Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

ходит через точку С (рис. 199), причем

a = v B/BC=vA/AC и to= ( VB—VA)/AB.

Последний результат тоже получается из свойств пропорции. Подставляя в эти равенства значения vA и vB, найдем окончательно:

Итак, в этом случае результатирующее движение также явля­ ется мгновенным вращением с абсолютной угловой скоростью со= е=а>1—(о, вокруг оси Сс', положение которой определяется пропор­

вращения вокруг параллельных осей направлены в разные стороны.

называется парой вращений, а векторы ш, иш , образуют пару угловыхскоростей. В этом случае получаем, чтоиА=й)а •АВ и vB=t»i ‘АВ,

определяется так же, как в статике определялось направление момен­ та т пары сил (см. § 9). Иначе говоря, пара вращений эквивалентна поступательному (или мгновенно поступательному) двизкению со

скоростью и, равной моменту пары угловых скоростей этих враще­ ний.

Примером такого движения является поступательное движение велосипедной педали DE относительно рамы велосипеда (рис. 201),

171

являющееся результатом относительного вращения педали вокруг оси А, укрепленной на кривошипе ВА, и переносного вращения кривошипа ВА вокруг .оси В. Угловые скорости со, и со, этих вра­ щений направлены в разные стороны, а по модулю равны друг дру­ гу, так как в любой момент времени угол поворота ср, педали отно­ сительно кривошипа ВА равен углу поворота ср, кривошипа. Ско­ рость поступательного движени'я педали v=(a1-BA.

Из того, что пара вращений эквивалентна поступательному дви­ жению, следует и обратный вывод: поступательное движение твер­ дого тела эквивалентно паре вращений, у которой момент угловых скоростей этих вращений равен поступательной скорости тела.

f 70. ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ

Полученные в предыдущем параграфе результаты могут быть использованы для 'кинематического расчета зубчатых передач, образованных цилиндрическими зубчатыми колесами (шестернями). Рассмотрим основные виды этих передач.

Р я д о в о й назовем передачу, в которой все оси колес, находящихся в по­ следовательном зацеплении, неподвижны. При этом одно из колес (например, ко­ лесо / на рис. 202) является ведущим а остальные ведомыми. В случае внешнего

(рис. 202, а) или внутреннего (рис. 202, б) зацепления двух колес имеем I®,!

— |ш,| •/■,, так как скорость точки сцепления А у обоих колес одинакова. Учитывая, что число г зубцов сцепленных колес пропорционально их радиусам, а вращения

Следовательно, отношение угловых скоростей крайних шестерен в этой пере­ даче обратно пропорционально их радиусам (числу зубцов) и не зависит от радиу­

где k — число внешних зацеплений (в случае, изображенном на рис. 202,о, имеется одно внешнее зацепление; на рис. 202, в — два внешних зацепления, на рис. 202, б внешних зацеплений нет).

Передаточным числом данной зубчатой передачи называется величина i'jr , дающая отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведо-

172

неподвижна, а оси остальных шестерен, находящихся в последовательном зацеп­ лении, укреплены на кривошипе АВ, вращающемся вокруг оси неподвижной шестерни.

Д и ф ф е р е н ц и а л ь н о й называется передача, изображенная иа рис. 203, если в ней шестерня I не является неподвижной и может вращаться вокруг своей оси А независимо от кривошипа АВ.

Расчет планетарных и дифференциальных передач можно производить, со­ общив мысленно всей неподвижной Плоскости Ах1у1вращение с угловой скоростью —илв> равной по модулю и противополож­ ной по направлению угловой скорости кривошипа АВ (метод остановки или ме­ тод Виллиса).

sfoft шестерни по отношению к осям Axtyt

(рис. 203). При этом оси всех шестерен будут неподвижны и зависимость между

щ можно будет определить или приравнивая скорости точек сцепления, или не­ посредственно по формуле (101).

Расчет планетарных и дифференциальных передач можно также производить с помощью мгновенных центров скоростей (см. § 56).

Задача 82. В планетарном механизме (рис. 203) шестерня / радиуса rt не­ подвижна, а кривошип АВ вращается с угловой скоростью содвНайти угловую скорость шестерни 3 радиуса rt .

Р е ш е н и е . Абсолютные угловые скорости шестерен по отношению к осям Ах1у1обозначим через u)t ((о,=0), <о, и со,. Сообщив всей плоскости Ах1у1 враще­ ние с угловой скоростью —шда, получим в этоц движении:

сч= 0—<одя, ш,=<а,—мдв.

ы , = й>.— сода, ® дЯ = 0 .

В получившейся передаче оси колес неподвижны, а число внешних зацеплений к—2, Тогда по формуле (101)

(Oi/w»= r,/ri или —шдв/(<о*—мдя) = г»/г|. Отсюда находим абсолютную угловую скорость шестерни 3

м>=(1—'А ) «да-

Если г,> г,( то направление вращения шестерни 3 совпадает с направлением вращения кривошипа, при rt <r1— не совпадает. В случае, когда rt —rt , получаем (i),=0. Шестерня 3 в этом случае движется поступательно.

