Материал: kozinova_at_osharina_nn_matematika_lineinaia_algebra_analiti

Внимание! Если размещение файла нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам

Задача 15. Найти смешанное произведение векторов a , b и c .


1.	a	i j k , b	i	j k , c i	3 j	4 k

2.	a	i 6 j 2 k , b	3 j 6 k , c 2 i			2 j 3 k

3.	a	3 i 2 j 2 k , b		i 2 j 3 k ,	c 4 i j 4 k

4.	a	4 i j 3 k , b		3 i 8 j 2 k , c 2 i 7 j 3 k

Задача 16. Найти объем треугольной пирамиды с вершинами A, B, C, D .

1.A 0,0,1 , B 2,3,5 , C 6,2,3 , D 3,7,2

2.A 6,3,6 , B 2,8,3 , C 1,6,1 , D 8,4,1

3.A 3,5, 1 , B 5,3, 4 , C 7,5,5 , D 4, 2,6

4.A 3,4,3 , B 3,6,2 , C 0,4,4 , D 4,8,2

Задача 17. Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах


a , b и c .

1.	a		3 i	4 j	2 k , b	2 i 3 j k , c			5 i	5 k ,

2.	a	3 i 3 j , b 4 i					4 k , c 6 i		j k

3. a			i 7 j 5 k , b			6 i 8 j , c		3 i 4 j 10 k

4.	a	i		3 j	3 k , b		i 3 j k ,	c 6 i 3 j 3 k

Задача 18. Выяснить являются линейно зависимыми или линейно
независимыми	векторы	A1 a11, a12 , a13 ,	A2 a21, a22 , a23	и
A3 a31, a32 , a33 .

1.A1 7,5,19 , A2 5,7, 7 , A3 8,7,14

2.A1 1,4,6 , A2 1, 1,1 , A3 1,1,3

3.A1 1,8,1 , A2 2,3,3 , A3 4, 11,9

4.A1 2, 3,1 , A2 3, 1,5 , A3 1, 4,3

Задача 19. Даны четыре вектора A1 a11, a12 , a13 , A2 a21, a22 , a23 , A3 a31, a32 , a33 и B b1,b2 ,b3 в некотором базисе. Показать, что векторы

A1, A2 , A3 образуют базис, и найти координаты вектора B в этом базисе.

1. A1 4,5,2 , A2 3,01 , A3 1,4,2 , B 5,7,8

2.A1 2,3,5 , A2 1, 3,4 , A3 7,8, 1 , B 1,20,1

3.A1 3, 5,2 , A2 4,5,1 , A3 3,0, 4 , B 4,5, 16

4.A1 4,3, 1 , A2 5,0,4 , A3 2,1,2 , B 0,12, 6

					x1, y1, z1	,		x2 , y2 , z2 и
	Задача	20. Заданы	векторы	a1	x1, y1, z1	,	a2	x2 , y2 , z2 и
	x3 , y3 , z3 .						x, y, z линейной
a3	x3 , y3 , z3 .	Выяснить	является	ли	вектор	b	x, y, z линейной

комбинацией векторов a1 , a2 , a3 .

								2,3,4
1.	a1	2,0,1 , a2		1, 1,0 ,	a3 0,1,2 ,		b	2,3,4
							3,2,52
2.	a1	1,2,1 , a2		1,3,5 , a3 0, 3,7 ,		b	3,2,52
							0,4,16
3.	a1	1,3,5 , a2		0,2,0 , a3	5,7,9 ,	b	0,4,16
								3,7, 7
4.	a1	2,1,0 , a2	1, 1,2 , a3 2,2, 1 ,				b	3,7, 7
					27

Глава 2. Матрицы и определители

2.1.Понятие матрицы. Действия над матрицами

Матрица – упорядоченная система информации, представленная в виде таблицы чисел, состоящей из m – строк, n – столбцов. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита (иногда с индексами). Таблица чисел записывается в круглых скобках:

a		a	...	a
	11	12		1n
a21		a22	...	a2n	, где
A	...	... ... ...


		am2	...
am1				amn

aij – элемент матрицы, i 1,m – номер строки, j 1, n – номер столбца.

