Введем обозначение |
|
|
|
(^уот)а |
, (dynep)f |
(90) |
|
‘‘кор ■ |
At |
||
|
Величина аыпр, характеризующая изменение относительной ско рости точки при переносном движении и переносной скорости точки при ее относительном движении, называется поворотным, или кориолисовым, ускорением точки. В результате равенство (89) примет вид
&г6 = ®от “Ь ^пер “Ь ^кор • |
(® 0 |
|
|
||||||
Формула (91) выражает |
следу |
|
|
||||||
ющую т е о р е м у |
К о р и о л и- |
|
|
||||||
с а о с л о ж е н и и у с к о р е - |
|
|
|||||||
н и й*: |
при |
сложном |
движении |
|
|
||||
ускорение точки равно |
геометри |
|
|
||||||
ческой сумме трех ускорений: от |
|
|
|||||||
носительного, |
переносного и |
пово |
|
|
|||||
ротного, |
или |
кориолисова. |
|
|
|
||||
Найдем для |
вычисления акор |
|
-т я у, |
||||||
формулу, вытекающую из равенства |
|
|
|||||||
(90). При этом, рассматривая общий |
|
|
|||||||
случай, |
будем считать переносное |
Рис. |
188 |
||||||
движение, т. е. движение подвиж |
|||||||||
|
|
||||||||
ных осей Охуг, |
а |
с ними |
и кри |
|
|
||||
вой АВ (см. рис. 182), слагающимся из поступательного движения вместе с некоторым полюсом и вращения вокруг этого полюса с
угловой скоростью о, называемой переносной угловой скоросглью.
Величина со, как показано в § 63, от выбора полюса не зависит и на изображенных рис. 188, где полюс точка т, и рис. 189, где полюс О, имеет одно и то же значение.
Начнем с определения (duOT),/d/. При рассматриваемом перенос
ном движении вектор vox, направленный по касательной к кривой АВ, переместится вместе с этой кривой поступательно (придет- в
положение тхЬ, рис. 188) и одновременно повернется вокруг точки
от, до положения mtbi. В результате вектор v0T получит в перенос ном движении приращение (dv0T)t= b b 1= v b’dt, гдеу ь — скорость, с которой перемещается точка Ь при повороте вектора mlb = v oc вокруг то^ки mt. Так как этот поворот происходит с угловой ско
ростью о, |
то по формуле (76) vb=<oXmlb = a X v CT. В |
результате |
|
получаем |
(dyot)a= =vb'dt=(i)Xv0Tdt” |
и |
|
|
(<ь°т)* - й х и „ |
(92) |
|
|
сМ |
|
|
* Гюстав Кориолис (1792—1843) — французский ученый, известный своими трудами по теоретической и прикладной механике. Корйолнсово ускорение называют еще поворотным, так как оно появляется при наличии у подвижных осей вращения (поворота). '
1 1-1870 |
161 |
Теперь определим (dunep)f/d/. Скорость i/nep равна скорости той неизменно связанной с подвижными осями точки т кривой АВ, с которой в данный момент времени совпадает точкаJA (рис. 189).
Если точку О принять за полюс и обозначить через г вектор 0т=*
|
=ОМ то |
по формуле |
(81) |
||
|
|
Й„ер = й+<ОХЛ |
|
||
|
|
Совершив за промежуток вре |
|||
|
мени d / относительное перемеще |
||||
|
ние M M ' = v 0T-dt, |
точка |
придет |
||
|
в положение ЛГ, |
для которого |
|||
|
? = г + 7 Ш ' |
и |
|
|
|
|
|
уперSS V, + СОX г ’ =» |
|
||
|
|
«=», + |
(о х (г + М М ’). |
||
____ |
го, |
Следовательно, вследствие то- |
|||
что точка совершает относи |
|||||
тельное перемещение ММ*= v 0Tdt, |
вектор ипер получает |
прира |
|||
щение |
|
|
|
|
|
(dtfnep)* — у«р—упер= (Ох М М ’ = (Ох иот d/, |
|
||||
откуда |
|
|
|
|
|
(<^nep)f |
— |
— |
|
|
(93) |
- di ■= |
Ш X Рот. |
|
|
||
Подставляя величины (92) и (93) в равенство (90), получим |
|||||
ал0р= 2 (й х 0 01). |
|
|
(94) |
||
Таким образом, кориолисовб ускорение равно удвоенномувектор ному произведению переносной угловой скорости (угловой скорости подвижной системы отсчета) на относительную скорость
точки.
