=6378 км — радиус земного экватора, a g0= 9,82 м/с*)
V» = У g,R» — 7914 м /с » 7,9 км/с. |
(28) |
Эта наименьшая скорость, которую нужно сообщить брошенному телу, чтобы оно не упало обратно на Землю, называется круговой
или первой космической скоростью (см. § 97, 98).
Глава XVII
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ ТОЧКИ
Для решения многих задач динамики, особенно в динамике сис темы, вместо непосредственного интегрирования дифференциаль ных уравнений движения оказывается более эффективным пользо ваться так называемыми общими теоремами, являющимися следст виями основного закона динамики.
Значение общих теорем состоит в том, что они устанавливают наглядные зависимости, между соответствующими динамическими характеристиками движения материальных тел и открывают тем самым новые возможности исследования движения механических систем, широко применяемые в инженерной практике. Кроме того, применение общих-теорем избавляет от необходимости проделывать для каждой задачи те операции интегрирования, которые раз и на всегда производятся при выводе этих теорем; тем самым упрощается процесс решения.
Перейдем к рассмотрению общих теорем динамики точки.
f 83. КОЛИЧЕСТВО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ. ИМПУЛЬС ГИЛЫ
Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения *.
Количеством движения материальной точки называется вектор ная величина mv, равная произведению массы точки на ее скорость.
Направлен вектор mv так же, как и скорость |
точки, т. е. по ка |
||
сательной к |
ее |
траектории. |
является в СИ — |
Единицей |
измерения количества движения |
||
1 кг*м/с=1 |
Н-с, а в системе МКГСС—1 кГ *с. |
|
|
И м л у л ь с |
с и л ы . Для характеристики действия, оказывае |
||
мого на тело силой за некоторый промежуток |
времени, вводится |
||
понятие об импульсе силы. Сначала введем понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времени dt. Элементарным импульсом силы называется векторная величина
dS, равная произведению силы F на элементарный промежуток вре-
* Другая основная динамическая характеристика — кинетическая энер гия — будет рассмотрена в § 89.
201
мени И:
dS = Fdf. |
(29) |
Направлен элементарный_импульс вдоль линии действия силы.
Импульс S любой силы F за конечный промежуток времени U вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих
элементраных импульсов, т. е.
и _
S = $ F d / . |
(30) |
о |
|
Следовательно, импульс силы за некоторый промежуток времени ti равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до
В частном^случае, если сила F постоянна и по модулю, и по на правлению (F=const), то S==Fti. Причем в этом случае и модуль S = F tj. В общем случае модуль импульса может быть вычислен по его проекциям на координатные оси:
и |
и |
и |
|
Sx ~ \F ,& t, |
S„==$FBd/, |
S ,= $Ff d/. |
(31) |
ОО О
Единицей измерения импульса силы, как и количества движения, является в СИ — 1 кг «м/с, а в системе МКГСС — 1 кГ -с.
§ 84. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ
Так как масса точки постоянна, а ее ускорение a —dv/dt, то уравнение (2), выражающее основной закон динамики, можно представить в виде
(32)
Уравнение (32) выражает одновременно теорему об изменении количества движения точки в дифференциальной форме: производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих
на |
точку сил *. |
_ |
Пусть движущаяся точка_имеет в момент времени t —0 скорость |
vt , а в момент tx — скорость vt . Умножим тогда обе части равенства (32) йа d/ и возьмем от них определенные интегралы. При этом спра ва, где интегрирование идет по времени, пределами интеграла будут
Он |
а слева, где интегрируется скорость, |
пределами интеграла |
будут соответствующие значения скорости и0 и |
Так как интеграл |
|
* По существу это другая формулировка 2-го закона динамики, близкая той, которую дал сам Ньютон.
202
от d(mu) равен mv, то в результате получим
mvj — mv0= 2 J Fk dt.
о
Стоящие справа интегралы, как следует из формулы (30), пред ставляют собой импульсы действующих сил. Поэтому окончатель но будет
|
mu,—mvt = ESk. |
(33) |
Уравнение (33) |
выражает т е о р е м у |
о б и з м е н е н и и |
к о л и ч е с т в а |
д в и ж е н и я т о ч к и |
в конечном виде: |
изменение количества движения точки за некоторый промежуток вре мени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.
При решении задач вместо векторного уравнения (33) часто поль зуются уравнениями в проекциях. Проектируя обе части равенства (33) на координатные оси, получим
(34)
В случае прямолинейного движения, происходящего вдоль оси Ох, теорема выражается первым из этих уравнений.
Р е ш е н и е з а д а ч . -Уравнения (33) или (34) позволяют, зная как при движении точки изменяется ее скорость, определить импульс действующих сил (первая задача динамики) или, зная им пульсы действующих сил, определить, как изменяется при движении скорость точки (вторая задача динамики). При решении второй за дачи, когда заданы силы, надо вычислить их импульсы, Как видно из равенств (30) или (31), это можно сделать лишь тогда, когда силы постоянны или зависят только от времени.
