каждый этап решения.
Вариант Задание № 1. Исследовать функцию и построить ее график.
1. |
и н^ |
toi П1о |
2. |
|
1 |
|
|
|
X |
||
|
|
00н" +1 |
|
У = х + - |
|
3. |
1 Si |
4. |
у = х2 |
X |
|
|
|
+ -1 |
|||
5. |
|
X |
6. |
х2 -1 |
|
|
У = х - 11 |
|
У = х + 2 |
||
7. |
Н |
X |
8. |
1 |
|
|
У = 1 ,у> |
|
У = ~ - х |
||
|
У - 1) |
|
X |
||
|
|
|
|
||
9. |
|
X |
10. |
1 |
1 « |
|
У = -5----- |
|
|||
|
х2 - 9 |
|
н to |
||
42
ЗА Н Я Т И Е 6. П РИ М Е Н Е Н И Е Ф У Н К Ц И И К Р Е Ш Е Н И Ю ЗА Д А Ч
В исследовании гуманитарных объектов часто возникает необходимость найти наилучшее решение. Рассмотрим серию задач, в которых составление функции и ее применение помогает в поиске ответа на вопрос задачи. Начнем с простого примера применения функции и ее свойств.
Пример. В 1-е классы поступает 45 человек: 20 мальчиков и 25 девочек. Их распределили по двум классам: в одном должно получиться 22 человека, а в другом - 23. После распределения посчитали процент девочек в каждом классе и полученные числа сложили. Каким должно быть распределение по классам, чтобы полученная сумма была наибольшей?
Решение.
I.Анализ. По условию задачи, задано два множества - множество девочек
впервом классе и во втором. Введем переменную х - девочек попало в меньший класс, тогда (25 - х) девочек - в больший класс. Речь идет о проценте девочек, т.е. об отношении количества девочек в каждом классе к общему количеству человек. Надо описать сумму этих процентов.
II. |
Реш ение. Суммарная доля девочек в двух классах равна |
|||||
|
р / \ |
37 |
25 |
|
— |
+ — , 2 < ж < 22 |
|
f( x ) |
= — + ------ |
||||
|
w |
22 |
23 |
35 - > / ( * ) |
506 |
23 |
Составленная функция / (а;) |
есть линейная возрастающая функция. |
|||||
Своего наибольшего значения она достигает на правом конце промежутка, |
||||||
т.е. при х - 22. |
|
|
|
|
|
|
III. |
Ответ. |
Таким образом, меньший класс полностью должен состоять из |
||||
девочек, |
а в большем классе должно быть 3 девочки и 20 мальчиков. |
|||||
п. 1. Задачи, решаемые с помощью нахождения производной
функции одной переменной
Пример № 6.1. Сумма двух целых чисел равна 24. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.
Решение.
1)Пусть х - первое число. (24-х) - второе число. Произведение обозначим за переменную у = х *(х - 24).
2)Найдем наименьшее значение функции у = х *(т - 24) = х2 - 24ж.
|
уг = 2х —24 -» 2х -2 4 = 0 —» 37 = 12. |
3) |
Произведение двух чисел будет наибольшим, если эти числа равны 12. |
|
12 • 12 —144, |
4) |
Сделаем проверку: 13*11 = 143, |
14*10 = 140...
Задание № 6.1. Разность двух чисел равна 98. Найдите эти числа, если известно, что их произведение принимает наибольшее значение.
43
Пример № 6.2. Вы строите два дома на одном участке площадью 294 м2, требуется сначала огородить участок забором, а затем разделить этот участок на две равные части. Вы же хотите сэкономить, поэтому узнайте, при каких линейных размерах участка длина всего забора будет наименьшей?
Решение:
I. Анализ условия. Участок прямоугольный, |
У |
У |
|
|
|
У |
|
разделенный на две равные части. Введем обозначения |
|
|
|
как на рисунке. Пусть х - |
ширина, 2у - длина участка. х |
х |
х |
Необходимо найти наименьшее значение периметра |
_______ _______ |
||
получившейся фигуры |
(прямоугольников с одной |
у |
у |
|
|
У |
у |
границей).
II. Поиск решения. Выразим периметр фигуры через переменные ж и у, а затем выразим через формулу площади прямоугольника переменную х через переменную у. Так, чтобы появилась зависимость между периметром фигуры и его шириной.
