Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

скорости и действует на тело, движущееся в такой, например, среде, как воздух или вода. Обычно ее величину выражают равенством

где р — плотность среды; 5 — площадь проекции тела на плоскость,

обычно экспериментально и зависящий от формы тела и от того, как оно ориентировано при движении.

И н е р т н а я и г р а в и т а ц и о н н а я м а с с ы . Для экспе­ риментального определения массы данного тела можно исходить из закона (1), куда масса входит как мера инертности и называется поэтому инертной массой. Но можно исходить и из закона (5), куда масса входит как мера гравитационных свойств тела и называется соответственно гравитационной (или тяжелой) массой. В принципе ни откуда не следует, что инертная и гравитационная массы пред­ ставляют собой одну и ту же величину. Однако целым рядом экспе­ риментов установлено, что значения обеих масс совпадают с очень высокой степенью точности (по опытам, проделанным советскими физиками (1971 г.),— с точностью до 10~12). Этот экспериментально установленный факт называют принципом эквивалентности." Эйнш­ тейн * положил его в основу своей общей теории относительности (теории тяготения).

Исходя из изложенного, в механике пользуются единым терми­ ном «масса», определяя массу как меру инертности тела и его гра­ витационных свойств.

Глава XVI

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ ТОЧКИ

§ 77. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Для решения задач динамики точки будем пользоваться одной из следующих двух систем уравнений.

У р а в н е н и я в д е к а р т о в ы х к о о р д и н а т а х . Из кинематики известно, что движение точки в прямоугольных декар­

Задачи динамики точки состоят в том, чтобы, зная движение точки, т. е. уравнения (9), определить действующую на точку силу

• Альберт Эйнштейн (1879— 1955) — выдающийся ученый-физик, создате

специальной теории относительности (релятивистская механика) и общей теории относительности.

186

или, наоборот, зная действующие на точку силы, определить закон ее движения, т. е. уравнения (9). Следовательно, для решения задач динамики точки надо иметь уравнения, связывающие координаты х, у, г этой точки и действующую на нее силу (или силы). Эти урав­ нения и дает второй закон динамики.

Рассмотрим материальную точку, движущуюся под действием сил Ft, Ft,. . ., Fn по отношению к инерциальной системе отсчетаОхуг. Проектируя обе части равенства (2), т. е. равенства ma=1>Fh, на оси х, у, г и учитывая, что ах=д?х1№ и т. д., получим:

или, обозначая вторые производные по времени двумя точками,

Это и будут искомые уравнения, т. е. дифференциальные уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.Так как действующие силы могут зависеть от времени t, от положения

точки, т. е. от ее координат х, у, г, и от скорости, т. е. от vx=x, V[,—у, vz=z, то в общем случае правая часть каждого из уравнений (10) может быть функцией всех этих переменных, т. е. t, х, у, г, х,

спроектируем обе части равенства та= 2 F h на оси МхпЬ, т. е. на ка­ сательную Мх к траектории точки, главную нормаль Мп, направ­ ленную в сторону вогнутости траектории, и бинормаль Mb (см. в

Уравнения (11), где v=ds/d/, представляют собой дифференциа­ льные уравнения движения точки в проекциях на оси естественного трехгранника.

§78. РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ СИЛ ПО ЗАДАННОМУ ДВИЖЕНИЮ)

Если ускорение движущейся точки задано, то действующая сила или реакция связи сразу находится по уравнениям (1) или (2). При этом для вычисления реакции надо дополнительно знать активные силы. Когда ускорение непосредственно не задано, но известен закон движения точки, то для определения силы можно воспользоваться уравнениями (10) или (11).

187

Задача 86. Воздушный шар весом /" опускается с ускорением а. Какой груз Q (балласт) надо сбросить, чтобы шар стал подниматься с таким же ускорением.

Ре ш е н и е . На падающий шар действуют сила тяжести Р и подъемная сила

Т(рис. 211, а). Составляя уравнение (2) в проекции на вертикаль, найдем, что

(Pig) а=Р—F.

Когда будет сброшен балласт (рис. 211, б), вес шара станет равен P—Q, а подъемная сила останется той же. Тогда, учитывая что шар при этом движется вверх, -получим

СP-Q )a/g=F -(P -Q ).

Исключая из этих уравнений неизвестную силу F, найдем

Q = 2P/(l+g/a).

Задача 87. Лифт весом Р (рис. 212) начинает подниматься с ускорением а. Определить натяжение троса.

t S

Р е ш е н и е . На лифт действуют,сила тяжести Р и реакция троса Т. Сос­ тавляя уравнение (2) в проекции на вертикаль, получим (P/g)a=T—P, откуда

T=P{l+a/g).

Если лифт опускается с таким же ускорением, то натяжение троса будет рав­ но f 1= P ( l —а/в).