Примечание. Иногда для удобства под буквой, обозначающей матрицу,

указывают ее размеры A .

m n

Виды матриц:

нулевая матрица, содержащая только нули;

прямоугольная матрица, имеющая неравное число строк и столбцов;

матрица-строка, имеющая одну строку чисел;

матрица-столбец, имеющая один столбец чисел;

квадратная матрица, имеющая равное число строк и столбцов;

диагональная матрица, а именно квадратная матрица, имеющая ненулевые элементы только на главной диагонали (с одинаковыми индексами);

треугольная матрица, имеющая только нулевые элементы ниже (выше) главной диагонали;

единичная матрица E , а именно диагональная матрица, имеющая

n n

единицы на главной диагонали и нули ниже (выше) ее.

Операции над матрицами

1.Транспонирование матрицы

Элементы любой строки исходной матрицы в транспонированной матрице AT находятся в столбце с таким же номером, в том же порядке:

aiТj a ji , i, j .

Пример 1.
	1	4
A	2	5		AT	1	2	3
A	2	5	,	AT
3 2				2 3	4	5	6
3 2	3	6		2 3	4	5	6
	3	6

2.Умножение матрицы на число

Для расчета элементов матрицы B A, R используют правило:

bij aij , i, j

Пример 2.
	1	4				5	20

A	2	5	, B	5	A 10		25
3 2			3 2		3 2
	3	6				15	30

3.	Сложение матриц одинаковых размеров
	Для расчета элементов матрицы								C		A	B		используют правило:
								m n			m n	m n
	cij aij bij , i, j
	Пример 3.
		1 4			1		4							0 8

	A		2 5	, B		2	5	, C		A B				4 0
	3 2		3 6	3 2		3	6	3 2		3 2 3 2				0 12
			3 6			3	6							0 12
4.	Умножение матриц
	Для расчета элементов матрицы								D		A	B	используют правило:
								m k			m n n k
		n
	dij ais			bsj , i, j
		s 1

Примечание. Число столбцов левой матрицы должно совпадать с числом строк правой матрицы.

Пример 4.
	1	4							31	28	25
A	2			7	8	9		A B	44	41 38
A	2	5 , B					, D	A B	44	41 38
3 2			2 3	6	5	4		3 2 2 3
3 2	3	6	2 3	6	5	4	3 3	3 2 2 3	57	54	51
	3	6							57	54	51

d11 1 7 4 6 31,

d12 1 8 4 5 28, d13 1 9 4 4 25

d21 2 7 5 6 44, d22

2 8 5 5 41, d23 2 9 5 4 38

d31 3 7 6 6 57, d32

3 8 6 5 54, d33 3 9 6 4 51

5. Умножение матрицы на вектор

вектор X x1, x2 ,...,xn называется

Произведением матрицы

на

вектор Y y1, y2 ,..., ym ,

m n

который равен линейной комбинации столбцов

матрицы

Aj ,

с коэффициентами, являющимися координатами

1, n

вектора x j

1, n

A X A1 x1 A2 x2 ... An xn Y , где

m n

yi ai1 x1 ai2 x2 ... ain xn ,

i 1,m

Пример 5.

Y 39,54,69

A X

7,8

3 2

Основные свойства операций над матрицами:

, где R .

m n

m n m n

A B

m n n k

n k m n

, где

R .

m n

n m

m n m n

n m n m

m n n k

k n n m

, где R .

m n m n

m n

R .

B , где

m n

n k

m n n k

m n

n k

Источник: https://studfile.net/preview/15912971/

Смотрите также:

2418
3033
3499
A решение проблемы
Vse_testy_PVB
Анализ бизнес-планирования
Аттестация: понятие, назначение, порядок проведения
Влияние факторов среды на гаметогенез нерки р. Озерная (Западная Камчатка)
Всемирная история. от Нового времени до конца XX века. Гурина Е.М
Древнегреческий театр