Решение. Закройте правую часть таблицы и ответьте самостоятельно на вопросы.
1. Какое множество задано? |
Множество из семи фруктов |
Сколько в нем элементов? |
Х={2 яб., 3 ап., 2 к.}, п=7 |
2.Простая или сложная задача? Простая, т.к. один вопрос и одно
3.Сколько элементов множества идет в выборку?
4.Какой характер имеет выборка (упор. / неупор.; с повтор / безповтор.)
5.Какое комбинаторное соединение подходит?
6.Вычислите количество способов по формуле
7.Записать ответ
множество т = 7
Упорядоченная, т.к. важно в какой день какой фрукт С повторением, т.к. фрукты повторяются
Перестановки с повторениями
~ |
(ml..mk) |
9771 |
7! |
|
P |
:-----= |
------ :— = 210 |
||
"Л |
и щ \-..-т к\ |
2I-3I-2! |
||
Существует 210 способов
Пример № 3.12. Трое юношей и две девушки выбирают место работы. Сколькими способами они могут это сделать, если в городе есть 3 строительные фирмы, куда берут только юношей, два салона красоты, куда приглашаются только девушки и две торговые фирмы, куда требуются и юноши, и девушки?
Решение. Закройте правую часть таблицы и ответьте самостоятельно на вопросы.
1. Прочитайте |
|
Задано два множества рабочих мест для |
|
внимательно |
задачу. |
- девушек Xi={2 салона красоты, 2 торговые |
|
Какое |
множество |
фирмы}, Hi=4; |
|
задано? Одно ли оно? |
- юношей Х,={3 строит, ф., 2 торговые фирмы}, |
||
Сколько |
в |
нем |
п2=5. |
элементов? |
|
|
|
2.Простая или сложная Задача сложная, т.к. задано два множества задача?
3.Сформулируйте простые задачи и охарактеризуйте выборку в каждом случае.
Сколькими способами можно устроить на работу двух девушек?
Выборка: из четырех мест нужно выбрать два: упорядоченная, с повторением (т.к. важно какая девушек на какую работу устроится): iii=4, m=2;
Сколькими способами можно устроить на работу трех юношей?
Выборка: из пяти мест нужно выбрать три: упорядоченная, с повторением (т.к. важно какой юноша на какую работу устроится): п2=5, т= 3;
26
5. |
Какое комбинаторное |
Размещение с повторением: А"' = п"‘ |
|
|
соединение |
|
Т ' = пш = 42 = 16 |
|
подходит? |
|
|
|
|
Н1 |
|
|
|
|
|
|
Вычислите |
|
А? = n“ = 53 = 125 |
|
количество |
способов |
" а |
|
|
||
|
по формуле |
|
|
6. |
Какой |
принцип |
По условию задачи устроить надо «И» юношей, |
|
(суммы |
или |
«И» девушек, поэтому принцип произведения: |
|
произведения) |
16 • 125 = 2000 |
|
|
необходимо |
|
|
|
использовать? |
Существует 2000 способов |
|
7. |
Записать ответ |
||
Пример JV^ 3.13. Сколькими способами из 36 человек из четырех коллективов (в каждом коллективе по 9 человек: директор, его заместитель, бухгалтер, менеджер, и обычные специалисты) можно выбрать пять человек случайным образом, так, чтобы среди них было бы точно два директора, один заместитель, и один человек из первого отдела?
Решение. Так как задача нестандартная, будем рассуждать.
Прочитайте внимательно требование задачи. Надо рассмотреть три возможных случая.
1. Если среди пяти человек заместитель будет из первого отдела. Тогда выбор пяти человек будет осуществляться следующими способами:
Заместитель из первого отдела - 1 способ.
Два директора - 3 способа (перебираем отделы: 2+3, 2+4, 3+4 отдел). Остальные два специалиста, не являющиеся заместителями и директорами,
и не работающие в первом отделе - всего 21 человек. Сколькими способами можно из 21 человека выбрать два.
Выборка без повторения, неупорядоченная - Сочетания без повторения.
