какой-нибудь точки А тела и направление скорости vs_другой точ
ки В этого тела (сравн. с § 56). Пусть vA и направление vB известны. Проведем тогда через точку А плоскость /, перпендикулярную
вектору vA (рис. 177). Как показано выше (см. рис. 176), мгновенно ось ОР должна лежать в этой плоскости. Но одновременно ось
Р
Рис. 176 |
Рис. 177 |
ОР должна лежать и в плоскости 2, |
проведенной через точку В |
перпендикулярно вектору v„. Следовательно, прямая, по которой пересекутся эти плоскости, и будет мгновенной осью вращения ОР. Теперь, определив расстояние 1г точки А от оси ОР, по формуле (76') найдем угловую скорость w тела в данный момент времени: (о=уЛ/А. После этого значение скорости vM любой точки М тела
находится по формуле (76'), а вектор vMбудет направлен перпенди кулярно плоскости ОМР.
В частном случае, когда известно, что скорость какой-то точки тела равна в данный момент времени нулю, прямая, проходящая через эту точку и неподвижную точку О тела, будет мгновенной осью вращения и расчет существенно упростится (см. задачу 72).
А н а л и т и ч е с к и скорость и определяют по ее проекциям на какие-ни
будь координатные оси. Найдем проекции вектора v на оси Охуг, жестко связанные с телом и движущиеся с ним (см. рис. 176); эти оси имеют то преимущество, что в них координаты х, у, г точки М будут величинами постоянными. Так как гк—х, Гу—У I /•,=*, то по известной формуле векторной алгебры
• I к
v = ш Х г=
х у г
Отсюда, разлагая определитель по элементам первой строки и учитывая, что
v=v^i-\-vyj+V;k и что, следовательно, коэффициенты при i, j, к в этом разложении должны равняться ил, vy, иг соответственно, получим
(ГТ)
151
Эти формулы, как и формулу (76), называют формулами Эйлера. Каждую из них можно тоже получить из предыдущей круговой перестановкой букв х, у, г (см. формулы (47) н рис. 90, б В § 28).
В частном случае формулы (77), конечно, справедливы и при вра щении тела вокруг неподвижной оси г. Так как при этом ш*=<оу=0 и о>г—(о, то для такого случая
i |
v „ = ( o x , vt =0. |
(77') |
Определим теперь ускорение точки М. Из равенства (76), диф |
||
ференцируя его по времени, найдем |
|
|
а = и = (шхГ) + (шх7). |
|
|
Так как ш=е, a r —v, |
то окончательно |
|
|
а = (ёхг) + (<охй). |
(78) |
Ускорение at = e X r |
называют еще вращательным, а ускорение |
|
а,=ш Х и — осестремительным ускорением точки М. |
Вектор а1 |
|
Направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через точку М и вектор е (рис. 178), а по модулю al =ersln$=ehu где ht — расстоя ние от точки М_до вектора е. Вектор же а,, перпендикулярный одно
временно v и т, будет направлен вдоль МС (см. рис. 176), причем по модулю a 1=<Bwsin900=<o,A, так как v=a>h.
Заметим, что в отличие от результатов, полученных в § 51, здесь O i= e X r не будет вообще вектором касательного ускорения точки М (по_касательной направлен вектор v = a x F , а направление вектора
е х г будет вообще другим); следовательйо, и вектор шхо не будет вектором нормального ускорения точки М.
Задача 72. Найти скорости точек В и С конического катка (бегуна), если ско рость Vi центра А катка, движущегося по окружности радиуса ОА, известна (рис. 179). Каток при движении катятся без скольжения по неподвижной кониче ской поверхности К.
Р е ш е н и е . Каток движется вокруг неподвижной точки О. Так как его крчение по поверхности К происходит без скольжения, то скорости точек катка, лежащие в данный момент времени на линии 0В, равны нулю и, следовательно, ОВ является мгновенной осью вращения. Тогда (oAlt где ш — угловая ско-
152
рость катка при его повороте вокруг оси ОВ, а /4 — расстояние точки А от этой оси. Отсюда ш= vA/hv
Скорость vc точки С будет равна аЛа, где А.— расстояние точки С от оси ОВ. Так как в данном случае ht=2hlt то vc =2vA. Для точки В, лежащей на мгновен ной оси вращения, vg= О
§ 63. ОБЩИЙ СЛУЧАЙ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА
Рассмотрим наиболее общий случай движения твердого тела, когда оно является свободным и может перемещаться как угодно по
отношению к системе отсчета О |
х (рис. 180). Установим вид |
уравнений, определяющих закон |
рассматриваемого движения. |
Выберем произвольную точку А тела в качестве полюса и проведем через нее оси Ax'^yfo, которые при движении тела будут переме щаться вместе с полюсом поступательно. Тогда положение тела в
системе отсчета |
будет известно, если будем знать положение |
полюса А , т. е. |
его координаты х1А у 1Л, г ^ , и положение тела по |
отношению к осям Ах^у^, определяемое, как и в случае, рассмот ренном в§ 60, углами Эйлера ф, г|>, 0 (см. рис. 172; на рис. 180 углы Эйлера не показаны,чтобы не затемнять чертеж). Следовательно, уравнения движения свободного твердого тела, позволяющие найти его положение по отношению к системе отсчета Ох^у^ в любой мо мент времени, имеют вид
* « л - Ы 0 . |
yiA = f*V). 2lA = ft (t)\ |
) |
|
ф = /« (0 . |
* = / . ( 0 . в = /.(/)• |
J |
; |
Установим теперь геометрическую картину рассматриваемого движения. Нетрудно видеть, что первые три из уравнений (79) опре деляют то движение, которое тело совершало бы при постоянных
углах ф, if, 0, т. е. при поступательном движении тела вместе с полюсом А. Последние же три уравнения определяют движение, которое происходило бы при постоянных -значениях координат *ia. У\а , а. т. е. когда точка А неподвижна. Но движение тела вокруг неподвижной точки, как установлено в § 60, слагается из элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения. Ог-
153
сюда заключаем, что в общем случае движение свободного твердого
тела можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки тела движутся как произвольно
выбранный полюс А со скоростью vA, и из серии элементарных пово
ротов с угловой скоростью со вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через полюс А (рис. 181). Такой будет, например, кар тина движения любого непоступательного перемещающегося в воз духе тела: брошенного камня, самолета, проделывающего фигуры высшего пилотажа, артиллерийского снаряда и т. д. Наконец, анало гичной может быть картина движения и несвободного твердого тела при наличии соответствующих связей (см., например, в § 72 рис .207; в том же параграфе показано, как можно еще иначе представить геометрическую картину движения свободного твердого тела).
