Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

с этими осями и перемещающийся вместе с ними). Траектория АВ, описываемая точкой в относительном движении, называется относи­ тельной траекторией. Скорость точки М по отношению к осям

Охуг называется относительной скоростью (обозначается v01), а

ускорение — относительным ускорением (обозначается аот). Из определения следует, что при вычислении иот и аот можно движение осей Охуг во внимание не принимать (рассматривать их как непод­ вижные).

2. Движение, совершаемое подвижной системой отсчета Охуг (и всеми неизменно связанными с нею точками пространства) по отно­ шению к неподвижной системе Охххухгх, является для точки М пере­

носным движением.

Скорость той неизменно связанной с подвижными осями Охуг точки т, с которой в данный мвмент времени совпадает движущаяся точка М , называется переносной скоростью точки М в этот момент

Если представить себе, что относительное движение точки про­ исходит по поверхности (или внутри) твердого тела, с которым жестко связаны подвижные оси Охуг, то перенЬсной скоростью (или ускорением) точки М в данный момент времени будет скорость (или ускорение) той точки т тела, с которой в этот момент совпадает точка М.

3. Движение, совершаемое точкой по отношению к неподвижной система отсчета Охххухгх называется абсолютным или сложным. Траектория CD этого двйжения называется абсолютной траекто­

рией, скорость’— абсолютной скоростью (обозначается иаб) и уско­

рение — абсолютным ускорением (обозначается а,в).

В приведенном выше примере движение шара относительно палу­ бы парохода будет относительным,- а скорость — относительной ско­ ростью шара; движение парохода по отношению к берегу будет для шара переносным движением, а скорость той точки палубы, которой в данный момент времени касается шар, будет в этот момент его пере­ носной скоростью; наконец, движение шара по отношению к берегу будет его абсолютным движением, а скорость — абсолютной ско­ ростью шара.

Для решения соответствующих задач кинематики необходимо установить зависимости между относительными, переносными и

абсолютными скоростями и ускорениями точки, к чему мы и перей­ дем.

f С5. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ СКОРОСТЕЙ

Рассмотрим сложное движение точки М. Пусть эта точка совер­ шает за промежуток времени Дt=Ktx—t вдоль траектории АВ отно­

сительное перемещение, определяемое вектором ММ' (рис. 183, а).

156

Сама кривая АВ, двигаясь вместе с подвижными осями Охуг (на рисунке не показаны), перейдет за тот же промежуток времени в какое-то новое положение AiBx. Одновременно та точка т кривой АВ, с которой в момент времени t совпадает точка М, совершит пере­

носное перемещение т т 1= Ж т 1. В результате точка М придет в

положение Afi и совершит за время Дt абсолютное перемещение М М Х. Из векторного треугольника MmtM x имеем

М М Х= M m t + тгМ г.

Деля обе части этого равенства на At и переходя к пределу, получим

lim (MMjAl) — lim (MmjAt) -f lim (m^MjAt).

скоростей: при сложном двиясении абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей. По­ строенная на рис. 183, б фигура называется параллелограммом ско­

ростей.

157

Если угол менаду векторами v0T и ипер равен а, то по модулю

а сама прямая вращается в плоскости Охгуг вокруг центра Ос.угловой скоростью ш. Определить скорость точки М относительно осей Олод в зависимости от расстоя­ ния ОМ==-г.

Р е ш е н и е . Рассмотрим движение точки М как сложное, состоящее из относительного движения вдоль прямой ОА и движения вместе с этой прямой.

Тогда скорость и, направленная вдоль ОА, будет относительной скоростью точки. Вращательное движение прямой ОА вокруг центра О является для точки М пере­

носным движением, а скорость той хочки т прямой ОА, с которой в данный момент

времени совпадает точка М , будет ее переносной скоростью р„ерТак как эта точ­ ка прямой движется по окружности радиуса Om=r, то по модулю скорость vacp=

= (ог и направлена перпендикулярно От. Строя на векторах и и ипер параллело­ грамм, найдем_абсолютную скорость у,й точки М по отношению к осям Oxj/i. Так как и и vnep взаимно перпендикулярны, то по модулю

и,б= Y uJ-fo)Va.