III. Решение.
1. |
Периметр фигуры Р = х + х + х + у + у + у + у = 3х + &у. |
|
||||||||||
2. Площадь прямоугольника S |
- |
|
294 |
14? |
|
|||||||
х • 2у = 294 -> у = —— = ---- . |
|
|||||||||||
|
|
|
у |
|
|
|
|
|
|
2х |
х |
|
3. |
Подставим |
в |
формулу |
|
периметра |
и преобразуем |
получившиеся |
|||||
|
„ |
п |
. |
147 |
|
Зж2 + 588 |
ч Зж2 + 588 |
|
|
|||
выражение Р = Зж + 4 ------= ---------------->Р{ж) = ------------. |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
ж |
|
|
ж |
|
|
ж |
|
|
4. Получили функцию одной переменной |
Р(х). Найдем |
при каком х, |
||||||||||
функция принимает наименьшее значение. |
|
|
|
|||||||||
4.1. Находим производную функции Р'(ж) _ |
6ж • ж - (Зж2 + 588) _ Зж2 - 588 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
ж |
4.2. Приравниваем производную функции к нулю и решаем получившиеся |
||||||||||||
|
Зж2 - |
588 |
|
|
2 |
- 196 = 0 |
|
. |
|
|
||
уравнение ------------= 0 -> ж |
|
—>х12 - ±14. |
|
|
||||||||
|
ж |
“ 14 не подходит |
|
|
|
|
||||||
4.3. Корень ж - |
|
|
|
Г'(г) |
||||||||
по условию задачи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Определим, |
принимает |
ли |
|
|
|
|
||||||
функция наименьшее |
значение |
при |
\ |
14 |
|
|
||||||
ж = 14. |
Подставим |
точки |
|
ж = 10 |
и |
|
|
|||||
ж = 15 в производную, получим |
|
|
|
|
|
|
||||||
Р'(Ю ) = а - ^ - 6 8 8 = _28>8 < о , Р'(15) = |
= 5,8 > 0. |
|||||||||||
В точке х = 14функция принимает свое наименьшее значение.
4.4. Найдем значение функции в точке ж = 14: Р(14) = 3 •142 +588 - 84.
|
|
14 |
5. |
Найдем длину участка 2у ------ = 21. |
|
|
' ’ |
14 |
IV . |
Ответ. При размерах участка 14 х 21 длина забора будет минимальной. |
|
44
Задание № 6.2. Нужно огородить спортивную площадку прямоугольной формы забором 200 м2. Каковы должны быть размеры этого прямоугольника, чтобы его площадь была наименьшей?
П ример № 6.3. Вы являетесь владельцем двух фирм в разных городах (например, рекламное агентство). Фирмы выполняют абсолютно одинаковые услуги, однако в фирме, расположенной во втором городе, используются более совершенное оборудование для печати.
В результате, если сотрудники первой фирмы трудятся суммарно Д 5 пасов в неделю, то за эту неделю они выполняют t заказов, если сотрудники второй фирмы трудятся суммарно f часов в неделю, они так же выполняют t заказов.
За каждый час работы Вы платите сотруднику 1000 руб. Необходимо, чтобы за неделю суммарно выполнялось 20 заказов. Какую наименьшую сумму в неделю придется Вам тратить на оплату труда сотрудников?
Решение.
I. А нализ условия. Речь идет о двух переменных: количество заказов в одной фирме и количество заказов в другой фирме. Оплата зависит от количества выполненных заказов. Очевидно, надо составить функцию, по которой можно вычислить оплату труда сотрудников в зависимости от количества выполненных заказов.
И. Поиск реш ения. 1) Введем переменные и математически опишем связывающие их условия. Пусть х е N заказов выполняет первая фирма; у & N - вторая.
Всего должно выполняться 20 заказов: х + у - 20.
2)Доля человеко-часов в первой фирме 4ж3, во второй - уъ.
3)В неделю Вы будете тратить S = 1 • (4т3 + у3) тыс. руб.
Необходимо путем подстановки получить функцию одной переменной и исследовать ее на наименьшее значение.
III. Решение.
1. Выразим у через х и подставим в выражение для S следующим образом:
(х + у = 20 |
(у = 2 0 - х , 0 < х < 22 |
||
[S = 1 |
• (4ж3 + у3) |
|$ |
= 4ж3 + (20- ж)3 |
2. Найдем наименьшее значение функции S —4ж3 + (20 —ж)3на отрезке [0,20]. |
|||
S' (х) = 12ж2 |
- 3(20 - x f |
= 9ж2 + 120ж -1200 -> S' (ас) = 0 |
|
9ж2 + 120х -1200 - |
0 о |
Зж2 + 40ж - 400 = 0 о |
|
х |
-20 ± 7400 + 1200 -20 ± 40 |
||
--------------------------= ------------. |
|||
1,2 |
3 |
3 |
|
Определим, принимает ли функция |
наименьшее значение при х - — . |
||
Подставим точки ж = 6 и ж = 7 в производную, получим
S’ (ж) = 9 • 36 +120 • 6 -1200 = -156 < 0 ; S' (ж) = 9 • 49 +120 • 7 -1200 = 81 > 0.
20
3. Точка х = — является точкой минимума функции. Однако, х - это
3
натуральное число, поэтому подставим в S (ж) = 1 • (4ж3 + y:i) два значения ж = 6 и
х - 1 .
45