Материал: КонспектНМ14_2018

Якщо довільне нечітке відношення має моду, що співпадає з його висотою, то перетворення (5.6) дає в результаті нормальне нечітке відношення.

Визначення 5.13. Ядром нечіткого відношення називається звичайне відношення, яке визначається таким чином:

Визначення 5.14. Часто виявляється корисним поняття чіткого відношення Q, найближчого до нечіткого відношення . Характеристична функція такого відношення може бути визначена наступним виразом:

Межі, точки переходу, а також властивість опуклості нечіткого відношення визначаються аналогічно нечітким множинам.

Перш ніж приступити до визначення операцій, розглянемо два прості відношення між двома нечіткими відношеннями. Перше з них – рівність двох нечітких відношень.

Визначення 5.15. Два нечіткі відношення і вважаються рівними, якщо вони задані на одних і тих же універсамах , мають однакову арность і їх функції приналежності приймають рівні значення на всьому декартовому творі відповідних універсумів, тобто виконується наступна умова:

для будь-яких кортежів .

При цьому слід зазначити, що стосовно бінарних нечітких відношень матриці рівних відношень і відповідні їм нечіткі графи рівні, як це визначено для відповідних математичних об'єктів.

Визначення 5.16. Говорять, що нечітке відношення строго включає (строго домінує) нечітке відношення (записується ⊂ ), якщо значення функції приналежності першого строго більше відповідних значень функції приналежності другого, тобто виконується наступна формальна умова:

для будь-яких кортежів .

Тут по аналогії із звичайними множинами для позначення строгого домінування нечітких відношень використовується символ "⊂". Якщо в даному визначенні в умові (5.11) замість знаку строгої нерівності записати знак нестрогої нерівності "≥", то отримаємо визначення нестрогого включення нечітких відношень або нестрогого домінування, яке позначається як: ⊆ . При цьому в разі ⊆ просто кажуть, що нечітке відношення домінує нечітке відношення , а нечітке відношення міститься в нечіткому відношенні .

Якщо для двох нечітких відношень і , заданих на одних і тих же базисних множинах, не виконується ні відношення ⊆ , ні відношення ⊆ , то в тому разі говорять, що нечіткі відношеньи і незрівняні.

Операції над нечіткими відношеннями

Оскільки кожне нечітке відношення являє собою нечітку множину, то стосовно нечітких відношень виявляються справедливими всі операції, які були визначені в минулому розділі. В той же час при використанні нечітких відношень має місце цілий ряд додаткових особливостей, які слід враховувати при оперуванні відповідними поняттями.

Нехай і – довільні (скінченні або нескінченні) k-арні нечіткі відношення, задані на одному і тому ж декартовому творі універсумів: .

Визначення 5.17. Перетином двох нечітких відношень і називається деяке третє нечітке відношення , задане на цьому ж декартовому творі універсумів, функція приналежності якого визначається наступним чином:

Визначення 5.18. Об'єднанням двох нечітких відношень і називається деяке третє нечітке відношення , задане на цьому ж декартовому творі універсамів , функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

Визначення 5.19. Різницею двох нечітких відношень і називається таке нечітке відношення , задане на цьому ж декартовому творі універсумів функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

Визначення 5.20. Операція симетричної різниці двох нечітких відношень і (тут ми позначатимемо її через ) за визначенням є таке нечітке відношення _{, функція приналежності якого дорівнює:}

Визначення 5.21. Унарна операція доповнення нечіткого відношення позначається через і визначається аналогічно операції доповнення нечіткої множини. А саме, , де функція приналежності визначається за наступною формулою:

Композиція бінарних нечітких відношень

Нехай і – скінченні або нескінченні бінарні нечіткі відношення. Причому нечітке відношення задане на декартовому творі універсамів , а нечітке відношення – на декартовому творі універсумів .

Визначення 5.22. Нечітке бінарне відношення, що задане на декартовому творі і позначається через , називається композицією бінарних нечітких відношень і , а його функція приналежності визначається наступним виразом:

Визначену таким чином композицію бінарних нечітких відношень називають іноді (max-min)-композицией або максимінною згорткою нечітких відношень.

Приклад 5.6. Розглянемо типову ситуацію, пов'язану з консалтингом в галузі вибору професії для подальшого навчання і отримання відповідної спеціальності. З цією метою побудуємо нечітку модель, засновану на двох бінарних нечітких відношеннях і . Перше з цих нечітких відношень будується на двох базисних множинах Х і Y, а друге – на двох базисних множинах Y і Z. Тут X описує множину спеціальностей, по яких проводиться набір на навчання, Y – множину психо-фізіологічних характеристик, а Z – множину кандидатів на навчання. У тому контексті, що нас цікавить, нечітке відношення змістовно описує психо-фізіологічну профілізацію спеціальностей, а – психо-фізіологічну профілізацію кандидатів на навчання.

Для конкретності, нехай Х={х1,х2, х3, х4, х5}, Y={y1,y2, y3,y4, y5,y6, y7,y8, y9,y10} і Z={z1,z2_, z3,z4_, z5} Елементи універсумів мають наступний змістовний сенс:

х1 – "менеджер", х2 – "програміст", x3 – "водій", x4 – "секретар-референт", x5 – "перекладач";

у1 – "швидкість і гнучкість мислення", у2 – "уміння швидко ухвалювати рішення", у3 – "стійкість і концентрація уваги", у4 – "зорова пам'ять", у5 – "швидкість реакції", у6 – "рухова пам'ять", у7 – "фізична витривалість", у8– "координація рухів", у9– "емоційно-вольова стійкість", у10 – "відповідальність";

z1– "Петров", z2 – "Іванов", z3 – "Сидоров", z4 – "Васильєва", z5 – "Григорьєва". Конкретні значення функцій приналежності і даних нечітких відношень представлені наступними таблицями (табл. 5.4 і 5.5).

Таблиця 5.4. Нечітке відношення профілізації спеціальностей навчання