Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

		1			2	3	1	0

A				3		0	2
	B	0						0
3 4	3 1		1		1 3		3	0

1		2	3	1		0

				2
0		3	0			0
		3		2
	0		0			0
1		3.5	3	0		0

				1
0		1.5	0			0
	0	0	0	0	0

Первый шаг.

Вычитаем первую строку из третьей строки.

Второй шаг.

К третьей строке прибавим вторую. Вторую строку умножим на 0.5 и прибавим к первой строке.

Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум и совпадает с рангом расширенной матрицы системы.

В группу основных можно включить переменные x1 и x4 . Рассмотрим два набора значений неосновных переменных:

1.x2 1 , x3 0

2.x2 0 , x3 1

Определим соответствующие фундаментальные решения однородной системы линейных уравнений:

	3.5		3
	1		0
F	1	, F	0
F	0	, F	1
1	0	2	1
1		2

	1.5		0
	1.5		0

Запишем общее решение однородной системы линейных уравнений, как линейную комбинацию фундаментальных решений:

	3.5		3
	1		0
	1		0
X 1F1 2F2 1	0	2	1
	0		1

	1.5		0
	1.5		0

Пример 10. Решим неоднородную систему линейных уравнений:

x1 2x2 4x3 3x4 63x1 5x2 x3 2x4 142x1 3x2 3x3 x4 8

1		2	4	3	6

				2
3		5	1		14
	2	3	3	1	8

1		2	4	3		6

		1	11 7
0							4
		1	11 7
	0						4
1		0	18 11			2

		1		7
0			11			4
	0	0	0	0		0

Первый шаг.

Умножим первую строку на (-3) и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на (-2) и прибавим к третьей строке.

Второй шаг.

Вторую строку умножим на 2 и прибавим к первой строке. Вычтем вторую строку из третьей строки. Умножим вторую строку на (-1).

Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум, совпадает с рангом расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных

Система	уравнений			совместная и неопределенная.		Частное решение K
найдем, принимая: x3 0 , x4 0 .
KT 2		4		0	0
Соответствующая однородная система линейных уравнений:
x	18x		11x		0
1	3			4
	x2 11x3 7x4 0
В группу основных можно включить переменные x1						и x2 . Рассмотрим два

набора значений неосновных переменных:

1.x3 1 , x4 0

2.x3 0 , x4 1

Определим соответствующие фундаментальные решения однородной системы линейных уравнений:

	18		11

F	11	, F	7
F	1	, F	0
1	1	2	0
1		2

	0		1
	0		1

Общее решение однородной системы линейных уравнений: X 1F1 2F2 Общее решение неоднородной системы линейных уравнений принимает вид:

	2		18		11

	4		11		7
X K 1F1 2F2	0	1	1	2	0
	0		1		0

	0		0		1
	0		0		1
			57

3.7.Собственные значения и собственные векторы матрицы

Число называется собственным значением квадратной матрицы A

n n

(или характеристическим числом), если можно подобрать такой ненулевой

вектор X x1, x2,...,xn , что выполняется равенство: A X X

n n

Ненулевой вектор X x1, x2 ,...,xn называется собственным вектором

квадратной

матрицы

A ,

если

можно

найти такое число

0 , что

n n

выполняется равенство:

A X X

n n

Используя вместо вектора матрицу - столбец, данное равенство можно

записать в матричной форме:

A X X

n n n 1

n 1

Выполним преобразования данного матричного равенства.

A X E

X 0

n n n 1

X 0

n n

n 1

X 0

A E

n 1

n n

Таким образом,

чтобы

найти собственные

значения матрицы

A , нужно

n n

решить характеристическое уравнение:

A E

kn n kn 1 n 1 .... k1 k0 0

n n

Подставив собственное значение i в матричное уравнение можно получить

множество всех собственных векторов, соответствующих этому собственному значению матрицы. Отыскание всех собственных векторов сводится к решению однородных систем линейных уравнений:

	A			X 0
			E
n n		i n n		n 1

Пример 11. Получим собственные значения матрицы							1	2
Пример 11. Получим собственные значения матрицы						A			.
						2 2	4	3
						2 2	4	3
	A E		1	2	1 3 8 2 4 5 0
	A E		1	2	1 3 8 2 4 5 0
	2 2	2 2	4	3

Собственные значения матрицы: 1 1, 2 5 . Определим собственные векторы матрицы.

