Мгновенная ось вращения, а следовательно, и вектор абсолютной угловой ско
рости направлены по линии ОС, ^ак как скорость точки С равна нулю (см. задачу 72). Строя соответствующий параллелограмм, находим, что (»=<*>,/sin а.
Tax как sin a = /? /y r P+R*, то окончательно ш= (VA/R) Y 1+ R 4P -
Другим путем этот результат можно получить (учитывая, что ОС — мгновен ная ось вращения) из равенства vA—<nfi, где h= l sin a.
Движение катка представляет собой серию элементарных поворотов с угло вой скоростью ш вокруг оси ОС, которая непрерывно меняет свое положение,
описывает |
круглый конус с вершиной в |
|||||
точке 0 . |
С л о ж е н и е у з л о в ы х у с |
|||||
2. |
||||||
к о р е н и й . |
Рассмотрим случай, когда |
|||||
вращение тела вокруг |
двух |
пересекаю |
||||
щихся осей |
происходит с угловыми |
ус |
||||
корениями: |
|
ех— относительным |
и |
е,— |
||
переносным. Найдем, |
каким |
будет тогда |
||||
абсолютное угловое ускорение е |
тела. Из |
|||||
-равенства (103) получим
е= dw/dt = da>i/dt -f <ki>*/iIt,
Рис. 206 |
перенос |
где <»!— относительная, a a), — |
|
ная угловые скорости. |
|
Рассуждая так же, как в § 66, и сохраняя ту же символику, представим пре |
|
дыдущий результат в виде |
|
7= (< to 1)l/d<+ (d51),/d/+ ((to 1)1/d f+ (dma),/d/. |
(105) |
Здесь (d<o1)1/d/= e1, а (d<Oj),/d/=e2. Значение (dco1)2/d/ определяется так же, как значение (dv0T)tIdt в § 66 и дается формулой (92) с заменой в ней v0T наШц а ш
на Ш]. Следовательно, (do>1)1/d/=U gX (^. Наконец, так как ша при относительном движении (на рис. 205 при вращении тела вокруг оси ага) не изменяется, то
(d<oJ)1/d/= 0 . В результате равенство (105) дает окончательно
8 — |
8|-f,(asXWi). |
(Ю®) |
Формула (106) и определяет в случае сложения вращений вокруг пересека ющихся осей абсолютное угловое ускорение тела.
f 72. СЛОЖЕНИЕ ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЙ. ВИНТОВОЕ ДВИЖЕНИЕ
Рассмотрим сложное движение твердого тела, слагающееся из поступательного и вращательного движений. Соответствующий пример показан на рис. 207. Здесь относительным движением тела
1 является вращение с угловой скоростью со вокруг оси Аа, укреп ленной на платформе 2, а переносным— поступательное движение
платформы со скоростью v. Одновременно в двух таких движениях участвует и колесо 3, для которого относительным движением яв ляется вращение вокруг его оси, а переносным — движение той же
платформы. В зависимости от значения угла а между векторами ы и v (для колеса этот угол равен 90°) здесь возможны три случая.
176
1, |
С к о р о с т ь |
п о с т у п а т е л ь н о г о д в и ж е н и я |
п е р п е н д и к у л я р н а |
о с и в р а щ е н и я (i»_L<o). Пусть |
|
сложное движение тела слагается_из вращательного движения во круг оси Аа с угловой скоростью <о и поступательного движения со скоростью v, перпендикулярной ш (рис. 208). Легко видеть, что это
движение представляет собой (по отношению к плоскости П, пер пендикулярной оси Аа) плоскопараллельное движение, подробно изученное в гл. XI. Если считать точку А полюсом, то рассматри ваемое движение, как и всякое плоскопараллельное, будет дейст
вительно слагаться из поступательного со скоростью vA=v , |
т. е. со |
||||
скоростью |
полюса, и из вращательного вокруг |
оси Аа, проходя |
|||
щей через |
полюс. |
|
|
_ |
__ |
Вектор v можно заменить парой угловых |
скоростей |
о>', |
ш' |
||
(см. § 69), |
беря о)'=(о, |
а со'= —со. При этом расстояние АР опре |
|||
делится из равенства |
t»=<o' -АР, откуда (учитывая, что |
ю '=«) |
|||
|
|
AP=v/a>. |
|
(107) |
|
Векторы со и а* дают при сложении нуль, и мы получаем, что движение тела в этом случае можно рассматривать как мгновенное
вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью со'=со. Этот результат был раньше получен другим путем (см. § 56). Сравнивая равенства (56) и (107), ввдим, что точка Р для сечения 5 тела является мгно венным центром скоростей (ир=0). Здесь еще раз убеждаемся, что поворот тела вокруг осей Аа и Рр происходит с одной и той же угло
вой скоростью «а, т. е. что вращательная часть движения не зависит
от выбора полюса (см. § 52). |
___ |
, |
|
2. |
В и н т о в о е д в и ж е н и е (to||t>). Если сложное движение |
||
тела слагается из вращательного вокруг оси Аа с угловой скоро стью <о и поступательного со скоростью v, направленной параллель но оси Аа (рис. 209), то такое движение тела называется винтовым. Ось Аа называют осью винта. Когда векторы н и ш направлены в
177
12-1870
одну сторону, то при принятом нами правиле изображения со винт будет правым-, если в разные стороны,^ левым.
Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, называется шагом h винта. Если величи ны v и со постоянны, то шаг винта также будет постоянным. Обо: значая время одного оборота через Т, получаем в этом случае vT=h и соГ=2я, откуда Л=2яи/со.
а
А
1>ис. 209 |
Рис. 210 |
При постоянном шаге любая точка М тела, не лежащая на оси винта, описывает винтовую линию. Скорость точки М, находящей ся от оси винта на расстоянии г, слагается из поступательной ско
рости и и перпендикулярной ей скорости, получаемой во враща тельном движении, которая численно равна ©г. Следовательно,
vM = V tfi + <otri.
Направлена скорость- vM по касательной к винтовой линии. Если цилиндрическую поверхность, по которой движется точка М , разрезать вдоль образующей и развернуть, то винтовые линии обратятся в прямые, наклоненные к основанию цилиндра под углом a (tga=A/2nr).
3. С к о р о с т ь п о с т у п а т е л ь н о г о д в и ж е н и я о б р а з у е т п р о и з в о л ь н ы й у г о л с о с ь ю в р а щ е
н и я . Сложное движение, |
совершаемое телом в этом |
случае |
(рис. 210, а), представляет |
собой движение, рассмотренное в § 63 |
|
(общий случай движения свободного твердого тела). |
|
|
Разложим вектор v (рис. 210, б) на составляющие: |
направ |
|
ленную вдоль со (a'=acosa), и к", перпендикулярную со (t/"=t/sina). Скорость Vя можно заменить парой угловых скоростей со'=со и со'=
= —со (как на рис. 208), после чего векторы со и со* можно отбросить. Расстояние АС найдем по формуле (107):
ЛС=»7со= (»sina)/co.
178
Тогда у тела остается вращение с угловой скоростью а>' и посту
пательное движение со скоростью v'. Следовательно, распределение скоростей точек тела в данный момент времени будет таким же, как при винтовом движении вокруг оси Сс с угловой скоростью о>'=со и поступательной скоростью v'—v cos а.
Проделанными операциями (рис. 210, б) мы перешли от полюса А к полюсу С. Результат подтверждает (см. § 63), что в общем случае движения твердого тела угловая скорость при перемене полюса не
изменяется (ш,=о>), а меняется только поступательная скорость
{о'фь).
Так как при движении свободного твердого тела величины
v, со, а будут вообще все время изменяться, то будет непрерывно меняться и положение оси Сс, которую поэтому называют мгновенной винтовой осью. Таким образом, движение свободного твердого тела можно еще рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей.
Раздел третий
ДИНАМИКА ТОЧКИ
Глава XV
ВВЕДЕНИЕ В ДИНАМИКУ. ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ
1 73. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.
Движение тел с чисто геометрической точки зрения рассматри валось в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.
Понятие о силе, как об основной мере механического действия, оказываемого на материальное тело, было введено в статике. Но в статике мы не касались вопроса о возможных изменениях действую щих сил с течением времени, а при решении задач считали все силы постоянными. Между тем на движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых -при движении тела изменяются. При этом переменными могут быть и заданные (активные) силы *, и реакции связей.
Как показывает опыт, переменные силы могут определенным об разом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В ча стности, от времени зависит Сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колеба
ния |
фундамента при |
работе мотора с плохо центрированным |
з а |
лом; |
от положения |
тела зависит ньютонова сила тяготения |
или |
сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды (подробнее см. § 76). В заключение отметим, что все введен ные в статике понятия и полученные там результаты относятся в равной мере и к переменным силам, так как условие постоянства сил нигде в статике не использовалось.
Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начи нает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгно-
• Активной обычно называют силу, которая, начав действовать на покояще ся тело, может привести его в движение.
180