Материал: kisliakova_ma_vvodnyi_kurs_matematiki

Решение.

Обозначим через х - количество товара, перевезенного из первого города в первую торговую точку, у - количество товара, перевезенного из первого города во вторую торговую точку, z - количество груза, перевезенного из второго города в первую торговую точку и t - количество груза, перевезенного из второго города во вторую торговую точку. Данные запишем в таблицу:

Составим систему уравнений, учитывая, что весь груз должен быть вывезен со складов, и потребности в грузе каждой торговой точки удовлетворены:

у +t = 7.

Таким образом, решение этой задачи свелось к решению системы четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Такие системы Вы еще не решали. Как думаете сколько решений имеет такая система?

На практике встречаются системы с большим количеством уравнений и переменных. Разработана математическая теория решения таких систем. В общем виде система т линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

В - вектор-столбец свободных членов (правых частей системы),

X- вектор-столбец переменных,

А- расширенная матрица системы, состоящая из коэффициентов при неизвестных и правых частей уравнений системы.

Так как число столбцов матрицы системы Атхп равно числу строк вектора

неизвестных Х т1, то их произведение есть вектор - столбец:

31

{aml-xl +am2-x2 + ...+amn- x J

Элементами полученной матрицы являются правые части вектора-столбца свободных членов Б системы уравнений. На основании определения равенства векторов систему линейных уравнений можно записать в виде: Л ■X = В .

Р еш ением сист ем ы линейны х уравнений называется такая совокупность п чисел хг,х2,...хГ1, при подстановке которых в каждое уравнение

системы обращается в верное равенство.

Система линейных уравнений называется совм ест ной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовм ест ной, если она не имеет решений.

Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет ровно одно решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Существует несколько основных методов решения систем линейных уравнений, которые мы не будем рассматривать в нашем курсе.

подстановки.

Решение. Давайте выразим из первого уравнения одну переменную и подставим ее во второе и третье уравнение, должна получиться система из двух

32

уравнений, которую Вы решать умеете. Проследите внимательно за преобразованиями в системе.

каких изделий куплено, если известно, что никаких изделий не было куплено больше 7 и никаких не было куплено поровну?

Решение.

1.Поиск решения: Введем переменные, обозначающие количество каждого изделия. Необходимо составить несколько систем уравнений.

2.Условие «Сумма цен изделий равна 21 рубль» обозначает, что всего возможно два случая:

а) были куплены только пирожки, бублики и коржики; б) были куплены только бублики, булки и слойки.

3.Обозначим:

х- количество пирожков,

у- количество бубликов,

33

z - количество булок, и - количество слоек,

vколичество коржиков.

4.Из условий «группа ребят купила 14 изделий по 100 рублей» при условиях, что никакого изделия не было куплено поровну и каждого куплено не больше семи, составим уравнения и неравенства для случаев а) и б).

5. Рассмотрим первую систему. Методом исключения неизвестной получим:

Ответ. Таким образом задача имеет два решения: было куплено либо 3 бублика, 6 булок, 5 слоек, либо 5 бубликов, 2 булки и 7 слоек.

Задание № 4.2. Группа студентов, состоящая из 30 человек, получила на экзамене оценки «2», «3», «4» и «5». Сумма полученных оценок равна 93, причем «троек» было больше, чем «пятерок», и меньше, чем «четверок». Кроме того, число «четверок» делилось на 10, а число «пятерок» было четным. Определить, сколько каких оценка получила группа.

Пример № 4.5. Саша и Костя вместе работают над проектом 35 часов. Костя и Наталья вместе могут выполнить этот же проект за 63 рабочих часа. Саша и Наталья выполнят этот проект за 45 рабочих часов. Сколько дней им понадобится, чтобы завершить проект, работая всем вместе?

34

Решение. 1) Для того, чтобы математически описать ситуацию, введем обозначения. Пусть хг - объем работы который выполняет каждый за 1 час, т.е.

х1 - объем работы, которую выполняет Саша за 1 час; х2 - объем работы, которую выполняет Костя за 1 час; ж3 - объем работы, которую выполняет Наталья за 1 час.

Весь объем работы по проекту мы обозначим за 1.

2) По формуле А - Ft (согласно которой вся работа есть произведение производительности (сколько выполняется работы в час), на время, затрачиваемое для выполнения всей работы) запишем данные в задаче.

3) Таким образом, получаем систему уравнений с тремя неизвестными

(а^ + х2) • 35 = 1

<(ж2 + хъ) • 63 = 1. (ж1+ж3)-45 = 1

4) Решим ее разными методами на 10 занятии, а пока используем хитрый прием. Обратите внимание на условие задачи: “чтобы завершить проект, работая всем вместе”, очевидно не нужно находить ж15ж2,ж3, а нужно найти их сумму, что

Таким образом втроем за 30 рабочих часов они вместе выполнят проект. Но вопрос задачи стоит несколько иначе. Сколько дней сотрудникам понадобится на выполнение проекта? Естественно у Вас возникает сомнение, что понимать под «днем»? В этом случае Вы можете дать свой ответ. Например, при восьмичасовом рабочем дне, сотрудникам понадобится 4 рабочих дня для выполнения проекта.

Задание № 4.3. Семья состоит из мужа, жены и их сына-студента. Если бы зарплата жены увеличилась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 37,5 %. Если бы зарплата мужа уменьшилась втрое, общий доход семьи сократился бы на 39 %. Опишите математически эту ситуацию.

35