Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

ния ам находятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 163).

Однако вычисление ам с помощью параллелограмма, изображен­ ного на рис. 163, усложняет расчет, так как предварительно надо бу­ дет находить значение угла fi, а затем — угла между векторами

амл н ал• Поэтому при решении задач удобнее вектор аМАзаменять его касательной {а\м) и нормальной (амл) составляющими и пред­ ставить равенство (59) в виде

При этом вектор ахМА направлен перпендикулярно АМ в сторону вращения, если оно ускоренное, и против вращения, если оно

замедленное; вектор апМл всегда направлен от точки М к полюсу А (рис. 164). Численно же

Если полюс А движется не прямолинейно, то его ускорение мо­ жно тоже представить как сумму касательной аД и нормальной аА составляющих, тогда

Наконец, когда точка М движется криволинейно и ее траекто­ рия известна, то ам в левых частях равенств (61) и (63) можно

заменить суммой а^ + ам - Формулами (61) — (63) и пользуются обычно при решении задач.

Ре ш е н и е з а д а ч . Ускорение любой точки плоской фигуры

вданный момент времени можно найти, если известны: 1) векторы

скорости vA и ускорения аА какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фи­ гуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры до­ статочно знать положение мгновенного центра скороетей.

Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответ­ ствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс. Дальнейшие особенности расчета подробно рассматриваются в решенных ниже задачах. Там же даются необходимые дополнительные указания.

141

Задача 67.. Центр О колеса, катящегося по прямолинейному рельсу (рис. 165), имеет в данный момент времени скорость v0 — 1 м/с и ускорение OQ= 2 м/с*. Радйус колеса R= 0,2 м. Определить ускорение точки В — конца перпендикулярного ОР диаметра АВ и ускорение точки Р, совпадающей с мгновенным центром ско­

постоянной при любом положении колеса, то, дифференцируя это равенство по времени, получим

Знаки <о и е совпадают, следовательно, вращение колеса ускоренное.

Важно помнить, что величина е определяется равенством (б) только в том слу­ чае, когда расстояние РО в формуле (а) постоянно.

П р и м е ч а н и я : а) не следует думать, что если по условиям задачи «0 = 1 м/с, то t»o= const. Значение «о в задаче указано для данного момента вре­ мени', с течением же времени vo изменяется, так как аоФО;

б) в данном случае dvoldt=a0, так как движение точки О является прямо­ линейным. В общем случае d:'o/d/=aJ,.

4) О п р е д е л е н и е а%о и аво- Так как за полюс взята точка О, то по

точки О), вектор a io (в сторону вращения, так как оно ускоренное) и вектор аЗо (всегда от В к полюсу О).

5) В ы ч и с л е н и е «д. Проведя оси Вх и By, находим, что

Овх —°во — ао = 3 м/с*, аВ]1 — аЪо=2 м/с1,

142

Р е ш е н и е . 1) Рассмотрим движение шатуна АВ\ выберем в качестве по­ люса точку А. Для нее, так как й>од=const:

Изображаем векторы vA и ад на чертеже.

2)О п р е д е л е н и е о>дд. Нам известна траектория точки В шатуна (ок

ружность радиуса ВС). Зная поэтому направление t>д(ид I ВС), строим мгновен­ ный центр скоростей Р шатуна АВ. Легко видеть, что АР=АВ=2г. Тогда

<*AB = VA/AP или й>да= ш0 д/2 = 2 с " 1. (б)

Направление поворота показано на чертеже.

В этом случае расстояние АР при движении механизма не остается посто­ янным и для определения еда нельзя воспользоваться приемом, примененным в

ти овд, а зная од, можно определить vg и вычислить а% — v%/BC. Таким обра­ зом, в векторном уравнении (в) неизвестны только числовые значения двух

подчеркнутых величин: аЪ и адд. Но в проекциях на оси равенство (в) дает два скалярных уравнения, из которых эти неизвестные и определяются.

Произведем предварительно подсчет адд и ад.

4) О п р е д е л е н и е адд. Зная <0дд, по формуле (62) находим

5) О п р е д е л е н и е ад. Зная траекторию точки В, можно определить

нормальное ускорение а% этой точки. Для этого найдем сначала по теореме проек­ ций (или с помощью мгновенного центра Р) скорость vg. Получим од cos 45°=ид<

откуда va= vAy 2. Тогда

6) О п р е д е л е н и е ав и ад. Для определения ад спроектируем обе ча­ сти равенства (в) на ось ВА, перпендикулярную другому неизвестному вектору

вЬд. Получим

ав cos 45°+ а д cos 45р = а д д .

Подставляя сюда вычисленные значения ав и адА, найдем

Знак минус показывает, что вектор ад имеет направление, противоположное ~ид (вращение коромысла СВ из данного положения замедленное).

Теперь определяем ад:

ав = V(ав)а+ (ав)а= 4 /1 6 = 1 2 ,6 5 м/с*.

144

этого спроектируем обе части равенства (в) на ось ВР, перпендикулярную а%. Получим

ав — — соэ 45° — авл cos 45°+ <&а cos 45е.

Отсюда

ова = — ав У 2 — а А + а в А = —20 м/с* в по первой из формул (62)

8^в = °влМ б = — 20 с-*.

Знак минус в обоих случаях указывает, что вращение шатуна АВ из рассматривае­ мого положения является замедленным.

§59*. МГНОВЕННЫЙ ЦЕНТР УСКОРЕНИЙ

При непоступательном движении плоской фигуры у нее в каждый момент времени имеется точка Q, ускорение которой равно нулю. Эта точка называется мгновенным центром ускорений. Определяется положение центра Q, если известны

ускорение аА какой-нибудь точки А фигуры и величины ю и е, следующим путем: 1) находим значение угла ц из формулы tg ц=е/о*;

(64), находим, что ар^= вд . Кроме того, вектор OQA должен образовывать с ли­ нией i4Q угол р, следовательно, вектор OQA параллелен аа , но направлен в про­ тивоположную сторону. Поэтому OQA—— оа и OQ= 0.

Если точку Q выбрать за полюс, то так как а^ = 0 , ускорение любой точки М тела, согласно формуле (59) будет

Следовательно, ускорения точек плоской фигуры определяются в данный мо­ мент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного

т. е. ускорения точек плоской фигуры пропорциональны их расстояниям от мгно­ венного центра ускорений. Картина распределения ускорений (т. е. поле ускоре­ ний точек плоской фигуры в данный момент времени) показана на рис, 169.