Основными кинематическими характеристиками движения яв
ляются скорость vA и ускорение аА полюса, определяющие скорость н ускорение поступательной части движения, а также угловая
скорость ш и угловое ускорение е вращения вокруг полюса. Зна чения этих величин в любой момент времени можно найти по ура внениям (79). Заметим, что если за полюс принять другую точку
тела, например точку В (см. рис. 180), то значения vB и ав окажутся
отличными т vA и аА (предполагается, что тело движется не посту пательно). Но если связанные с телом оси, проведенные из точки В (на рис. 180 не показаны), направить так же, как и в точке А, что можно сделать, то значения углов <р, гр, 0, а следовательно, и последние из уравнений (79) не изменятся. Поэтому и здесь, как ив случае плоского движения, вращательная часть движения тела, в
частности значения со и ¥, от выбора полюса не зависят. Движение свободного твердого тела может быть в частном случае
плоскопараллельным; при этом векторы со и е будут все время перпендикулярны плоскости, параллельно которой движется тело. _ С к о р о с т и и у с к о р е н и я т о ч е к т е л а . Скорость
vM любой точки М тела в рассматриваемом движении слагается, как и в случае плоскопараллельного движения (см. § 54 и рис. 147), из скорости vA полюса А и скорости vMA, которую точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А . При этом, так как движение тела вокруг полюса А происходит как движение вокруг неподвижной точки, то значение vMA определяется формулой (76),
где г —AM, т. е. |
___ |
|
Таким образом, |
vMa — а х AM. |
(80) |
|
|
|
+ |
или vM^ v A+ ( a x l M ) . |
(81) |
Справедливость этого результата доказывается так же, как в § 54. Аналогично для ускорения любой точки М тела найдем (см.
§58)
а м ~ а А + °МА> |
(82) |
154
где величина амл, т. е. ускорение, которое точка М получает при движении вместе с телом вокруг полюса А, определяется равен-
ством (78), в котором только надо считать r —AM, a V= VMA—(O XAM-
Глава XIII
СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ
9 64. ОТНОСИТЕЛЬНОЕ, ПЕРЕНОСНОЕ И АБСОЛЮТНОЕ ДВИЖЕНИЯ
До сих пор мы изучали движение точки или тела по отношению к одной заданной системе отсчета. Однако в ряде случаев при реше нии задач механики оказывается целесообразным (а иногда и не обходимым) рассматривать движе ние точки (или тела) одновременно по отношению к двум системам от счета, из которых одна считается основной или условно неподвиж ной, а другая определенным образом движется по отношению к первой.
Движение, совершаемое при этом точкой (или телом), называют со ставным или сложным. Например, шар, катящийся по палубе движу щегося парохода, можно считать совершающим по отношению к бе регу сложное движение, состоящее
из качения по отношению к палубе (подвижная система отсчета), и движение вместе с палубой парохода по отношению к берегу (не подвижная система отсчета). Таким путем сложное движение шара разлагается на два более простых и более легко исследуемых. Возможность разложить путем введения дополнительной (подвиж ной) системы отсчета более сложное движение точки или тела на более простые широко используется при кинематических расчетах и определяет практическую ценность теории сложного движения, рассматриваемой в этой и следующей главах. Кроме того, результа ты этой теории используются в динамике для изучения относитель ного равновесия и относительного движения тел под действием сил.
Рассмотрим точку М, движущуюся по отношению к подвижной системе отсчета Охуг, которая в свою очередь как-то движется отно сительно другой системы отсчета Оххху хгь которую называем основ ной или условно неподвижной (рис. 182). Каждая из этих систем отсчета связана, конечно, с определенным телом, на чертеже не по казанным. Введем следующие определения.
1. Движение, совершаемое точкой М по отношению к подвиж ной системе отсчета (к осям Охуг), называется относительным двиясением (такое движение будет видеть наблюдатель, связанный
155