Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Тригонометрическая форма комплексного числа

В	декартовой системе	координат комплексное число изображается
точкой	M x, y . Оси Ox	и Oy называются соответственно мнимой и

M x, y

Рис.1

действительной осями, координатная плоскость – комплексной. Абсцисса x и ордината y каждой точки изображают

соответственно действительную и мнимую

части комплексного			числа	z . Полярные
координаты		точки	M	определяются

положением		радиус-вектора		OM	- его
		r и	углом

длиной	OM			осью	Ox и

называются модулем r z и аргументомArg z комплексного числа z (рис. 1).

Справедливы соотношения:

cos

sin

2 ,

Из

значений аргумента комплексного числа Arg z

выделяют главное

значение

аргумента

arg z ,

удовлетворяющее

условию arg z . Связь

между декартовыми

полярными координатами точки

M комплексной

плоскости x r cos

y r sin определяет тригонометрическую форму

комплексного числа

z r cos i sin

Пример 2.

Найдем

тригонометрическую форму комплексных чисел:

а) z 3, б) z 7i , в) z 1 3 i , г) z 1 i .

а)

Комплексное число z 3 имеет Re z x 3 и Im z y 0 .

Отсюда r

32 02 3, cos 1, sin 0 , arg z 0 .

z 3 3 cos

i sin 0

б)

72 7 ,

cos 0 , sin 1,

arg z

z 7 7 cos i sin

, arg z

2 , cos

, sin

в)

z 1

3i 2 cos

i sin

1 2

, sin

г)

2 , cos

; arg z

;

z 1 i

2 cos

i sin

Арифметические

операции

над

комплексными

числами

в тригонометрической форме

Умножение комплексных чисел

z1z2 r1 cos 1

i sin 1 r2 cos 2 i sin 2

r1r2 cos 1 2

i sin 1 2

Деление комплексных чисел

r1 cos 1 i sin 1

cos

i sin

z2 r2 cos 2

i sin 2

Возведение в степень комплексного числа (формула Муавра)

zn r cos i sin n r n cos n i sin n , где n - целое число

Извлечение корня из комплексного числа

							2 k
							2 k
n z n r cos i sin n r cos
							n

где k 0,n 1; n - натуральное число.

i sin	2 k
i sin		,
	n

Пример 3. Выполним арифметические операции над комплексными

z 1

1 i в тригонометрической форме: а)

z z

, б)

числами

3 i и

в)

z 9

, г) 3 z

2 .

Используем полученные в предыдущем примере тригонометрические

представления комплексных чисел

i sin

3 i 2 cos

1 i

2 cos

i sin



а)	z1z2	2					2 cos				4			i sin				4	2			2 cos				i sin
а)	z1z2	2					2 cos							i sin					2			2 cos				i sin
								3								3								12				12
б)	z1		2			cos				i sin									2		cos		7		i sin		7



	z2			2				3		4						3	4			2		12				12
	z19 29							9	i sin			9			512 cos i sin 512
в)					cos
в)					cos			3					3
								3					3
																	67

													cos				i sin
г) z	3 z			2	2	, где z				2		2	cos				i sin
				2				2
																		2							2
z 3				cos								2 k				i sin					2 k					, где k 0,1,2
			2									2 k									2 k
			2

							6					3							6		3

z																								3			1
																								3			1
		3 2				cos						i sin							3 2										i
		3 2				cos						i sin							3 2										i
1										6								6					2 2
										6								6					2 2
z		3							i sin
					2
					2	cos										3 2 i
2							2							2
							2							2
							7								7
z		3															3				3			1
																					3			1
					2	cos					i sin									2						i
					2	cos					i sin									2						i
3							6									6					2			2
							6									6					2			2
Показательная форма комплексного числа
Формула Эйлера												ei cos i sin										определяет показательную форму
комплексного числа												z r ei .
Пример						4.	Запишем									в		показательной										форме комплексные числа

z1 1 3 i и z2 1 i .

Используем полученные ранее тригонометрические представления чисел

z1 1			i sin		z2 1 i


	3 i 2 cos	3		и		2 cos		i sin	.
				3			4		4

Используя значения модуля и аргумента комплексных чисел, находим

i				i
z 2e 3	и z	2	2e	4 .
1		2

4.2.Многочлены и алгебраические уравнения. Основные понятия

Многочлен относительно x1, x2,..., xn и целая рациональная функция y F x1, x2,...,xn есть суммы конечного числа членов вида a x1k1 x2k2 ...xnkn , где каждое k j j 1,n ‒ неотрицательное целое число. Наибольшее значение суммы степеней k1 k2 ... kn членов многочлена называется степенью многочлена.

