Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

положение М* и имеет скорость vt (рис. 117). Тогда за промежуток времени Л/=/,— t скорость точки получает приращение Au=w1—vl Для построения вектора Av отложим от точки М вектор, равный

и построим параллелограмм, в котором диагональю будет vu а одной из сторон v. Тогда, очевидно, вторая сторона и будет изобра­ жать вектор Ау. Заметим, что вектор Де/ всегда направлен в сторону вог­ нутости траектории.

Отношение приращения вектора скорости Av к соответствующему про­ межутку времени А/ определяет век­ тор среднего ускорения тонки за этот промежуток времени:

Вектор среднего ускорения имеет то же направление, что и век­

тор Ау, т. е. направлен в сторону вогнутости траектории. Ускорением точки в данный момент времени t называется век­

торная величина а, к которой стремится среднее ускорение ас, при стремлении промежутка времени At к нулю:

— До do

а«= Нш -г7 = тг А/-О Л< М

Следовательно, вектор ускорения точки в данный момент време­ ни равен первой производной от вектора скорости или второй произ­ водной от радиуса-вектора точки по времени.

Размерность ускорения LIT*, т. е. длина/(время)*; в качестве единицы измерения применяется обычно м/с1.

Из формулы (10) следует также, что вектор ускорения точки а

равен отношению элементарного приращения вектора скорости do к соответствующему промежутку времени d/.

Найдем, как располагается вектор а по отношению к траекто­

рии точки. При прямолинейном движении вектор а направлен вдоль прямой, по которой движется точка. Есл^траекторией точки явля­

ется плоская кривая, то вектор ускорения а, так же как и вектор аср, лежит в плоскости этой кривой и направлен в сторону ее вогнутости.

Если траектория не является плоской кривой, то вектор дср на­ правлен в сторону вогнутости траектории и лежит в плоскости, про­ ходящей через касательную к траектории в точке М и прямую, па­ раллельную касательной в соседней точке (рис. 117). В пределе,

101

когда точка Aft стремится к М , эта плоскость занимает положение так называемой соприкасающейся плоскости, т. е. плоскости, в кото­ рой происходит бесконечно малый поворот касательной к траектории при элементарном перемещении движущейся точки *. Следователь­

но, в общем случае вектор ускорения а лежит в соприкасающейся плоскости и направлен в сторону вогнутости кривой. Вопрос об определении модуля ускорения будет рассмотрен в § 40 и 43.

| 40. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПРИ КООРДИНАТНОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ

Найдем, как вычисляются скорость и ускорение точки, если ее

движение задано уравнениями (3) или (4). Вопрос об определении траектории в этом случае был уже рассмотрен в §37.

Формулы (8) и .(10), определяющие значения Ъ и а, содержат

производные по времени от векторов г и V. В равенствах, содержа­ щих производные от векторов,, переход к зависимостям между их проекциями осуществляется с помощью следующей теоремы: про­ екция производной от вектора на ось, неподвижную в данной систе­ ме отсчета, равна производной от проекции дифференцируемого вектора на ту оке ось, т. е ..

рости точки v=dr/dt. Отсюда на основании формул (11), учитывая, что х, гу—у, гх=г, найдем:

(12)

или

где точка над буквой есть символ дифференцирования по времени. Таким образом, проекции скорости точки на координатные осиравны первым производным от соответствующих координат точки по вре­ мени.

Зная проекции скорости, найдем ее модуль и направление (т. е.

углы а, 0, у. которые вектор а образует с координатными осями) по формулам

v ^ V v t + v l + vl;

(13)

cos a = vK/v, cos ft = vy/v, cos у = vt/v.

* Д ля пространственной кривой (например, для винтовой линии) в каждой точке кривой будет своя соприкасающаяся плоскость. Д ля плоской кривой со­ прикасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей

2. О п р е д е л е н и е у с к о р е н и я т о ч к и . Вектор ус­

корения точки fl=dy/d/. Отсюда на основании формул (11) получаем:

т. e. проекции ускорения точки на координатные оси равны первым

производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени. Модуль и направле­ ние ускорения найдутся из формул

(15). При этом в случае движения, происходящего в’одной плоско­ сти, во всех формулах должна быть отброшена проекция на ось г.

В случае же прямолинейного движения, которое задается одним уравнением * = /(/), будет

Равенства (16) и определяют значения скорости и ускорения точки в этом случае.

f 41. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ КИНЕМАТИКИ ТОЧКИ

Задачи, решаемые методами кинематики точки, могут состоять в определении траектории, скорости или ускорения точки, в отыска­ нии времени, в течение которого точка проходит тот или иной путь, или пути, проходимого за тот или иной промежуток времени, и т. п.

Прежде чем решать любую из такого рода задач, надо устано­ вить, по какому закону движется точка. Этот закон может быть не­ посредственно задан в условиях задачи (задачи 47, 48) или же из условий задачи определен (задачи 49, 50).

Задача 47. Движение точхи задано уравнениями (х, у — в метрах, t — » се­ кундах):

x= 8 t—4fi, у=6<—ЗЛ

Определить траекторию, скорость и ускорение точки.

