Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Следует иметь в виду, что положения мгновенного центра скоростей Р и мгно­ венного центра ускорений Q в данный момент времени не совпадают. Например, если колесо катится по прямолинейному рельсу (см. рис. 170), причем скорость его центра С постоянна (t'c=const), то мгновенный центр скоростей находится в точ­ ке Р (vP=0), но при этом, как было показано в задаче 67, арф0\ следовательно,, точка Р не является одновременно мгновенным центром ускорений. Мгновенный

центр ускорений в этом случае находится, очевидно, в точке С, так как она дви­ жется равномерно и прямолинейно и ас —0. Центры скоростей и ускорений сов­ падают тогда, когда фигура (тело) вращается вокруг неподвижной оси.

Понятием о мгновенном центре ускорений удобно пользоваться при решении некоторых задач.

Задача 70. Колесо катится по прямолинейному рельсу так, что скорость vc егб центра С постоянна. Определить ускорение точки М обода колеса (рис. 170).

Р е ш е н и е . Так как по условиям задачи t>c=const, то ос= 0 и точка С является мгновенным центром ускорений. Мгновенный центр скоростей находится в точке Р. Следовательно, для колеса

a = t’clPC = vclR= const, e=dw/d<=0 , tg ц=е/ш 8= 0 , ц = 0, В результате по формуле (66) находим

вЛ = MC-(o* = vc/R.

Таким образом, ускорение любой точки М обода (в том числе и точки Р) рав­

но V£ /R и направлено к центру С колеса, так как угол ц=0. Заметим, что это ус­ корение для точки М не будет нормаль­ ным ускорением. В самом деле, схорость точки М направлена перпендикулярно РМ (см. задачу 61). Следовательно, касатель­ ная Мт к траектории точки М направ­ лена вдоль линии MD, а главная нормаль

Мп — вдоль МР. Поэтому ам=ам со* а,

sin а.

Задача 71. Кривошип ОА вращает­

ся С ПОСТОЯННОЙ УГЛОВОЙ СКОРОСТЬЮ й>ОА

(рйс. 171). Найти ускорение ползуна В и угловое ускорение шатуна АВ в тот мо*- мент времени, когда Z ВОА=9СР, если ОА=г, АВ=1.

Р е ш е н и е . В рассматриваемый момент времени скорости всех точек ша­ туна АВ равны »д (см. задачу 63, рис. 159, б). мгновенный центр скоростей на­ ходится в бесконечности и ш дд=0. Тогда tg ц=едв/ш дв= оо ц=90° (еда#0,

так как в противном случае по формулам (60) и (59) адд= 0 и ад= вд, что невоз­ можно, поскольку эти два вектора взаимно перпендикулярны).

Ускорение точки А ад=ад=/чоод и направлено вдоль ЛО. Ускорение точки В, так как она движется прямолинейно, направлено вдоль ОВ, Из рис, 169 видно,

146

что ускорение любой точки М тела направлено под углом ц к линии MQ. В данном случае ц=90°; следовательно, линии /1Q и BQ должны быть перпендикулярны

аЛ и аВ- Восставляя эти перпендикуляры, [находим, положение точки Q. Со­

ставляя теперь пропорцию (67) ад/Вф= ад/AQ, где BQ=r, AQ= У 1г— гъ, по­ лучаем

Ускорение ам любой другой точки М шатуна АВ будет перпендикулярно MQ (ц = 90°); модуль аЛ1 находится из пропорции (67).

Глава XII*

ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ т о ч к и

И ДВИЖЕНИЕ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

f 60. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА, ИМЕЮЩЕГО ОДНУ НЕПОДВИЖНУЮ ТОЧКУ

Рассмотрим движение по отношению к системе отсчета Ox^yxZi твердого тела, закрепленного так, что одна его точка О остается во все время движения неподвижной. Такое движение совершает, например, волчок, у которого неподвижна точка его опоры о пло­ скость, -или любое другое тело, закрепленное в точке О шаровым шарниром.

1. У р а в н е н и я д в и ж е н и я . Найдем, какими параметра­ ми определяется положение тела, имеющего неподвижную, точку. Для этого свяжем жестко с телом трехгранник Охуг, по положению которого можно судить о положении тела (рис. 172). Линия ОК, вдоль которой пересекаются плоскости Оху и Ох,у х, называется ли­ нией узлов. Тогда положение по отношению к осям О-и^г, трехгран­ ника Охуг, а с ним и самого тела можно определить углами:

(p—Z-KOx, ^ —Z-XiOK, В= / г & г .

Эти углы, называемые углами Эйлера, имеют следующие, взятые из небесной механики наименования: <р — угол собственного вра­ щения, ^ — угол прецессии, 0 — угол нутации. Положительные направления отсчета углов показаны на рис. 172 стрелками.

