f 81*. ПАДЕНИЕ ТЕЛА В СОПРОТИВЛЯЮЩЕЙСЯ СРЕДЕ (В ВОЗДУХЕ)
Рассмотрим задачу о падении тела в воздухе с малой по сравнению с радиусом
Земли высоты. Тогда действующую на тело силу тяжести Р и плотность воздуха р можно считать величинами постоянными. Полагая одновременно, что при падении тело движется поступательно, будем его рассматривать как материальную точку. Действующую на тело силу сопротивления воздуха определяем по формуле (8) из § 76; ее модуль
fl=0.5c*pSu>, |
(18) |
где полагаем сх= const * (величины р и S тоже постоянны).
Направив координатную ось Ох вертикально вниз (рис. 219), найдем, как бу дет изменяться скорость падения в зависимости от пройденного пути х, считая, что движение начинается из точки О и ч0= 0 .
На падающее тело действуют силы Р и R; тогда
lF kx= P - R = P-0,5c*pSi»*.
Чтобы сразу получить зависимость v от х, составим дифференциальное урав нение движения в виде (14). Учитывая, что »*=», получим
|
|
|
|
Р |
do |
_ |
1 |
_ , |
|
|
|
|
~ |
v Al= p — 2 c*PSv*- |
|||
|
|
|
|
g |
dx |
|
|
|
|
|
Если |
ввести обозначение |
|
|
|||
|
|
|
|
|
2P/cJfiS=dt, |
(19) |
||
|
то предыдущее уравнение примет вид |
|||||||
|
|
|
|
|
dv |
( |
|
и* S |
|
|
|
|
|
t’a r =n , “ |
J |
||
|
или |
после разделения переменных |
||||||
|
|
|
|
|
v&v |
|
|
g |
|
|
|
|
|
a*— v* |
|
а* |
|
|
Беря от обеих частей равенства интегралы, находим |
|||||||
|
|
|
In (a1—ti* )= —2 (g/aV +Cj. |
|||||
По начальным |
данным при |
*= 0 |
скорость |
и=0, |
следовательно, СХ= In о*. |
|||
Подставляя это значение Си получим |
|
|
|
|
|
|||
. |
а*—о* |
- 2 |
-^j-* |
или -— г ^ - = е “ 1 |
||||
I n ---- г -= |
||||||||
|
|
|
а* |
|
а* |
|
|
|
Отсюда окончательно находим |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
v = q V I — е~* <«/“*>*. |
|
(20) |
||||
Формула (20) дает закон изменения скорости падающего в воздухе тела в за висимости от пройденного пути.
С возрастанием х величина е" * * убывает, стремясь при х-*-оо к нулю. От
сюда следует, что скорость падения v с возрастанием х возрастает, стремясь в пре деле к постоянной величине а. Эта величина называется предельной скоростью па дения 1'пр. Из равенства (19) находим, так как ипр= а,
t-'np — V 2Р/сл.р5* |
(21) |
Следовательно, при ug= 0 падающее в воздухе тело не может получить скоро сти, большей, чем ипр. Предельная скорость падения возрастает с увеличением веса тела и с уменьшением величин сх, р и S.
* В рассматриваемой задаче это допустимо, если скорость падения не превы шает примерно 300 м/с.
196
Найден, как быстро скорость падающего тела приближается к предельной. Для «того обратимся к табл. 2, в которой дана зависимость величины vlvn9 от
(g/vпр)*, вычисленная по формуле (20). Из таблицы следует, что
Т а б л и ц а |
2 |
|
|
|
|
|
|
* , |
о |
V |
V |
при |
(й/кпр)-*= 1,2 |
|
|
v% |
"np |
v |
|
||||
np |
np |
|
t>= |
0,95v,npt |
(22) |
||
|
|
|
|
при |
|||
|
|
|
|
(£/tfnp) •* = |
2,0 |
|
|
0 |
0 |
1,2 |
0,95 |
|
ч= 0,99иПр |
|
|
0,5 |
0,80 |
1,5 |
0,97 |
|
|
|
|
1,0 |
0,93 |
2,0 |
0,99 |
|
|
|
|
Следовательно, скорость падения приближается к предельной довольно быстро, если только величины сх и S не очень малы (см. задачу 94).
Наличие предельной скорости падения можно установить следующими про стыми рассуждениями. При падении тела его скорость v растет; следовательно, растет и сила сопротивления R. Если считать очевидным, что сила R не может стать больше, чем сила тяжести Р (рис. 219), то Rnp=P. Подставляя сюда значе
ние « Пр из формулы (18), получаем 0,5cxpSi»5p= P , откуда и находим даваемое формулой (21) Значение оЛр. Однако приведенные рассуждения не позволяют оп ределить, как быстро скорость падения v стремится х v„p. Этот практически важ ный результат можно получить только с помощью формулы (20).