A		E	X 0 .
A		E	X 0 .
2 2	i	2 2	2 1

1 1		x1 2x2 0		2x1 2x2 0
4x 3			x 0	4x 4x 0			x2 x1
	1	1	2		1	2

Система уравнений имеет одно фундаментальное решение: X

I 1

Произвольный собственный вектор матрицы, соответствующий собственному
значению 1 1 имеет вид:					X I	c1(1, 1) c1, c1
1 2		x1 2x2 0		4x1 2x2 0
4x 3			x 0		4x 2x 0 x2 2x1
	1	2	2		1	2
Система уравнений имеет одно фундаментальное решение:							X		1
Система уравнений имеет одно фундаментальное решение:							X	II
								II	2
									2

Произвольный собственный вектор матрицы, соответствующий собственному
значению 2 5 имеет вид:	X II c2 (1,2) c2,2c2

3.8.Линейная модель международной торговли

Цель моделирования – ответ на вопрос: «Каким должно быть соотношение национальных доходов стран, чтобы имел место баланс торговли между ними?». Считается, что весь национальный доход тратится на закупку товаров либо внутри страны, либо на импорт из других стран.

Линейная модель торгового обмена имеет вид:

A X X , где
n n
n − количество стран S1, S2 ,...,Sn , участвующих в торговле;
X x1, x2,...,xn − вектор национальных доходов стран;
xi − национальный доход страны Si i											;
										1,n
	a		a	...	a
		11	12		1n
	a21		a22 ...		a2n
A		...	... ... ...			− структурная матрица торговли;
n n
			an2 ...
	an1				ann
aij	– доля национального дохода, которую страна S j тратит на закупку
					i		; j		;
товаров у страны Si						1,n		1,n

aij 1− так как национальный доход тратится на закупку товаров либо

внутри страны, либо на импорт из других стран.

Пример 12. Структурная матрица торговли трех стран S1, S2 , S3 имеет

вид:

	0.2	0.3	0.5	Найдем соотношение национальных доходов
				стран, при котором будет иметь место баланс
A 0.3		0.5	0.2
				торговли между ними:		A X X
	0.5	0.2
						3 3
			0.3
Для этого определим собственный вектор					X x1, x2 , x3 , соответствующий
собственному		значению		1, решая	линейную	однородную систему

уравнений:
					0.8x1		0.3x2	0.5x3	0
	A		X			0.3x1	0.5x2	0.2x3 0
	A	E	X	0		0.3x1	0.5x2	0.2x3 0
	3 3	3 3	3 1	3 1		0.5x	0.2x	0.7x	0
						1	2	3

0.8			0.3		0.5	0
0.8			0.3		0.5	0
			0.5
0.3			0.5		0.2	0
	0.5		0.2		0.7	0
	0.5		0.2		0.7	0
1.6			0.6		1	0
1.6			0.6		1	0
	0.62		0.62 0
	0.62		0.62 0			0
	0.62
	0.62		0.62		0	0
0		1	1	0
0		1	1	0
		1
1		1	0	0
	0	0	0	0
	0	0	0	0

Первый шаг.

Умножим первую строку на (-0.4) и прибавим ко второй строке. Умножим первую строку на 1.4 и прибавим к третьей строке. Умножим первую строку на 2.

Второй шаг.

К третьей строке прибавим вторую. Вторую строку умножим на (1.6/0.62) и прибавим к первой строке.

Ранг матрицы коэффициентов при неизвестных равен двум, совпадает с рангом расширенной матрицы системы и меньше числа неизвестных Система уравнений совместная и неопределенная.

В группу основных можно включить две переменных x1, x3 Однородная система уравнений имеет одно фундаментальное решение. Пусть x2 1 , тогда фундаментальное решение однородной системы уравнений принимает вид:

X T 1 1

Произвольный собственный вектор матрицы, соответствующий собственному значению 1 имеет вид: X c(1,1,1) c,c, c

Полученное решение означает, что баланс торговли трех стран достигается при соотношении национальных доходов стран 1:1:1.

Источник: https://studfile.net/preview/15912971/

Смотрите также:

2418
3033
3499
A решение проблемы
Vse_testy_PVB
Анализ бизнес-планирования
Анализ изменений интонационных особенностей в общих вопросах в современном британском произношении
Аттестация: понятие, назначение, порядок проведения
Биологическое действие ионизирующих излучений
Виды избирательных систем