Материал: КонспектНМ14_2018

Визначення 5.25. Аналогічним чином можна ввести поняття нечіткої операції алгебри, яка є окремим випадком нечіткого відображення, коли всі універсуми тотожно рівні X. В цьому випадку нечітка операція, точніше, нечітка к-місна операція, може бути записана у формі .

Принцип узагальнення в теорії нечітких множин

Нехай задано звичайне відображення , де звичайні скінченні або нескінченні множини. Припустимо, що на основі кожної з множин , що використовуються як універсуми, задані деякі нечіткі множини , , …, .

Принцип узагальнення стверджує, що відображення f і сукупність нечітких множин , , …, однозначним чином породжують нечітке відображення , функція приналежності якого визначається за наступною формулою:

для всіх кортежів таких що .

Дійсно, згідно визначенню звичайного відображення f кожному кортежу відповідає єдиний елемент , який стає (k+1)-м елементом кортежу , що використовується для визначення нечіткого відношення F. При цьому для решти всіх інших елементів, таких що , очевидно . Остання умова є достатньою для того, щоб нечітке відношення F задовольняло визначенню нечіткого відображення (5.19).

Принцип узагальнення може бути використаний не тільки для завдання нечітких відображень, а й, що важливіше, – для формального визначення різних нечітких конструкцій, узагальнюючих відомі теоретико-множинні поняття. Так, наприклад, на його основі можна дати визначення нечіткого декартова твору нечітких множин , , …, . А саме, нечітким декартовим твором нечітких множин , , …, заданих на універсамах відповідно, називається таке нечітке відношення, яке позначається через … , а функція приналежності якого визначається за формулою:

Принцип узагальнення буде також використаний для визначення операцій з нечіткими числами і інтервалами.

Властивості бінарних нечітких відношень, заданих на одному універсумі

У контексті нечіткого моделювання найбільший інтерес представляють такі властивості бінарних нечітких відношень, які узагальнюють відомі властивості звичайних відношень. Властивостями, що нас цікавлять є рефлексивність, симетричність і транзитивність, оскільки ці властивості використовуються надалі при визначенні деяких спеціальних типів бінарних нечітких відношень.

Визначення 5.26. Бінарне нечітке відношення задане на декартовому творі , називається рефлексивним, якщо для будь-якого з кортежів виконується рівність:

Як неважко помітити, всі елементи головної діагоналі матриці бінарного нечіткого відношення рефлексивності з кінцевим універсумом дорівнюють 1.

Повертаючись до розглянутих вище прикладів, можна стверджувати, що нечітке відношення ₁ з прикладу 5.1 є рефлексивним.

Визначення 5.27. Бінарне нечітке відношення , задане на декартовому творі , називається антирефлексивним, якщо для будь-якого з кортежів виконується рівність:

Як неважко помітити, всі елементи головної діагоналі матриці антирефлексивного бінарного нечіткого відношення з кінцевим універсумом дорівнюють 0. Тому нечітке відношення ₂ з прикладу 5.2 є антирефлексивним.

Визначення 5.28. Бінарне нечітке відношення , задане на декартовому творі , називається симетричним, якщо для будь-якого з кортежів виконується рівність:

Слід відмітити, що матриця симетричного бінарного нечіткого відношення з кінцевим універсумом симетрична щодо головної діагоналі. Це підтверджує нечітке відношення ₂ з прикладу 5.1, яке є симетричним.

Визначення 5.29. Бінарне нечітке відношення , задане на декартовому творі , називається асиметричним, якщо виконується наступна умова:

Слід відмітити, що всі елементи головної діагоналі матриці асиметричного бінарного нечіткого відношення з кінцевим універсумом дорівнюють 0. На додаток до цього один з двох (а може бути і обидва) симетричних щодо головної діагоналі елементів повинен бути рівний 0. Нечітке відношення ₂ з прикладу 5.2 є асиметричним, що безпосередньо витікає з визначення його функції приналежності.

Визначення 5.30. Бінарне нечітке відношення , задане на декартовому творі , називається антисиметричним, якщо виконується наступна умова:

Як не важко помітити, антисиметричність є слабкішою властивістю, ніж асиметричність. Для виконання цієї властивості потрібний лише, щоб один з двох (а може бути і обидва) симетричних щодо головної діагоналі елементів матриці відповідного бінарного нечіткого відношення був рівний 0. Нечітке відношення ₂ з прикладу 5.2 також є і антисиметричним, що безпосередньо випливає з визначення його функції приналежності.