Задача 04. Определить предельную скорость падения парашютиста, вес ко торого вместе с парашютом Р = 800 Н: а) при затяжном прыжке, считая в этом слу чае S=0,4 м*, сх= 1,0; б) при прыжке с открытым парашютом, принимая в этом случае S=36 м \ с ,= 1,4.
Найти в обоих случаях расстояние Hlt пролетев которое, парашютист приобре тает скорость t>i=0,95 и„р (т. е. отличающуюся от предельной на 5 4 ), и рас стояние Я „ при котором скорость падения и,=0,99кпр.
Р е ш е н и е . Предельную скорость падения определяем по формуле (21), счи тая для воздуха р= 1,29 кг/м*. Расстояния Hi и Я , находим из равенств (22). Так
как »=*0,95е„р при (gli&p)x= 1,2. то исхомое расстояние Ях= 1,2i>Sp/g. Аналогично
находим, что Ht=2v%„p/g. |
|
В результате подсчетов получаем: |
380 м, //,«630 м; |
а) при затяжном прыжке и„р=56 м/с; |
б) при прыжке с открытым парашютом vnp**5 м/с;-Я1» 3 м, Я ,« 5 м.
Как видим, при больших сопротивлениях предельная скорость достигается очень быстро.
| 82. РЕШЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЗАДАЧИ ДИНАМИКИ ПРИ КРИВОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ ТОЧКИ
В случае криволинейного движения точки основная задача динамики решается с помощью дифференциальных уравнений дви жения, полученных в § 77. Если задача решается в прямоугольных декартовых координатах, т. е. с помощью уравнений (10), то началь ные условия, определяющие положение и скорость точки в началь ный момент времени /= 0 , задаются в виде:
При < = 0 |
Х—Хо, У=Уо, z=z„\ |
(23) |
|
Da(=l>j[o, |
oi |
||
|
197
Проинтегрировав уравнения (10), находят координаты х, у, г дви жущейся точки, как функции времени t, т. е. определяют закон дви жения точки. При этом полученные решения будут содержать шесть постоянных интегрирования Си Cit. . ., С„ значения кото рых должны определяться по начальным условиям (23).
Конкретный ход решения показан в рассматриваемой ниже за даче.
Д в и ж е н и е т о ч к и , б р о ш е н н о й п о д у г л о м к
г о р и з о н т а л ь н о й п л о с к о с т и |
в о д н о р о д н о м |
||||
п о л е т я ж е с т и . |
Изучим движе |
||||
ние тела, брошенного с начальной |
|||||
скоростью |
1>0, |
направленной под уг |
|||
лом а к горизонтальной |
плоскости, |
||||
рассматривая его |
как материальную |
||||
точку с массой т. |
При |
этом сопро |
|||
тивлением |
воздуха |
пренебрегаем, а |
|||
поле ^тяжести |
будем считать однород |
||||
ным (P=const), полагая, что даль ность полета и высота траектории ма
лы по сравнению q радиусом Земли.
Поместим начало координат О в начальном положении точки. Направим ось Оу вертикально вверх; горизонтальную ось Ох рас
положим в плоскости, проходящей через Оу и вектор о0, а ось Ог проведем перпендиулярно первым двум осям (рис. 220). Тогда угол между вектором v0 и осью Ох будет а.
Изобразим двужущуюся точку М в произвольном положении.
На нее действует только одна сила тяжести Р (см. примечание к задаче 93 в § 80), проекции которой на координатные оси равны:
Р х= 0, Р у= —Р = —mg, Р г= 0.
Подставляя эти величины в уравнения (10) и замечая, что d*x/df*=d»J[/df и т. д., после сокращения на т получим:
dVy dt
Умножая обе части этих уравнений на d/ и интегрируя, находим
vx=Ci, v„=—gt+ C t, vz=Ct .
Начальные условия (23) в нашей задаче имеют вид)
при t —0 х —0, у —0, 2=0;
t»*=u0cosa, t)„=D0sina, »z=0.
Удовлетворяя начальным условиям, получим
C1= y ,co so J C ,=v,sin a, С*=0.
Подставляя эти значения Си С, и С8 в найденные выше решения и заменяя и* на dx/dt и т. д., придем к уравнениям:
йх |
dу |
. |
, |
dz |
п |
-^■ = Щcos a, -fi< = v,$ina— gt, |
-jp = |
0. |
|||
Интегрируя эти |
уравнения, |
получим: |
|
|
|
x=v„t cosa+C 4, у —v0fsin a —g<V2+C5, z=C ,.