Задача 88. Радиус закругления в точке А моста равен R (рис. 213). Найти, какое давление на мост в точке А окажет автомобиль масс!* т, движущийся со скоростью V.

Р е ш е н и е . В точке А автомобиль имеет нормальное ускорение a„=i?/R.

При этом на него действуют сила тяжести P=mg и реакция N. Тогда по уравне­ нию (2), составленному в проекции на нормаль, или непосредственно по второму

188

из уравнений (И) будет

rm?/R=mg—N, откуда N=m{g—»*//?).

Сила давления иа мост равна по модулю N, но направлена вниз.

Задача 89. Кривошип ОА длины I, вращаясь равномерно с угловой скоро­ стью со, перемещает кулису К, движущуюся поступательно вдоль направляющих 1, 1 (рис. 214). Найти, пренебрегая трением, чему при этом равна сила давления Q ползуна А на кулису, если вес кулисы Р.

Р е ш е н и е . Проведем координатную ось Ох. Тогда положение кулисы опре­

делится координатной x= l cos ф и, поскольку <р=о>t, закон движения кулисы бу­ дет x= l cos и>1. Зная этот закон, воспользуемся первым из уравнений (10'). Вы­

числяя производную от х, получим

х — —шЧ cos = —ш*х. Кроме того, <?х= —Q. В результате находим

—(P/g)aPx=—Q и Q=(P/g)<o*x.

СледовательНо, сила давления ползуна на кулису изменяется пропорционально расстоянию х кулисы от оси О.

§79. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПРИ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ

Движение материальной точки будет прямолинейным, когда действующая на нее сила (или равнодействующая приложенных сил) имеет постоянное направление, а скорость точки в начальный момент времени равна нулю или направлена вдоль силы.

Если при прямолинейном движении направить вдоль траектории координатную ось Ох, то движение точки будет определяться пер­ вым из уравнений (10),'т. е. уравнением

Уравнение (12) называют дифференциальным уравнением прямоли­ нейного движения точки. Иногда его удобнее заменить двумя урав­ нениями, содержащими первые производные:

= = <13>

В случаях, когда при решении задачи надо искать зависимость скорости от координаты х, а не от времени t (или когда сами силы

Решение основной задачи динамики сводится к тому, чтобы из данных уравнений, зная силы, найти закон движения точки, т. е. x= f(t). Для этого надо проинтегрировать соответствующее диффе­ ренциальное уравнение. Чтобы яснее было, к чему сводится эта математическая задача, напомним, <гго входящие в правую часть уравнения (12) силы могут зависеть от времени t, от положения

189

точки, т. е. от х, и от ее скорости, т. е. от vx—x. Следовательно, в общем случае уравнение (12) с математической точки зрения пред­ ставляет собой дифференциальное уравнение 2-го порядка, имеющее вид mx—F(t, х, i).

Если для данной конкретной задачи дифференциальное уравнение (12) будет проинтегрировано,.то в полученное решение войдут две постоянные интегрирования Ci и С %и общее решение уравнения

Чтобы довести решение каждой конкретной задачи до конца, надо определить значения постоянных С± и С*. Для этого использу­ ются обычно так называемые начальные условия.

Изучение всякого движения будем начинать с некоторого опреде­ ленного момента времени, называемого начальным моментом. Ов этого момента будем отсчитывать время движения, считая, что в начальный момент t= 0. Обычно за начальный принимают момент начала движения под действием заданных сил. Положение, которое точка занимает в начальный момент, называется начальным положе­ нием, а ее скорость в этот момент — начальной скоростью (началь­ ную скорость точка может иметь или потому, что до момента /= 0 она двигалась по инерции, или в результате действия на нее до момента <=0 каких-то других сил).Чтобы решить основную задачу динамики, надо кроме действующих сил знать еще начальные услот вия, т. е. положение и скорость точки в начальный момент времени *.

По начальным условиям можно определить конкретные значения постоянных Сх и С, и найти частное решение уравнения (12), даю­ щее закон движения точки, в виде

Поясним все сказанное на примере следующей простейшей за­ дачи.

Задача 90. Материальная точка с массой т движется под действием постоян­

ной по модулю и направлению силы Q (рис. 215). Найти закон движения точки при начальных условиях (16).

Р е ш е н и е . Составляя дифференциальное уравнение движения в виде (13)

иучитывая, что QX=Q, получим

*Могут встречаться задачи, в которых для определения постоянных и тегрирования вместо начальных задаются так называемые краевыеусловия, напри­

мер могут быть заданы условия на «краях» интервала времени [/0, fjl в виде: при

t= tо д:= * 01 а ПРИ t=*tt x~Xf. Пример, показывающий, какие особенности могут иметь решения таких задач, называемых краевыми задачами, будет рассмотрен в §94.

190