Р е ш е н и е . Для определения траектории исключаем из уравнений дви­ жения время t. Умножая обе части первого уравнения на 3, а обе части второ­ го — на 4 и почленно вычитая из первого равенства второе, получим: Зх—4у= 0 или у—3x14.

103

Следовательно, траектория — прямая линия, наклоненная к оси Ох под уг­ лом в , где tg a — *lt (рис. 118).

Определяем скорость точки. По формулам (12) и (13) получаем: р < = х = 8 (1 — Q, i> „= :y = 6 (l — 0 ;

v = V v l+ v l= lO \ 1 — /|.

Теперь находим ускорение точки. Формулы (14) и (15) дают:

ах — х = —8, ау = у = —6, а= 10м/с*.

Направлены векторы v и а вдоль траектории, т. е. вдоль прямой АВ. Проекции ускорения на координатные оси все время отрицательны, следовательно, ускоре­ ние имеет постоянное направление от В к А. Проекции скорости при 0<<<1 по­ ложительны, следовательно, в течение этого промежутка времени скорость трчки направлена от О к Л. При этом в момент времени t= 0v= 10 м/с; в момент t= 1 с V—0. В последующие моменты времени (<>1 с) обе проекции скорости отрицательны и, следовательно, скорость направлена от В к А, т. е. так же, как и ускорение.

Заметим, наконец, что при <=0 * = 0 и у= 0; при /= 1с х = 4 , у= 3 (точка В); при <=2с * = 0 , у= 0; при /> 2с значения х н у растут по модулю, оставаясь отри­ цательными.

Итак, заданные в условиях задачи уравнения движения рассказывают нам всю историю движения точки. Движение начинается из точки О с начальной ско­ ростью в ,= 10 м/с и происходит вдоль прямой АВ, наклоненной к оси Ох под углом а , для которого tg а = * /4. На участке ОВ точка движется замедленно (модуль ее скорости убывает) и через одну секунду приходит в положение В (4, 3), где ско­ рость ее обращается в нуль. Отсюда начинается ускоренное движение в обратную сторону. В момент /= 2 с точка вновь оказывается в начале координат -и дальше продолжает свое движение вдоль ОА . Ускорение точки все время равно 10 м/с*.

**+!/*=**.

Следовательно, траектория лежит на круглом цилиндре радиус# R , ось ко­

торого направлена вдоль оси Ог (рис. 119). Определяя из последнего уравнения t и подставляя в первое, находим

x= R sin (юг/и),

104

Таким образом, траекторией точки будет линия пересечения синусоидальной поверхности, образующие которой параллельны оси Оу (синусоидальный гофр) с цилиндрической поверхностью радиуса R. Эта кривая называется винтовой линией. Из уравнений движения видно, что один виток винтовой линии точка про­ ходит за время tlt определяемое из равенства 2л. При этом вдоль оси г точ­ ка за это время перемещается на величину h= ut1=2nul<o, называемую шагом винтовой линии.

Найдем скорость и ускорение точки. Дифференцируя уравнения движения'по времени, получаем:

vx = x = Rto cos cof, vy = y = — Ra>sin co/,

vt — z = u,

откуда

d = Y R * & (cos* ait -(-sin* at) + uJ = Y #*to*+ « * .

Стоящие под знаком радикала величины постоянны. Следовательно, движение происходит с постоянной по модулю скоростью, направленной по касательной к траектории. Теперь по формулам (14) вычисляем проекции ускорения:

ах = = — Ru>*sin со/,

an ~ vv ~ — со» cat, ax= vx= О,

откуда

a = V fli-f aj = /?a>*.

Итак, движение происходит с постоянным по модулю ускорением. Д ля опре­ деления направления ускорения имеем формулы:

Но, ояевидно,

x/R = coso, y/R= cos P,

где a и P — углы, образуемые с осями Ох и Оу радиусом R , проведенным от оси цилиндра к движущейся точце. Так как косинусы углов а , и Р, отличаются от ко­ синусов а и р только знаками, то отсюда заключаем, что ускорение точки все вре­ мя направлено по радиусу цилиндра к его осн..

Заметим, что хотя в данном случае движение и происходит со скоростью, по­ стоянной по модуЛю, ускорение точки не равно нулю, .так как направление ско­ рости изменяется.

Задача 49. Человек ростом h удаляется от фонаря, висящего на высоте Я , двигать прямолинейно со скоростью и. С какой скоростью движется конец тени человек^?

Р е ш е н и е . Для решения задачи найдем сначала закон, по которому дви­ жется-конец тени. Выбираем начало отсчета в точке О, находящейся на одной вер­ тикали с фонарем, и направляем вдоль прямой, по которой движется конец тени, координатную ось Ох (рис. 120). Изображаем человека в произвольном положении на расстоянии хг от точки О. Тогда конец его тени будет находиться от начала О на расстоянии xt .

Из подобия треугольников ОАМ и DAB находим:

Н

* * - H — h Xi

Это уравнение выражает закон движения конца тени М , если закон движения человека, т, е, xt= /( 0 . известен.

105