Подстановка начальных данных дает С4= С 5= С ,= 0 , и окончательно находим уравнения движения точки М в виде:
jc=i>0fcosa, (/=u0fsin a —gt*!2, z —0. |
(24) |
Из последнего уравнения следует, что движение |
происходит в |
плоскости Оху. |
|
Имея уравнения движения точки, можно методами кинематики
определить все характеристики данного движения. |
|
||
1. Т р а е к т о р и я |
т о ч к и . |
Исключая из первых двух урав |
|
нений (24) время t, получим уравнение траектории точки: |
|
||
y —x t a a ------ . х*. |
(25) |
||
9 |
ь |
2wJco»*a |
' ' |
Это уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу. Таким образом, брошенная под углом к горизонтальней плоскости тяжелая точка движется в безвоздушном пространстве по параболе (Галилей).
2. |
Г о р и з о н т а л ь н а я |
д а л ь н о с т ь . |
Определим гори |
||
зонтальную дальность, т. е. измеренное |
вдоль |
оси Ох расстояние |
|||
ОС=Х. Полагая в равенстве (25) у = 0, |
найдем точки пересечения |
||||
траектории |
с осью Ох. Из уравнения х [tga—g-ле/(2^5cos,ot)] = 0 по |
||||
лучаем |
*i=0, Jc1=(2uJcos, a*tga)/g. |
|
|||
|
|
|
|||
Первое решение дает точку О, |
второе — точку |
С. Следовательно, |
|||
X —x t |
и |
окончательно |
|
|
|
|
|
X — {vlJg) sin 2 a . |
(26) |
||
Из формулы (26) видно, что такая же горизонтальная дальность X будет получена при угле {5, для'которого 2§ = 180°—2а, т. е. если угол ^=290°—а . Следовательно, при данной начальной скорости «о в одну и ту же точку С можно попасть двумя траекториями: настильной (а<45°) и навесной (а>45°).
При заданной начальной скорости и0 наибольшая горизонтальная дальность в безвоздушном пространстве получается, когда sin 2 a= l,
т.е. при угле а —45°.
3.В ы с о т а т р а е к т о р и и . Если положить в уравнении
(25)x —X/2=(vl/g) sin a cos а , то определится высота траектории Н:
|
Н = {v\l2g) sin’ a. |
(26') |
4. |
В р е м я п о л е т а . Из первого уравнения |
системы (24) |
следует, что полное время полета Т определяется равенством X =
190
=0*7cesa. Заменяя здесь X его значением, получим
Т =г (2vjg) sin a . |
(26*) |
При угле наибольшей дальности а* =45° все найденные величины имеют значения:
X* = vl/g, H* = vl/4g = XV4, Т* = (vjg) V 2 . |
(27) |
Полученные результаты могут находить некоторые приложения, например, во внешней баллистике для оценки того, как изменяется дальность полета при изменении угла а или скорости v0 на очень малую величину, или же для ориентировочных оценок в случаях, аналогичных рассмотренному в приводимом примере.
Пример. Известно *, что немецкий снаряд ФАУ-2 после вертикального запус ка имел на высоте 20 км скорость ив» 1700 м/с и угол а« 4 5 ° (поворот снаряда про изводился с помощью специальных приборов и рулей). Дальнейший полет снаряда практически происходил как полет брошенного тела в безвоздушном пространстве
ина высотах, для которых можно еще грубо считать P=const. Тогда по формулам
(27)должно быть:
* *«300 км, N * « 7 5 км, Т *«245 с.
Эти результаты очень близки к тем, которые имели место для данных снарядов фактически.
П е р в а я к о с м и ч е с к а я с к о р о с т ь . Рассмотрим еще одну задачу о движении брошенного тела. Найдем, какую на чальную скорость надо сообщить телу, находящемуся н& расстоянии
м0 |
щ |
R от центра |
Земли, чтобы оно |
двигалось |
|
|
вокруг Земли |
по круговой орбите радиуса |
|
|
|
R (рис. 221); сопротивление воздуха счита |
||
|
|
ем отсутствующим, а тело рассматриваем |
||
|
|
как материальную точку. |
|
|
|
|
Прежде всего замечаем, что так как |
||
|
|
скорость точки в любой момент |
времени |
|
|
|
должна быть направлена по касательной к |
||
|
|
траектории, то скорость v0 следует напра |
||
|
|
вить перпендикулярно радиусу СМ0, где |
||
Для дальнейшего |
М 0 — начальное положение точки. |
|||
решения воспользуемся уравнениями (11). |
||||
Рассматривая точку в произвольном положении М , проводим оси
М х и М п и |
изображаем |
действующую на точку силу тяготения |
F\ численно |
F=mg0, где |
m — масса точки, g0 — ускорение силы |
тяготения в пункте М. Так как FT= 0, а Fn—F, уравнения (11) при мут вид:
du Л |
то* г |
_ |
mv* |
-37=0. |
- R - = F |
ИЛИ |
- jf = "lga. |
Из первого уравнения находим, что v= const и, следовательно, v —v„. После этого второе уравнение дает (если считать, vroR = R 0=
* См.: К о о й И., Ю т е н б о г а р т И. Динамика ракет. Оборонгиз, 1950.
200