Произведем подсчет по формуле: С™ - |
п\ |
21! = 210 способов. |
|
гп \(п -т )\ |
2119! |
По принципу произведения: 1*3* 210 = 630.
2. Среди пяти выбранных человек есть директор из первого отдела. Директор из первого отдела - 1 способ.
Второй директор - 3 способа (из трех любых отделов). Заместитель - 3 способа (из трех любых отделов).
Остальные два специалиста, не являющиеся заместителями и директорами, и не работающие в первом отделе (всего 21 человек) - 210 способов.
По принципу произведения: 1*3*3*210 = 1890.
3. Среди пяти выбранных человек нет директора и его заместителя из первого отдела.
Два директора выбираются 3-мя способами. Один заместитель - 3 способа.
Сотрудника первого отдела ■ 7 способов (он не директор и не его заместитель).
Сотрудник любого отдела, не являющийся заместителем или директором, и не работающий в первом отделе - 21 способ.
По принципу произведения: 3 • 3 ■7 ■21 = 1323.
27
4. Общее число выбора пяти сотрудников, удовлетворяющих заявленным требованиям, по принципу суммы, составит: 630 I 1890+1323=3843.
Задание № 3.6. Решить следующие задачи, подробно комментируя решения.
1.Сколькими способами можно распределить поровну 12 различных подарков между четырьмя сотрудниками?
2.Автомобильные номера состоят из одной, двух или трех букв и четырех цифр. Найдите число таких номеров, если используются 24 буквы русского алфавита и 10 цифр.
3.Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «огород» так, чтобы три буквы «о» не стояли рядом?
4.В магазине продаются 100 книг, в том числе 5 бракованных, куплено 5 книг. Сколько может быть таких покупок, в которых содержаться 3 бракованные книги?
5.Сколько различных четырехзначных чисел, делящихся на 5 можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6?
6.Сколькими способами можно рассадить за круглым столом 5 юношей и 5 девушке так, чтобы они чередовались?
7.Предприятие может предоставить работу по одной специальности 4 женщинами, по другой - 6 мужчинам, по третьей - 3 работникам независимо от пола. Сколькими способами можно заполнить вакантные места, если имеются 14 претендентов: 6 женщин и 8 мужчин?
8.В кондитерской имеется 4 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 8 пирожных?
9.Каких чисел от 1 до 1 000 000 больше: тех, в записи которых встречается единица, или тех, в которых она не встречается?
10.Сколькими способами можно разложить 9 книг на 4 бандероли по 2 книги
и1 бандероль в 1 книгу?
Индивидуальное задание № 3
тРешить следующие задачи, подробно описывая каждый этап решения.
1.1. Сколькими способами можно переставить буквы слова «факультет», таким образом, чтобы две буквы «т» шли подряд?
2.Имеются 48 задач по теории вероятностей. Сколькими способами их можно распределить между 13 студентами для самостоятельного решения по 4 задачи каждому?
2.1. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова
«интернирование», так чтобы согласные и гласные чередовались и гласные шли в алфавитном порядке?
2. Для участия в эстафете выбраны пять девушек и трое юношей. Необходимо разбить их на 2 команды по 4 человека так, чтобы в каждой команде было хотя бы по одному юноше. Сколькими способами это можно сделать?
28
3.1. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «парламент», согласные идут в алфавитном порядке, гласные - в
порядке, обратном данному?
2. В комнате студенческого общежития живут трое студентов. У них есть 4 чашки, 5 блюдцев и 6 чайных ложек (все чашки, блюдца и ложки разные). Сколькими способами можно накрыть стол для чаепития, если каждый получит одну чашку, блюдце и ложку?
4.1. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова
«диктатура», чтобы как гласные, так и согласные идут в алфавитном порядке?
2.Для шести менеджеров проводится психологический тренинг в течение нескольких дней. Каждый день их объединяют в группы по три человека. Сколькими способами можно сделать так, чтобы состав группы не повторялся?
5.1. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «передел», так чтобы в начале и конце слова стояла согласная буква?