Многочлен относительно x1, x2,..., xn называется однородным, если все его члены имеют одну и ту же степень.

Многочлен относительно x1, x2,..., xn называется симметрическим, если для любого множества значений x1, x2,..., xn значение многочлена не изменяется при какой угодно перестановке x1, x2,..., xn .

Каждый симметрический многочлен относительно x1, x2,..., xn может быть единственным образом записан как многочлен относительно элементарных симметрических функций u1,u2,...,un , определяемых следующим образом:

u1 xi , u2 x1x2 x1x3 ... xn 1xn , i 1

u3 x1x2x3 x1x2x4 ... xn 2xn 1xn ,..., un x1x2...xn ,

где uk k 2, n 1 ‒ есть сумма всех различных произведений, каждое из которых содержит k сомножителей x j с несовпадающими индексами.

Каждый симметрический многочлен относительно x1, x2,..., xn может быть выражен как многочлен относительно конечного числа симметрических функций v1,v2,...,vn , определяемых следующим образом:

n	n	n
v0 n, v1 xi , v2	xi2	, ..., vk xik , ...
i 1	i 1	i 1

Многочлен степени n относительно x (целая рациональная функция степени n с одной переменной) имеет вид:

F x a	xn a xn 1	... a	x a	a	0
0	1	n 1	n	0

Алгебраическое уравнение степени n с неизвестной x имеет вид:

F x a xn		a xn 1 ... a			x a 0		a	0
	0	1		n 1	n		0
Решить уравнение с неизвестной x ‒ значит найти все значения x
(нули	функции	y F x ,		корни уравнения),				удовлетворяющие		этому
уравнению. Значение			x xi	есть корень кратности (порядка) m (кратный
корень,	если m 1)		алгебраического			уравнения			(нуль функции y F x
порядка m), если		F x f x x x m , где				f	x ‒ многочлен, причем f			x 0 .
				i						i

Алгебраическое уравнение степени n имеет n корней, если корень кратности m считать m раз.

Общие формулы, выражающие корни алгебраических уравнений, через их коэффициенты и содержащие конечное число сложений, вычитаний, умножений, делений и извлечений корня, существуют для уравнений первой,

второй, третей и четвертой степени.

Решение линейных уравнений

a x b 0

a 0

Пример 5. Решим линейное уравнение

1 3i x 5 i 0

i2 1

5 i

5 i 1 3i

2 16i

0,2 1,6i

1 3i

1 3i 1 3i

t3 a a t2

Решение квадратных уравнений

a x2 b x c 0

a 0 ,

b2 4a c

1, 2

Пример 6. Решим квадратное уравнение

3 x2 i x 2 0

i2 1

i2 4 3 2

i 5i

1, 2

2 3

i , x

Решение кубичных уравнений методом Кардано x3 a x2 b x c 0

Кубичное уравнение преобразуют в «неполное», которое решают, используя формулы корней. Затем определяют корни первоначального кубичного уравнения. Преобразование кубичных уравнений в «неполные» кубичные уравнения выполняется с помощью замены переменной.

x t a3

p a2

		a 3				a	2				a
t					a t				b t
t					a t				b t
		3				3					3
			a	2					3			a	3
	2		a		b t			a		3		a
	2				b t					3

		3							3		3

c 0
	a b
	a b	c	0
		c	0
3

b,	q 2	a	3		a b	c	t3 p t q 0


	3			3

Примечание. Если свободный член «неполного» уравнения равен нулю,

то корни уравнения легко определяются.

t3 p t 0

t t2 p 0

t1 0,

t2, 3 p

Решение «неполных» кубичных уравнений

t3 p t q 0

p 3

A 3

Q ,

B 3

t A B ,				A B	i	A B
	t	2, 3		A B		A B	3
	t						3
1			2		2
			2		2
							70

Источник: https://studfile.net/preview/15912971/

Смотрите также:

2418
3033
3499
A решение проблемы
Vse_testy_PVB
Анализ бизнес-планирования
Анализ изменений интонационных особенностей в общих вопросах в современном британском произношении
Аттестация: понятие, назначение, порядок проведения
Биологическое действие ионизирующих излучений
Виды избирательных систем