Таким образом, уравнения (33), (34) можно непосредственно использовать для решения второй задачи динамики, когда в задаче в число данных и искомых величин входят: действующие силы, время движения точки и ее начальная и конечная скорости (т. е. величины t, v0, и,), причем силы должны быть постоянными или зависящи
ми только от времени.
Задача 95. Точка, масса которой т = 2 кг, движется по окружности с численно постоянной скоростью v=4 м/с. Определить импульс действующей на точку силы ва время, в течение которого точка проходит четверть окружности. _ _ _
Р е ш е н и е . По теореме об изменении количества движения S=mv1—mt»0- Строя геометрически разность этих количеств движения (рис, 222), находим из полученного прямоугольного треугольника
S = m V oj+ pj.
Но по условиям задачи t»e= ti1=ti; следовательно,
5 = mv У~2— 11,3 кг-м/с.
203
Для аналитического подсчета можно, используя первые два из уравнений (34), найти
Sx = mv0, Sv = — mvi, откуда S = m ] f vl + v\.
Задача Вв. Грузу, имеющему массу т и лежащему на горизонтальной плоско сти, сообщают (толчком) начальную скорость v0. Последующее движение груза тор мозится постоянной силой F. Определить, через сколько времени груз остановится,
О -«—С >
У Жш /тЖжУЖ Ж Л х |
|
м> |
$ м) |
|
Рис. 223 |
Р е ш е и и е. По данным задачи видно, что для определения времени движения можно воспользоваться доказанной теоремой. Изображаем груз в произвольном
положении (рис.*223). На него действуют: сила тяжести Р, реакция плоскости N
и тормозящая |
сила 7. Направляя ось Ох в сторону движения, составляем первое |
|
из уравнений |
(34) |
|
|
mvlx— mvtx = 2 S kx. |
(а) |
В данном случае ulx=0 (tiL— скорость в момент остановки), а 0^ = 0,. Из сил
проекцию на ось Ох дает только сила F. Так как она постоянна, то Sx=Fxti= - - —Ftt, где — время торможения. Подставляя все эти данные в уравнение (а), получаем —mv9= —Ft1, откуда искомое время
t^—mvJF. (б)
Таким образом, время торможения растет пропорционально начальной схорости.
Решим эту же задачу, считая, что тормозящая сила равна Q и не постоянна, а с момента начала торможения растет пропорционально времени, т. е. Q=kt, где к — некоторый постоянный коэффициент, и становится равной F в момент оста новки груза. Так как сила зависит от времени, то опять можно воспользоваться уравнением (а), определяя Sx по первой из формул (31). Учтя, что Q*=—Q=
——kt, получим
и
Sx = T~^kt d<= — kt{/2.
О
Тогда уравнение (а) дает mwe=A/'/2. Значение к найдем из условия, что при t= t1 Q=F, т. е. ktx=F, откуда k=F!ix и окончательно будет
t1=2mv0/F. |
(в) |
Следовательно, в этом случае время торможения удваивается, |
|
в 86. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА |
|
КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ (ТЕОРЕМА МОМЕНТОВ) |
|
В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движения точки вместо самого вектора количества движения nw рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.
204
Эти моменты определяются так же, как и моменты силы (см. § 8, 14 и 28).
Таким образом, моментом количества движения точки относи тельно некоторого центра О называется векторная величина то (mv),
определяемая равенством |
|
т0 (mv) = r x mv, |
(35) |
где г — радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О. При этом вектор m0(mv) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через mv и центр О, a \mQ(mv)\—mv-h (рис. 224; для
сравнения на нем показан и вектор m0 (F)—rXF).
Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Ог, проходящей через центр О, будет равен проекции вектора m0(mv) на эту ось:
т, (mv) = [т0 (mv)]z = | т0 (mv) | cos у, |
(36) |
где f — угол между вектором т0 (mv) и осью Ог.
Теорема моментов устанавливает, как изменяется со временем вектор m0(mv). Чтобы доказать ее, продифференцируем по времени
выражение (35). |
Получим |
|
|
|
|
|
(г х mv) - |
( j p х т й ) + ( г х т ^ |
) = (vx mv) + (7х та). |
||
Но vX m v= 0 |
как векторное произведение двух параллельных |
||||
векторов, а т а= ¥, где при действии нескольких сил |
F='LFk. |
||||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
jjr(7xm vj = 7 x f |
или j f [ m 0 (mv)] = m 0 (F). |
(37) |
||
В |
результате мы доказали следующую т е о р е м у |
м о м е н |
|||
т о в |
о т н о с и т е л ь н о |
ц е н т р а : |
производная по времени от |
||
момента количества движения точки, взятого относительно какогонибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. _
Сравнивая уравнения (37) и (32), видим, что моменты векторов mv
иF связаны такой же зависимостью, какой связаны сами векторы mv
иF.
Если спроектировать обе части равенства (37) на какую-нибудь ось Ог, проходящую через центр О, то, учтя соотношение (36), полу чим
*37 [т* {mv)] — тг (F). |
(38) |
Эго равенство выражает теорему моментов относительно оси.
Из уравнения (37) следует, что если m0 (F)=Q, то m0(mu)=const,
205