2.Сколькими способами можно расставить 8 спортсменов на трех дорожках бассейна?
6.1. Сколько различных слов можно получить перестановкой букв слова «белиберда», так чтобы между буквами «б» стоит блок из четырех
гласных?
2.Сколькими способами 10 пассажиров можно разместить на 20 местах автобуса?
7.1. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт, так чтобы в этом наборе было точно 1 король, 2 дамы, 1 пиковая карта?
2.Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 3, 4?
8.1. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт, так чтобы в этом наборе было точно
1крестовая карта, 2 дамы, нет червей?
2.Сколько трехцветных узоров можно составить из цветов радуги?
9.1. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт, так чтобы в этом наборе было точно
2дамы, 1 бубновая, 1 пиковая дама?
2.Сколькими способами 85 студентов-первокурсников могут быть распределены по трем группам?
10.1. Сколькими способами из колоды в 36 карт можно выбрать неупорядоченный набор из 5 карт, так чтобы в этом наборе было точно
1туз, 3 дамы, не больше 2 карт красной масти?
2.Сколькими способами 8 команд могут разыграть комплект медалей?
29
ЗАНЯТИЕ 4. СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В школьном курсе Вы познакомились с различными методами решения уравнений и неравенств. На этом занятии мы познакомимся с отдельным классом уравнений и неравенств, которые часто встречаются в математических моделях социогуманитарных объектов - системой линейных уравнений и системой линейных неравенств.
Введем некоторые обозначения и сокращения.
Матрицей |
размера |
гп х п |
называется прямоугольная таблица чисел, |
||
состоящая из т строк и п столбцов. Обозначается |
|||||
' «и |
ап |
• «iP |
|
|
|
А = |
а22 |
®2п , или А - |
lloJ |
, где а,. - элемент матрицы А , стоящий в |
|
|
|
|
|
1 Jтих/? |
J |
^ ml |
®т2 |
■ ^тпJ |
|
|
|
г-ой строке и j -м столбце |
(* = l,m, j = l,n). Каждый элемент матрицы однозначно |
||||
определяется своими индексами.
Пример № 4.1. Предположим, Вам надо математически описать следующую ситуацию. В трех разных центрах ведут прием психологи, оказывающие одноименные услуги. Удобно представить их в виде таблицы.
Услуга |
|
Психолого |
Нейропсихологическая |
Диагностика |
Комплексная |
|
|
|
педагогическая |
диагностика состояния |
эмоциональной |
психодиагностика |
|
|
|
диагностика |
высших |
психических |
сферы ребенка |
нарушений |
|
|
готовности к |
функций |
на данный |
(тревожность, |
развития |
|
|
школе |
момент |
и потенциал |
страхи, |
|
Центр |
\ |
|
развития |
|
агрессия) |
|
|
|
|
|
1000 |
||
«Здоровье» |
|
500 |
|
750 |
1000 |
|
«Гармония» |
700 |
|
800 |
750 |
750 |
|
«Эврика» |
|
1000 |
|
1000 |
850 |
850 |
Для проведения математических расчетов, |
таблицу с данными необходимо |
|||||
представить, как математический объект, допускающий арифметические, алгебраические или геометрические преобразования.
Такой объект и называется матрицей, в данном примере матрица выглядит
(500 |
750 |
1000 |
1000^1 |
|
вот так А = 700 |
800 |
750 |
750 |
|
1,1000 |
1000 |
850 |
850 |
Лх4 |
Матрицы бывают квадратные, диагональные, ступенчатые, единичные, треугольные.
Над матрицами можно выполнять действия сложения, вычитания, умножения, транспонирования по определенным правилам2.
Пример № 4.2, В двух городах имеется, соответственно, 5 и 6 тонны товара, который необходимо доставить в две торговые точки. Известно, что в первую торговую точку необходимо перевезти 3 тонны, а во вторую - 7 тонн груза. Определить план перевозок (количество товара, перевезенного из каждого города в каждую торговую точку).
22 Подробнее действия с матрицами рассмотрим на последнем занятии
30