Материал: kisliakova_ma_vvodnyi_kurs_matematiki

Индивидуальное задание № 4

1.Что такое матрица? Могут ли все элементы матрицы равняться нулю?

Приведите примеры разных видов матриц.

2.Верно ли что единичная матрица - это такая матрица, у которой все элементы равны 1?

3.Какие действия над матрицами можно выполнять? Приведите примеры.

4.Запишите в матричной форме систему уравнений:

2хх + 4х2 - ж3 - 0, 5ж4 - -24,

5ж5 - х2 - хА2хъ - 1 , = 4,

<-JZx1+ 4х2 + 2х3 = 10,

З.т5 - 2,5ж4 + хА= 14,

х2 + хх - х3+ хъ = -5.

5.Какая система уравнений называется совместной?

6.Сформулируйте необходимое и достаточное условие совместности системы линейных уравнений?

7.При каком условии квадратная система линейных уравнений имеет единственное решение?

8.Может ли однородная система уравнений быть несовместной?

9.Какой из наборов является решением системы уравнений:

10. Методом исключения неизвестных решить систему уравнений:

11. Составить систему линейных уравнений по условиям следующей задачи. Загадали три числа и попросили трех человек выполнить с этими числами арифметические действия. Сергей умножил первое число на два, вычел утроенное второе число и прибавил третье число, умноженное на 4, получив в ответе пять. Анна от первого числа отняла второе и прибавила удвоенное третье, получив в ответе тройку. Петр умножил первое число на 7, прибавил удвоенное второе число и вычел третье, получив в итоге 0.

36

З А Н Я Т И Е 5. Ф У Н К Ц И И И И Х Г Р А Ф И К И

Настоящее занятие будет посвящено самому важному понятию математики «функция». Вы уже знаете элементарные и трансцендентные функции, знаете их свойства и схемы построения графиков функций.

На занятии мы рассмотрим несколько важных понятий, которые тесно связаны с понятием функции, такие как предел функции, непрерывность функции, точки разрыва, производная функции. Рассмотрим общий алгоритм для построения графиков функций.

Пусть заданы два множества X и Y и каждому элементу х е X поставлен в соответствие единственный элемент у е У , который обозначается через f ( x ) . Тогда говорят о том, что на множестве X задана функция одной переменной f{x) и пишут: / : X У (у = / (ж)).

Под графиком функции будем понимать геометрическое место точек плоскости, декартовы прямоугольные координаты которых, удовлетворяют соотношению у = / (ж).

Пример № 5.1. Зададим функцию между множествами в каждом случае. 1) Пусть задано множество натуральных чисел X и множество квадратов

натуральных чисел Y . Для того чтобы каждому элементу одного множества поставить в соответствие элементы другого множества, введем вот такое правило: каждый элемент х множества X возведем в квадрат и запишем функцию

/: X —» Y следующим образом: у = х2.

2)Магазин получил 32 пачки учебников русского языка, по 8 штук в каждой, и десять пачек учебников математики. Сколько учебников в магазине. Очевидно, что дать привычный однозначный ответ не получится, поэтому рассмотрим два множества - множество учебников по математике X и множество учебников в магазине Y . Тогда функция, выражающая количество учебников в магазине

будет задаваться следующим образом: у = 32 ■8 + 10 *х , где х - количество учебников в одной пачке.

Как Вы знаете существует три способа задания функции: аналитический, табличный и графический. Полезно уметь переходить от одного способа к другому.

Задание № 5.1. Построить графики функций:

а)у = 1-2ж, Ь ) у ^ х 2 - Ьх + Ь, с) у = 2х, d)y = - ^ ~ .

ж - 1

Пример № 5.2.

В некоторых задачах прикладного характера бывает необходимо найти множество точек, удовлетворяющее системе линейных неравенств. Это удобно сделать с помощью построения графиков функций. Рассмотрим пример.

37

«правая полуплоскость» не является решением неравенства.

3)Для нахождения решения неравенства у < 4 - х ,

неравенства будет левая полуплоскость от прямой (2). Убедимся, что при подстановке координат точки D(3,4) —» у > 4 - х 4 > 4 - 3 —> 4 > 1 получается неверное неравенство, что говорит о том, что «правая полуплоскость» не является решением неравенства.

Область решений системы представляет собой четырехугольник, на чертеже он обведён жирными линиями. Любая точка данного многоугольника удовлетворяет КАЖДОМУ неравенству системы (проверьте).

х > 0, х < 4,

Задание № 5.2. Решить систему неравенств

В изучении функций и их приложений важное место занимает понятие «предела», означающее что какая-то переменная, зависящая от другой переменной, при определенном изменении последней, неограниченно приближается к некоторому постоянному значению.

Для того, чтобы было понятно, что такое предел функции, рассмотрим несколько примеров.

Пример № 5.3. Пусть заданы функции, построим таблицы их значений.

1) у = -X

Чем больше становится значение х , тем меньше ~ значения у .

Математически это записывается так: lim —- 0.

X—,усо

Чем меньше становится значение х , тем больше - значения у .

38

Математически это записывается так: lim —= оо.

г—>0

2) у - —----------. функция не определена в точках хх = —3, х2 = 2, но

х + ж -6

определена «вблизи» этих точек. Математически это записывается следующим образом.

будут стремится к «минус бесконечности», т.е. чем ближе х «подходит к -3 со сторону нуля», тем меньше становится значение у .

Таким образом говорят об односторонних пределах и обозначают их

Примечание: строго говоря, такой подход с построением последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров вполне подойдет. Также обратите внимание на следующее замечание. Даже если дан предел с большим числом вверху (с миллионом,

«икс» примет такие гигантские значения, что миллион по сравнению с ними будет самым настоящим микробом.

Ряд пределов функций можно найти с помощью небольших алгебраических

39

В школьном курсе Вы имели дело с непрерывными функциями, т.е. такими график которой можно начертить, не отрывая карандаша от бумаги. Однако таких функций не много и интерес представляют функции, имеющие разрывы.

Под непреры вной ф ункцией в точке ж0 будем понимать такую функцию,

предел которой в данной точке равен значению функции в этой точке lim/(x) = }(х0) .

Определение детализируется в следующих условия:

1) Функция должна быть определена в точке х{], то есть должно существовать

значение f{xn).

2) Должен существовать общий предел функции lim f( x ) .

3) Предел функции в дайной точке должен быть равен значению функции в

этой точке: lim /(х) = f(xQ) .

Х^ Х!)

Если нарушено хотя бы одно из трех условий, то функция теряет свойство непрерывности в точке х0 и говорят, что функция терпит разрыв в этой точке.

Проверим выполнение всех трех условий.

1. Функция не определена в точке х0 = 3, т.к. знаменатель обращается в ноль.

Следовательно, функция не является непрерывной в точке xQ= 3.

1)/( - 1) = 2 - функция определена в точке х = -1.

2)Вычислим односторонние пределы (слева у нас парабола, справа - прямая

равен значению этой функции в точке х = —1

.следовательно, функция непрерывная в точке х = -1.

Рассмотрим поведение функции в точке

х = 1.