Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Взяв производную по времени от обеих частей равенства и замечая, что по формуле (16) * != «,«= «, xt—vx = v, где v — искомая скорость, получим

И

Vz‘ l ? - ¥ “•

Если человек движется с постоянной скоростью (u“ const), то скорость конца тени М будет тоже постоянна, но в Ш(Н—А) раз больше, чем скорость человека.

Обращаем внимание на то, что при составлении уравнений движения надо изображать движущееся тело или механизм (см. задачу 50) в произвольном поло- жении. Только тогда мы получим уравнения, определяющие положение движу* щейся точки (или тела) в любой момент времени.

Задача 50. Определить траекторию, скорость и ускорение середины М шату­ на кривошнпно-ползунного механизма (рис. 121). если ОА^АВ=2Ь, а угол ф при вращении кривошипа растет пропорционально времени: <р= со/.

Р е ш е н и е . Начинаем с определения уравнений движения точки М. Про­ водя оси н обозначая координаты точки М в произвольном положении через х а у иаходнм

х= 2b cos q>-f-6 cos <р, у=Ь sin ф.

Заменяя ф его значением, получаем уравнения движения точки М:

х = 3 Ь cos «о/, у = Ь sin at.

Для определения траектории точки М представим уравнения движения в виде

Возводя эти равенства почленно в квадрат и складывая, получим

X* , У * . ,

96* ' 6*

Итак, траектория точки М — эллипс с полуосями 3* и Ь. Теперь по формулам ()2) и (13) находим скорость точки Af:

vx =zx = —3t<osin и /, vu = y=tbtoco»a>t; t>=6o)Vr 9 sin* a>< + cos* to/.

Скорость оказывается величиной переменной, меняющейся с течением времена в пределах от vm\a=b<a до vmix=3ba.

Далее по формулам (14) определяем проекции ускорения точки Лк ax.— — 3bu? cos ш*=—(IAC, ау= - — sin ш /= —ш2!/;

106

отсюда

„ а = V ш4 (хг + у-) = (dV,

где г — длина радиуса-вектора, проведенного из центра О до точки М . Следо­ вательно, модуль ускорения точки меняется пропорционально ее расстоянию от центра эллипса.

Для определения направления а имеем по формулам (15):

cos a l —ax/a = —xtr, cos $l= a y/a = —y!r.

Отсюда, так же как и в задаче 48, находим, что ускорение точки М все время направлено вдоль МО к центру эллипса.

$42. ОСИ ЕСТЕСТВЕННОГО ТРЕХГРАННИКА. ЧИСЛОВОЕ ЗНАЧЕНИЕ СКОРОСТИ

Рассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки при естественном способе задания движения (см. § 37), т. е. когда заданы траектория точки и закон движения точки вдоль этой траектории в виде s=f(t).

В этьм случае значения векторов у и а определяют по их проек­ циям не на оси системы отсчета Охуг (как в § 40), а на подвижные оси МхпЬ, имеющие начало в точке М и движущиеся вместе с нею (рис. 122). Эти оси, называемые осями естественного трехгранника

(или скоростными осями), направлены следующим образом: ось Мх — по касательной к траектории в сторону положительного отсчета расстояния s; ось Мп — по нормали к траектории, лежащей в соприкасающейся плоскости и направленной в сторону вогнутости траектории; ось Mb — перпендикулярно к

первым двум так, чтобы она образовала с ними правую систему осей. Нормаль Мп, ле­ жащая в соприкасающейся плоскости (в плоскости самой кривой, если кривая плоская), называется главной нормалью, а перпендикулярная ей нормаль Mb — би­ нормалью.

Скорость точки, направленная по каса­ тельной к траектории (рис. 122), определяет­ ся в осях МхпЬ только одной проекцией и*

на.ось Мх. При этом их=у-или vx——v. Следовательно, vx или сов­ падает с модулем скорости v, или отличается от v только знаком. Условимся поэтому в дальнейшем обозначать vT тоже символом v, опуская индекс т, и называть t> числовым (или алгебраическим) зна­ чением скорости. Модуль скорости во всех случаях, когда это не может вызвать недоразумений, будем тоже обозначать символом v, а когда надо подчеркнуть, что речь идет о модуле скорости,— при­ менять символ |о|.

Найдем значение v. Если за промежуток времени At точка

107

будет vC9—As/At и в пределе найдем, что

(17)

Таким образом, числовое значение скорости точки в данный мо­ мент времени равно первой производной от расстояния (криволиней­ ной координаты) s этой точки по времени.

Значение v можно также находить как отношение элементарного перемещения ds точки к соответствующему промежутку времени At. Так как всегда d /> 0 , то знак v совпадает со знаком ds. Следователь­ но, когда Ю>0, скорость направлена в сторону положительного отсчета расстояния s, а когда v<0, — в противоположную сторону. Таким образом, величина v одновременно определяет и модуль ско­ рости, и сторону, куда она направлена.

f 43. КАСАТЕЛЬНОЕ И НОРМАЛЬНОЕ УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ

В § 39 было установлено, что ускорение а точки лежит в соприка­ сающейся плоскости, т. е. в плоскости Мхп. Следовательно, проек­

ция вектора а на бинормаль Mb равна нулю {аь—0). Найдем проек­ ции а на две другие оси. Проектируя^)бе части равенства (10) на оси М х и Мп и обозначая символами (dv)%и (dv)n проекции вектора dv

векторы v=MA и v'==MB от общего начала (рис. 123, б); тогда dt>=*

108

Угол между касательными к кривой в двух ее точках называется углом смежности-, тогда d<p — элементарный угол смежности. На­

помним, что отношение dq> к ds = ММ', определяет кривизну кривой в точке М, а кривизна k является величиной, обратной радиусу кривизны р в этой точке, т. е.

d<p/ds=ft=l/p. (20)

Введем эту величину во второе из равенств (19) и преобразуем его, учтя еще равенство (17), к виду

Таким образом, мы доказали, что проекция ускорения точки на касательную равна первой производной от числового значения ско­ рости или второй производной от расстояния (криволинейной коор­ динаты) s по времени, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траектории в данной точке кривой', проекция ускорения на бинормаль равна нулю. Это одна из важных теорем кинематики. Величины а* и ап называют касательным и нормальным ускорениями точки.

При движении точки М в одной плоскости касательная М х поворачивается вокруг бинормали Mb с угловой скоростью w=dq>/d/. Тогда второе из равенств (19) дает еще одну, часто используемую в инженерной практике формулу для вычисления ан:

Из нее следует, что нормальное ускорение равно произведению скорости точки на угловую скорость поворота касательной к траектории.

Отложим вдоль касательной Мх и главной нормали М п векторы а, и ап, т. е. касательную и нормальную составляющие ускорения (рис. 124). При этом со­ ставляющая ап будет всег­ да направлена в. сторону вогнутости кривой, так как всегда ап> 0, а составляю­ щая а, может быть направ­ лена или в положительном, или в отрицательном на­ правлении оси Мх в зави­ симости от знака проекции

Of (см. рис. 124, а, б).

Вектор ускорения точки а изображается диагональю параллелограмма построенного на составляющих ах и ап. Так как эти составляющие взаимно перпендикулярны, то модуль вектора а

109