Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

венно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела явля­ ется физическая величина, называемая массой тела *, В класси­ ческой механике масса т рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем слу­ чае от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц, т. е. от распределения масс в теле.

Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета формы тела (распределения масс), вводят абстрактное поня­ тие' о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки.

Из кинематики известно, что движение тела слагается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении кон­ кретных задач материальное тело можно рассматривать как мате­ риальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. Например, материальной точкой можно считать планету при изу­ чении ее движения вокруг Солнца или артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т. п. Соответственно поступа­ тельно движущееся тело можно» всегда рассматривать как мате­ риальную точку с массой, равной массе всего тела. Справедливость этих утверждений будет обоснована в § 107.

Изучать динамику мы начнем с динамики материальной точки, так как естественно, что изучение движения одной точки должно предшествовать изучению движения системы точек и, в частности, твердого тела.

§ 74. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ. ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобще­ ния результатов целого ряда опытов и наблюдений, посвященных изучению движения тел, и проверенные обширной общественно­ производственной практикой человечества. Систематически законы динамики были впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», издан­ ном в 1687 г.**. Сформулировать эти законы можно следующим образом.

П е р в ы й З а к о н (закон инерции): изолированная от внеш­ них воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движе­ ние, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением

по инерции.

*Масса является еще мерой гравитационных свойств тела (си. §76).

••Есть прекрасный русский перевод, сделанный А. Н. Крыловым. См.: Соб­

рание трудов акад. А. Н. Крылова, т. VII. М.— Л ., 1936.

>81

Закон инерции отражает одно из основных свойств материи — пребывать неизменно в движении. Важно отметить, что развитие динамики как науки стало возможным лишь после того, как Гали­ леем был открыт этот закон (1638 г.) и тем самым опровергнута господствовавшая со времен Аристотеля точка зрения о том, что движение тела может происходить только под действием силы.

Существенным является вопрос о том, по отношению к какой сис­ теме отсчета справедлив закон инерции. Ньютон предполагал, что существует некое неподвижное (абсолютное) пространство, по от­ ношению к которому этот закон выполняется. Но по современным воззрениям пространство — это форма существования материи, и какого-то абсолютного пространства, свойства которого не зависят от движущейся в нем материи, не существует. Между тем, поскольку закон имеет опытное происхождение (еще Галилей указал, что к этому закону можно прийти, рассматривая движение шарика по наклонной плоскости со все убывающим углом наклона), должны Существовать системы отсчета, в которых с той или иной степенью приближения данный закон будет выполняться. В связи с ^тим в механике, переходя, как обычно, к научной абстракции, вводят понятие о системе отсчета, в которой справедлив закон инерции, постулируют ее существование и называют инерциальной системой отсчета.

Можно ли данную реальную систему отсчета при решении тех или иных задач механики рассматривать как инициальную, устанав­ ливается путем проверки того, в какой мере результаты, полученные в предположении, что эта система является инерциальной, подтверж­ даются опытом. По данным опыта для нашейСолнечной системы инер­ циальной с высокой степенью точности можно считать систему отсчета, начало которой находится в центре Солнца, а оси направ­ лены на так называемые неподвижные звезды. При решении боль­ шинства технических задач инерциальной, с достаточной для прак­ тики точностью, можно считать систему отсчета, жестко связанную с Землей. Справедливость этого утверждения будет обоснована в §92.

В т о р о й з а к о н (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускоре­ ние, которое она'получает под действием данной сит, равно по мо­ дулю этой сим, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависи­ мость

Второй закон динамики, как и первый, имеет место только по отношению к инерциальной системе отсчета. Из этого закона непо­ средственно видно, что мерой инертности материальной точки явля-

Г82

ется ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот.

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они, как это следует из закона параллелограмма сил, будут эквивалентны

одной силе, т. е. равнодействующей R, равной геометрической сум­ ме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

ma = R или — (2)

Этот же результат можно получить, используя вместо закона параллелограмма закон независимости действия сил, согласно кото­ рому при одновременном действии на точку нескольких сил каждая из них сообщает точке такое же ускорение, какое она сообщила бы, действуя одна.

Т р е т и й з а к о н (закон равенства действия и противодейст­ вия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит:

две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Этим законом мы уже пользовались в статике. Он играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливаю­ щий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

При взаимодействии двух свободных материальных точек, они, согласно третьему и второму законам динамики, будут двигаться с

задачами динамики являются следующие: 1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача дина­ мики)-, 2) зная действующие на точку силы, определить закон дви­ жения точки (вторая, или основная, задача динамики).