С л у ч а й п о с т у п а т е л ь н о г о п е р е н о с н о г о д ви
ж е н и я . В этом случае со=0 и, следовательно, ак0, = 0. В резуль тате равенство (91) дает*
0 * 6 — O Q т “1" ^ n e p « |
( 9 5 ) |
* Этот результат виден и из рис. 188, 189. Когда кривая АВ перемещаетс поступательно, то вектор t»0T придетji положение mjft, показанное на рис. 188 пунк тиром, т. е. не изменится, и будет (duOT),= 0 . Одновременно при этом все точки кри вой АВ имеют одинаковые скорости и в точке М' (рис. 189) и„ер будет таким же, как в точке М, т. е. показанным пунктиром, вследствие чего (doBep)i=®.
163
т. е. при поступательном переносном движении абсолютное уско
рение точки равно геометрической сумме относительного и перенос
ного ускорений. |
Результат |
здесь аналогичен тому, который дает |
||||||
теорема |
о |
сложении |
скоростей. |
го, п е р е н о с н о |
||||
г о |
В ы ч и с л е н и е |
о т н о с и т е л ь н о |
||||||
и |
|
к о р и о л и с о в а |
у с к о р е н и й . |
Относительное уско |
||||
рение, |
поскольку при |
|
|
|||||
его |
нахождении |
движе |
|
|
||||
ние подвижных |
осей во |
|
|
|||||
внимание |
не принима |
|
|
|||||
ется, |
вычисляется обыч |
|
|
|||||
ными |
методами кинема |
|
|
|||||
тики точки (§ 40,43). Пе |
|
|
||||||
реносное ускорение |
вы- |
|
|
|||||
числяется.как ускорение |
|
|
||||||
точки, неизменносвязан |
|
|
||||||
ной с подвижными осями, т. е. как ускорение точки некоторого твердого тела, по формулам,
полученным для ускорений точек твердого тела в § 51, 58, 62, 63. Кориолисово ускорение вычисляется по формуле (94). _Модуль
кориолисова ускорения, если угол между векторами to и ^ |
обоз |
начить через а, будет равен |
|
Скор= 2|о)|. |y0T|sina. |
(96) |
Направлен вектор акор так же, как и вектор coXt»oT, т^е. пер пендикулярно плоскости, проходящей через векторы ш и аот, в ту сторону, откуда кратчайшее совмещение и с vor видно происходя щим против хода часовой стрелки (рис. 190, а).
Из рис. 190, а видно также, что_направление вектора акор можно определить, спроектировав вектор u0I_ на плоскость П, перпендику
лярную о , и повернув эту проекцию |
на 90° в сторону переносного |
вращения. |
|
Если относительная траектория — плоская кривая и перемеща
ется все время в своей плоскости, то угол а=90° |
(рис. 190, б) и в |
|||
этом случае |
по |
модулю |
|
|
|
|
«кор = 2 1со I. I |
I. |
(96') |
Кроме того, |
как |
видно из рис. 190, б, |
направление акор можно^в |
|
этом случае найти, повернув вектор относительной скорости v0T на 90° в сторону переносного вращения (т. е. по ходу или против часовой стрелки, в зависимости от направления вращения).
На рис. 191 для иллюстрации приведенных правил показано направление кориолисова ускорения шарика М, движущегося вдоль трубки АВ в случаях, когда трубка вращается в плоскости чертежа (ррс. 191, а) и когда она при вращении описывает конус (рис. 191, б\.
. Из формулы (96) видно, что кориолисово ускорение может обра щаться в нуль в следующих случаях]
11* 163
1)когда о)=0, т. е. когда переносное движение является посту
пательным [формула (95)] |
или если переносная угловая скорость |
в данный момент времени |
обращается в нуль; |
2) когда роти= 0, т. е. когда относительная скорость в данный момент времени обращается в нуль;
3) когда а = 0 , или а=180°, т. е. когда относительное движение происходит по направлению, параллельному оси переносного
вращения, или если в данный момент времени вектор v0T паралле лен этой оси.