Чтобы знать движение тела, надо знать его положение по отно­ шению к осям OxitjiZy в любой момент времени, т. е. знать зависи­ мости:

Уравнения (68), определяющие закон происходящего движения, называются уравнениями движения твердого тем вокруг неподвиж­

ной точки.

2. У г л о в а я с к о р о с т ь т е л а . При изменении угла тело совершает вращение вокруг, оси Ог (собственное вращение) с

угловой скоростью со!=ф, при изменении угла ^ — вращение во­ круг оси Oil (прецессия) с угловой скоростью a>,=i|> и при изменении

угла 0 — вращение вокруг линии узлов ОК (нутация) с угловой

скоростью со»= 6 . Векторы со,, со,, со8 этих угловых скоростей на­ правлены соответственно по осям Ог, 0гх и ОК (рис. 173). Поскольку при движении тела изменяются вообще все три угла, движение

тела представляет собой вращение с угловой скоростью <■>, равной геометрической сумме названных угловых скоростей (справедли­ вость этого вывода будет подтверждена в § 71). Таким образом,

© =© !+<ot-f со*.

правлению. По этой причине со называют еще мгновенной угловой

скоростью тела.

3. Г е о м е т р и ч е с к а я к а р т и н а д в и ж е н и я те л а. Если тело имеет в данный момент времени угловую скорость

со, то его элементарное перемещение за промежуток времени i t представляет собой элементарный поворот на угол d6=cod/ вокруг

оси ОР, вдоль которой направлен вектор со (см. рис. 173). Эта ось ОР называется мгнЬвенной осью вращения. Иначе, мгновенная ось вращения — это ось, элементарным поворотом вокруг которой тело перемещается из данного положения в положение бесконечно близ­ кое к данному.- Ог неподвижной оси мгновенная ось вращения отличается тем, что ее направления и в пространстве, и в самом теле непрерывно меняются.

Переместившись элементарным поворотом вокруг оси ОР в со­ седнее положение, тело из этого положения'в последующее перемеща­ ется поворотом вокруг новой мгновенной оси вращения 0Р Хи т. д. Таким образом, движение твердого тела вокруг неподвижной точки

148

слагается из серии последовательных элементарных поворотов вокруг мгновенных осей вращения, проходящих через эту неподвиж­

характеризующая изменение с течением времени угловой скорости и по модулю, и по направлению, называется угловым ускорением тела в данный момент времени или мгновенным угловым ускорением.

При изменении вектора и его конец А будет описывать в про­ странстве некоторую кривую AD, являющуюся годографом вектора

© (см. рис. 174). Тогда, сравнивая_вы-

ражение (69) с равенством v=dr/dt, приходим ц выводу, что угловое уско­

рение е можно вычислять как скорость,

с которой конец вектора о перемещает­ ся вдоль кривой AD. В частности, на­

правление е совпадает с направлением касательной к кривой AD в соответству­ ющей точке. Следовательно, в данном случае, в отличие от случая вращения вокруг неподвижной оси, направление

вектора е не совпадает с направлением вектора со.

Векторы со и е являются основными кинематическими характе­ ристиками движения тела, имеющего неподвижную точку. Их можно определить аналитически, зная уравнения движения (68),

как это показано в § 61. Значение со можно найти и геометрически (см. § 62).

{ 61. КИНЕМАТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА

Для определения вектора ш найдем его проекции на подвижные оси Охуг (рис. 175). Как было отмечено в §60, этот вектор можно представить в виде

Для определения проекций вектора ш2 проведем через оси О*! и Ог плоскость* которая пересечется с плоскостью Оху вдоль линии OL. Так как линия ОК пер­ пендикулярна плоскости zOzlt то она перпендикулярна и линии OL (Z.KOL=9&>,

а £ L 0y= ф). Тогда, проектируя вектор ш, на линию OL, а эту проекцию в свою

149

очередь на оси Ох и Оу, получим;

ш.* = ф sin 9 sin ф, ь>2у = ij> sin 9 cos ф, wlz = tji cos 9.

Подставляя все вычисленные проекции в правые части равенств (72), найдем окончательно

Эти проекции и определяют вектор Г. Таким образом, зная уравнения движе­ ния (68), можно, по полученным формулам найти ш и е.

§62. СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧЕК ТЕЛА

Так как тело, движущееся вокруг неподвижной точки, имеет в каждый момент времени мгновенную ось вращения ОР, вокруг кото­

рой происходит элементарный поворот с угловой скоростью ы (рис. 176), то вектор скорости какой-нибудь точки М тела будет определяться в этот момент равенством (48) из § 51, т. е.

точки О. Направлен вектор v перпендикулярно плоскости МОР, проходящей через точку М и ось ОР, в сторону поворота тела. Численно же

ный момент времени можно найти, зная в этот момент скорость vA

_* Заметны, что, дифференцируя равенства (73), нельзя найти проекции векто­

ра 8 на оси х, у, г, так как соотношения (11) из § 40 справедливы только для про­ екций на неподвижные оси.

150