Для несвободной материальной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по заданной поверх­ ности или кривой, первая задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее активные силы, определить реакцию связи. Вторая (основная) задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку активные силы, определить: а) закон движения точки, б) реакцию наложенной связи.

%75. СИСТЕМЫ ЕДИНИЦ

Для измерения всех механических величин оказывается доста­ точным ввести независимые друг от друга единицы измерения каких-нибудь трех величин. Двумя из них принято считать едини­ цы длины и времени. В качестве третьей оказывается наиболее удобным выбрать единицу измерения или массы, или силы. Так как

183

эти величины связаны равенством (1), то произвольно единицу изме­ рения каждой из них выбрать нельзя. Отсюда вытекает возмож­ ность введения в механике двух принципиально отличных друг от

основные принимаются единицы длины, времени и массы, а сила измеряется производной единицей.

К таким системам относится Международная система единиц измерения физических величин (СИ), в которой основными едини­ цами измерения механических величин являются метр (м), килограмм массы (кг) и секунда (с). Единицей же измерения силы является производная единица — 1 ньютон (Н); 1 Н — это сила, сообщаю­ щая массе в 1 кг ускорение 1 м/с* (1Н=1 кг •м/с*). О том, что собой представляют 1 м, 1 кг и 1 с, известно из курса физики. Между­ народная система единиц (СИ) введена в СССР как предпочтитель­

основные принимаются единицы длины, времени и силы, а масса измеряется производной единицей.

К таким системам относится имевшая большое распространение в технике система МКГСС, в которой основными единицами являются метр (м), килограмм силы (кГ) и секунда (с).,Единицей измерения массы в этой системе будет 1 кГ -с’/м, т. е. мйсса, которой сила в 1 кГ сообщает ускорение 1 м/с*.

Соотношение между единицами силы в системах СИ и МКГСС таково; 1 кГ=9,81 Н или 1 Н =0,102 кГ.

В заключение отметим, что необходимо различать понятия раз­ мерность величины и единица ее измерения. Размерность определя­ ется только видом уравнения, выражающего значение данной вели­ чины, а единица измерения зависит еще от выбора основных единиц. Например, если, как это принято, обозначать размерность длины, времени и массы соответственно символами L, Т и М, то размер­ ность скорости LIT, а единицей измерения может быть 1 м/с, 1 км/ч и т. д.

$ 76. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ СИЛ

При решении задач динамики мы будем в основном рассматри­ вать следующие постоянные или переменные силы (законы измене­ ния переменных сил, как правило, устанавливаются опытным пу­ тем).

С и л а т я ж е с т и . Это постоянная сила Р, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности (подробнее см. §92). Модуль силы тяжести равен весу тела.

Опытом установлено, что под действием силы Р любое тело при свободном падении на Землю (с небольшой высоты и в безвоздушном

пространстве) имеет одно и то же ускорение g, называемое ускоре-

184

наем свободного падения, а иногда ускорением силы тяжести *

Тогда из уравнения (Г) следует, что

Эти равенства позволяют, зная массу тела, определить его вес (модуль действующей на него силы тяжести) или, зная вес тела, опре­ делить его массу. Вес тела или сила тяжести, как и величина g, изменяются с изменением широты и высоты над уровнем моря; масса же является для данного тела величиной неизменной.

С и л а т р е н и я . Так будем кратко называть силу трения скольжения, действующую (при отсутствии жидкой смазки) на движущееся тело. Ее модуль определяется равенством (см. § 23)

N — нормальная реакция.

С и л а т я г о т е н и я . Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу по закону всемирного тяготения, открытому Ньютоном. Сила тяготения зависит от расстояния и для

С и л а у п р у г о с т и . Эта сила тоже зависит от расстояния. Ее значение можно определить исходя из закона Гука, согласно которому напряжение (сила, отнесенная к единице площади) пропорционально деформации. В частности, для силы упругости пружины получается значение

скорости, действует на тело при его медленном движении в очень вязкой среде (или при наличии жидкой смазки) и может быть вы­ ражена равенством

где v — скорость тела; ц — коэффициент сопротивления. Зависи­ мость вида (7) можно получить исходя из закона вязкого трения, отк­ рытого Ньютоном.

* Закон свободного падения тел был открыт Галилеем. Значение g в разных местах земной поверхности различно; оно зависит от географической широты мес­

та н высоты его над уровнем моря. На широте Москвы (на уроян* моря) g— =9,8156 м/с*.

185