Относительную (по отношению к кривошипу АВ) угловую скорость шестер­ ни 3 найдем по формуле (97). Так как абсолютная скорость он^Шмт'Ьи.дв (Уз­ ловая скорость кривошипа является для шестерни 3 переносной), то

<»зот= “ з —»>дв = —(n l'i) ®лв-

При r,= rf получаем шаот= —(ода- Относительная ш!от и переносная о»да угловые скорости образуют при этом пару, и мы другим путем приходим к выводу, что результирующее движение шестерни 3 является в этом случае поступатель­ ным со скоростью V=<OAB ‘AB.

Задача 83. Редуктор скоростей (рис. 204) состоит из: а) неподвижной шестер­ ни 1; б) двух спаренных шестерен 2 и 3, насаженных на кривошип, скрепленный с

173

ведущим ралом АС (зацепление шестерен 2 и 1 внутреннее); в) шестерни 4, сидя­ щей на ведомом валу DB. Числа зубцов шестерен: гх= 120, z2=40, z,=30, z4= 50. Ведущий вал делает л д = 1500 об/мин. Найти число оборотов в минуту ведомого вала В.

Р е ш е н и е . Обозначим абсолютные угловые скорости: вала АС вместе с кривошипом через «>д, шестерни 4 вместе с валом DB через шд, шестерен 2 и 3 черев to2J (эти шестерни вращаются как одно тело). Шестерня 1 имеет угловую скорость Ш|—0. Сообщив плоскости х1у1<параллельно которой движется механизм, вращение с угловой скоростью — шд, получим, что кривошип в этом движении

будет неподвижен (шд=0), а шестерни будут иметь» скорости:

Отсюда, учитывая, что величина п об/мин, про* порциональна со, находим

лВ= (1 + 21 z3/z2 z j лд=4200 об/мин.

Задача 84. Решить предыдущую задачу при условии, что шестерня 1 враща­ ется в ту же сторону, что и ведущий вал АС, делая лх= 1100 об/мин (редуктор

сдифференциальной передачей).

Ре ш е н и е . Ход решения остается таким же, как и в задаче 83, с той лишь

разницей, что теперь (Oj^O (причем по условиям задачи знаки «о, и шд совпадают); следовательно, 0^ = % —ид. В результате полученная в задаче 83 пропорция ©1/w4= - 4 jz1/z1z* дает

(©I—Шд)/(Шд—шд)=— Отсюда, переходя к оборотам в минуту, находим

" B = ^ + ( z 1zJ/z2z4) (яд—л,) = 22 2 0 об/мин.

Если шестерня 1 вращается в противоположном направлении, то в полученном результате надо изменить знак при лх.

§ 71. СЛОЖЕНИЕ ВРАЩЕНИЙ ВОКРУГ ПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ОСЕЙ

1. С л о ж е н и е у г л о в ы х с к о р о с т е й . Пусть отно­ сительное движение тела представляет собой вращение с угловой

скоростью eoj вокруг оси аха, укрепленной на кривошипе 2 (рис. 205, а), а_переносным является вращение кривошипа с угло­

вой скоростью со, вокруг оси Ьф, которая с осью аха пересекается в точке О. Схематически такой случай сложения вращений вокруг пересекающихся осей показан на рис. 205, б.

Очевидно, что в этом случае скорость точки О, как лежащей одновременно на обеих осях, будет равна нулю и результирующее движение тела является движением вокруг неподвижной точки О.

Тогда тело имеет в данный момент времени угловую скорость ш, направленную по мгновенной оси вращения, проходящей через точку О (см. § 60).

174

Чтобы определить значение со, найдем скорость какой-нибудь

должны выполняться при любом г, что возможно лишь тогда, когда

(0= 0)1 + (Oj. (103)

Следовательно, при сложении вращений вокруг двух осей, пересекающихся в точке О, результирующее движение тела будет мгновенным вращением вокруг оси Ос, проходящей через точку О, и угловая скорость этого вращения будет равна геометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей. Мгновенная

ось Ос направлена вдоль вектора о», т\ е. по диагонали параллело­

грамма, построенного на векторах со* и со,.

С течением времени ось Ос меняет свое положение, описывая коническую поверхность, вершина которой находится в точке О.

Если тело участвует в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в точке О, то, последовательно применяя формулу (103), найдем, что результирующее движение будет мгно­ венным вращением вокруг оси, проходящей через точку О, с угло­ вой скоростью

(104)

Задача 85. Определить абсолютную угловую скорость ю конического катка (см. задачу 72 в § 62), если радиус АС катка R, расстояние ОА— 1 и скорость од точки А известны (рис. 206).

Р е ш е н и е . Абсолютное движение катка является результатом его относи­ тельного вращения вокруг оси ОА с угловой скоростью щ и переносного вращения кривошипа ОА вокруг оси ОВ с угловой скоростью оГ2; при этом численно ша=

175