Визначення 5.30. Бінарне нечітке відношення , задане на декартовому творі , називається транзитивним, якщо виконується наступна умова:

Нечітке відношення ₂ з прикладу 5.2 також є транзитивним, оскільки його функція приналежності монотонно зростає відносно різниці .

Визначення 5.30. Бінарне нечітке відношення , задане на декартовому творі , називається котранзитивным, якщо виконується наступна умова:

Визначення 5.31. Бінарне нечітке відношення задане на декартовому творі , називається сильно повним, якщо виконується наступна умова:

Нечіткі відношення ₁ з прикладу 5.1 і ₂ з прикладу 5.2 не є сильно повними, оскільки для першого з них тільки елементи головної діагоналі матриці цього відношення дорівнюють 1, а друге взагалі є субнормальним.

Визначення 5.32. Бінарне нечітке відношення , задане на декартовому творі , називається слабо повним (лінійним або зв'язним), якщо виконується наступна умова:

Нечітке відношення ₂ з прикладу 5.2 є слабо повним, оскільки для всіх кортежів , таких що , за визначенням функції приналежності (5.2) . Нечітке відношення ₁ з прикладу 5.1 не є слабо повним.

Деякі спеціальні типи нечітких бінарних відношень, заданих на одній базисній множині

Як і у разі звичайних відношень, сумісна наявність декількох властивостей може характеризувати загальний тип того або іншого бінарного нечіткого відношення.

Визначення 5.33. Бінарне нечітке відношення , що задане на декартовому творі , називається нечітким відношенням часткового строгого порядку, якщо воно одночасно є антирефлексивним, асиметричним і транзитивним.

Визначення 5.34. Нечітке відношення часткового строгого порядку, яке додатково задовольняє умові слабкої повноти, називається нечітким відношенням лінійного строгого порядку.

Наприклад, нечітке відношення ₂ з прикладу 5.2 є відношенням лінійного строгого порядку, оскільки, як було відмічено вищим, воно задовольняє умовам антирефлексивності, асиметричності, транзитивності і слабкої повноти. Що стосується нечіткого відношення ₁ з прикладу 5.1, то воно не є нечітким відношенням строгого порядку.

Визначення 5.35. Бінарне нечітке відношення , що задане на декартовому творі , називається відношенням толерантності, якщо воно є рефлексивним і симетричним. Нечітке відношення толерантності також називають відношенням нечіткої схожості, оскільки воно використовується для змістовного представлення попарної подібності або схожості різних об'єктів між собою.

Визначення 5.36. Бінарне нечітке відношення , що задане на декартовому творі , називається нечітким відношенням еквівалентності, якщо воно одночасно є рефлексивним, симетричним і транзитивним.

Контрольні питання

6. Нечітке відношення та способи його завдання.

7. Основні характеристики нечітких відношень.

8. Операції над нечіткими відношеннями.

9. Відображення нечітких множин

10. Композиція бінарних нечітких відношень.

Тема 4. Нечіткі величини, числа і інтервали

Розглянуте раніше поняття нечіткої множини допускає різні уточнення, які доцільно використовувати для адекватнішого віддзеркалення семантики невизначеності при побудові нечітких моделей складних систем. Одним з таких уточнень є поняття лінгвістичної змінної, яке широко використовується в нечіткому управлінні для представлення вхідних і вихідних змінних керованої системи. У цьому розділі також будуть розглянуті нечіткі аналоги звичайних чисел і інтервалів, які виявляються вельми зручним засобом для чисельних розрахунків значень відповідних функції приналежності при виконанні арифметичних операцій.

Визначення нечіткої і лінгвістичної змінних

Визначення 6.1. Нечітка змінна визначається як кортеж: <а, X, A>, де а – найменування або назва нечіткої змінної; X– область її визначення (універсум); – нечітка множина на X, що описує можливі значення, які може приймати нечітка змінна а. Таким чином, кажучи про нечітку змінну а, ми завжди матимемо на увазі деяку нечітку множину , яка визначає її можливі значення.

Як приклад нечіткої змінної можна привести нечітку множину , яка характеризує "гарячу каву". В цьому випадку відповідна нечітка змінна може бути представлена таким чином: <Гаряча кава {x| 0°С < x < 100°С, } >, де – нечітка множина з функцією приналежності , яка може бути задана, зокрема, графічно (рис. 1.4, а або рис. 1.4, б).