Задача 74. Рычажок ОМ самопишущего прибора образует в данный момент

времени угол а с горизонтальной плоскостью, а перо М имеет скорость v, направ­ ленную перпендикулярно ОМ (рис. 185). Барабан с бумагой вращается вокруг

вертикальной оси с угловой скоростью ш. Определить скорость и перемещения

На основании теоремы о сложении скоростей v=M+onep, откуда u= v+ (—vntp). Строя на векторах v и (—vntv)- параллелограмм, найдем искомую скорость и. Так как угол между v и (—о„ер) равен 90° —а, то по модулю

158

Угол, который скорость и образует с направлением у„ер. можно теперь найти по теореме синусов.

Задача 75. В кривошипно-ползунном механизме (рис. 186) кривошип ОА длиной твращается с угловой скоростью to. Длина шатуна А В равна I. При дан­ ном угле <р определить скорость ползуна относительно кривошипа ОА. Найти так­ же абсолютную скорость ползуна.

Р е ш е н и е . Ползун движется поступательно и его скорость равна скорости точки В, принадлежащей одновременно шатуну А В. Следовательно, решение зада­ чи сводится к определению скорости точки В шатуна.

Относительное движение шатуна А В поотношению к кривошипу ОА представ­ ляет собой вращение вокруг шарнира А. Точка В при этом вращении описывает

окружность радиуса АВ\ следовательно, относительная скорость гот точки В по отношению к кривошипу направлена перпендикулярно АВ. Заметим еще, что

абсолютная скорость точки В направлена вдоль ВО.

Переносным для точки В является движение кривошипа ОА. Представим себе, что с кривошипом жестко связан треугольник ОАВ, вращающийся вместе с кри­ вошипом вокруг оси О с угловой скоростью (о (как на рис. 151 со стержнем AD был связан лист фанеры Л). Тогда скорость точки В треугольника ОАВ, совпадаю­ щая в данный момент времени с точкой В шатуна АВ, будет переносной скорсстьк)

v"nev точки В шатуна. Эта точка треугольника движется по окружности радиуса

Строим из векторов иот, t>nep и t',e соответствующий параллелограмм. Из не­ го видно, что

к 0т = ип е p/COS Р ИЛИ С'о т = £|) ( l + r COS ф /COS Р).

Исключим отсюда угол р. Из треугольника ОАВ находим, что / sin р =/■ sin <р.

Тогда cos р = У 1—(г®//!) sin* ф и окончательно значение искомой относительной скорости

Р е ш е н и е . Нам известна абсолютная скорость ползуна, равная скорости v стержня. Эту скорость ползуна можно рассматривать как слагающуюся из отно­

159

сительной скорости оот скольжения ползуна вдоль прорези кулисы и переносной скорости ипер, равной скорости той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун. Направления этих скоростей известны: скорость v0T направлена вдоль ОВ, скорость ипер— перпендикулярно ОВ. Тогда, разлагая за­

данную скорость и по направлениям иох и t'nep, найдем эти скорости. Из парал­ лелограмма видно, что по модулю ипер= ь cos ф.

Но, с другой стороны, переносная скорость ontv=a>'OB—аЛ/cos ф, где ш — угловая скорость кулисы. Сравнивая эти два значения wnepi найдем угловую ско­ рость кулисы о>= (o/h) cos* ф.

{ вв. ТЕОРЕМА О СЛОЖЕНИИ УСКОРЕНИЙ (ТЕОРЕМА КОРИОЛИСА)

Найдем зависимость между относительным, переносным и абсо­ лютным ускорениями точки. Из равенства (84) получим

Производные здесь определяют изменение каждого из. векторов при абсолютном движении. Эти изменения слагаются в общем случае из изменений при относительном и при переносном движениях, что ниже будет непосредственно показано. Следовательно, если усло­

виться изменения, которые векторы vox и ипер получают при отно­ сительном движении, отмечать индексом «1», а при переносном двиясении — индексом «2», то равенство (85) примет вид

Но по определению (см. § 64, п. 1) относительное ускорение

характеризует изменение относительной скорости только при относительном двиясении; движение осей Охуг, т. е. переносное движение при этом во внимание не принимается. Поэтому

В свою очередь, переносное ускорение характеризует изменение переносной скорости только при переносном двиясении, так кака„ер=

= а т (см. § 64, п. 2), где т — точка, неизменно связанная с осями Охуг и, следовательно, получающая ускорение только при движе­ нии вместе с этими осями, т. е. при переносном движении. Поэтому

В результате из равенства (86) получи»

160