§ 67. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
А. П е р е н о с н о е д в и ж е н и е п о с т у п а т е л ь н о е . В случае, когда переносное движение является поступательным, характер задач и методы их решения аналогичны задачам на сложение скоростей (см. § 65).
Задач» 77^ Клин, движущийся прямолинейно по горизонтальной плоскости
с ускорением в}, перемещает вдоль вертикальных направляющих стержень DE (рис. 192). Определить ускорение стержня, если угол клина равен а.
Р е ш е н и е . Абсолютное ускорение ад точки D стержня направлено по вер тикали вверх. Его можно рассматривать как слагающееся из относительного ус
корения аот, направленного вдоль щеки клина, и переносного ускорения апер|
равного ускорению клина at (так как переносное движение, т. е. движение клина, является поступательным). Строя на основании равенства (95) соответствующий
параллелограмм и учитывая, что aj,ep==^i> найдем
в д = в 1 tg a .
Величина вд и определяет ускорение стержня.
Б. П е р е н о с н о е д в и ж е н и е в р а щ а т е л ь н о е . Покажем, как
вычисляется aag, когда переносное движение является вращением вокруг непод вижной оси.
Рассмотрим точку М, движущуюся по поверхности некоторого тела (напри
мер, шара) вдоль заданной кривой АМ В позакону s=7i(<). где*=ЛА! (рис. 193). При этом само тело вращается вокруг оси ВА по закону <р= / 2(0, где <р — угол по ворота тела. Первое из названных движений считаем относительным, а второе — переносным для точки М. Пусть требуется найти значение аав в некоторый мо мент времени t= tx. Расчет сводится к следующему.
164
1. Определение положения точки. Полагая в уравнении s= /, (f) время t= tlf
определяем положение точки М на кривой АВ при и изображаем точку на чертеже в этом положении.
2. Определение v0T и а0Т. По формулам кинематики точки (см. § 42, 43) нахо
дим:
: — S, Аот — ^от» а от — уот/ро
где рот — радиус кривизны кривой АВ в точке М. Определяем числовые значения
этих величин при t= t1и изображаем затем векторы и0-г,~аоти |
на чертеже (с уче |
том знаков иот и а5т; на рис. 193 векторы иот и ^ т показаны для случая, когда
»от> 0 и а5г> 0). _
3. Определение antf. Сначала находим ш—ф и е=ш и вычисляем их значения a>j и et при t = tv Затем определяем h — расстояние точки М от оси ВА в момент
времени fj. После этого находим a„eр и айер как ускорения той точки тела, с ко торой в данный момент времени совпадает точка Af, т. е. по формулам (см. § 51)
впер^Л*!, Дпер = htiii*
Изображаем векторы Д тР и"вЙер на чертеже (с учетом знака ajep; на рис. 193 вектор Ожр показан_для случая, когда et < 0 и, следовательно, а » р< 0).
4. Определение aKOp. Модуль и направление акор определяются так, как это
показано в конце § 66. Вектор акор также изображаем на чертеже. 5. Определение а,*- По теореме Кориолиса находим
в«б = в о т + во т + а пер + вп ер + в“кор-
Если сумму стоящих справа векторов трудно найти геометрически, то, проводя какие-нибудь координатные оси Мхуг (рис. 193), вычисляем проекции всех слагае мых векторов на эти оси. Тогда по тео реме о проекции суммы векторов на ось
в*б * = |
а шб]/ — ^ а1у> в » в * = 2 в ;* * |
После этого находим |
|
в » в = |
V в*в * 4 " в«в у “Н в*б *• |
Конкретный пример такого расчета см. в задаче 81.
Задача 78. Кулиса ОА вращается с постоянной угловой скоростью со вокруг оси О (рис. 194). По прорези кулисы скользит ползун В с постоянной относитель ной скоростью и. Определить абсолютное ускорение ползуна в зависимости от его расстояния х до оси О.
Р е ш е н и е . По условиям задачи относительное движение ползуна по про рези кулисы является равномерным и прямолинейным; следовательно, вох= 0 .
Движение кулисы ОА будет для ползуна В переносным. Следовательно, пере
носное ускорение амр ползуна равно ускорению той точки кулисы, с которой в данный момент времени совпадает ползун. Так как эта точка кулисы движется
165