Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Так как Q =const, то умножив обе части уравнения на dt н беря от них инте­ гралы, найдем, что

Замена в этом равенстве vx на Ax/dt дает

-!*£=(Q lm )t+ C t.

Умножая обе части полученного уравнения на dl и снова интегрируя, найдем

Этот результат и представляет собой для данной задачи общее решение урав­ нения (12) в виде, соответствующем равенству (15).

Теперь определим постоянные интегрирования Cj и С, по заданным началь­ ным условиям (16). Решения (а) и (б) должны быть справедливы в любой момент времени, в том числе и в момент <=0. Поэтому, подставляя в (а) и (б) вместо t нуль, мы вместо vx и х должны получить vQи х0, т, е, должно быть

VQ— Cf, XQ= Cj.

Полученными равенствами определяются значения постоянных С* и С*, удовлетворяющие начальным условиям задачи. Подставляя эти значения в урав­

Q=const, то и a=Qlm= const. В частности, таким является движение точки под действием силы тяжести. При этом в уравнении (в) будет Q/m=g, а ось Ох должна быть направлена по вертикали вниз,

$80. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Решение задач динамики точки путем интегрирования соответ­ ствующих дифференциальных уравнений движения сводится к следующим операциям.

1. С о с т а в л е н и е д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о у р а в ­ н е н и я д в и ж е н и я . Для его составления в случае прямоли­ нейного движения надо:

а) зыбрать начало отсчета (как правило, совмещая его с началь­ ным положением точки) и провести координатную ось, направляя ее вдоль траектории и, как правило, в сторону движения; если под действием приложенных сил . точка может находиться в какомнибудь,положении в равновесии, то начало отсчета удобно помещать в положении статического равновесия;

б) изобразить двужущуюся точку в произвольном положении (но так, чтобы было дс>0 и последнее существенно, когда среди сил есть силы, зависящие от скорости) и показать все дейст­ вующие на точку силы;

в) подсчитать сумму проекций всех сил на координатную ось и подставить эту сумму в правую часть дифференциального уравне­ ния движения; при этом надо обязательно все переменные силы вы­ разить через те величины (/, х или v), от которых эти силы зависят.

191

методами, известными из курса высшей математики и зависящими от вида полученного уравнения, т. е. от вида его правой части. В тех случаях, когда на точку кроме постоянных сил действует одна пере­ менная сила, зависящая только от времени t или только отрасстоя­

ния х, или же только от скорости v, уравнение прямолинейного движения можно проинтегрировать методом разделения переменных (см. заДачи 91—93). Если при этом в задаче требуется определить только скорость, то часто можно при решении ограничиться интег­ рированием одного из уравнений (13) дли (14).

данным задачи установить начальные условия в виде (16). Значения постоянных по начальным условиям находятся так, как это было показано в задаче 90. При этом постоянные можно определять непосредственно после каждого интегрирования.

Если дифференциальное уравнение движения является уравне­ нием с разделяющимися переменными, то вместо введения постоян­ ных интегрирования можно брать сразу от обеих частей равенства определенные интегралы в соответствующих пределах; пример такого расчета дан в задаче 93.

4. Н а х о ж д е н и е и с к о м ы х в з а д а ч е в е л и ч и н и и с с л е д о в а н и е - п о л у ч е н н ы х . р е з у л ь т а т е в. Что­ бы иметь возможность исследовать решение, а также произвести косвенную проверку результата подсчетом размерностей, надо все решение проводить до конца в общем виде (в буквах), подставляя числовые данные только в окончательные результаты.

Сделанные здесь указания относятся и к случаю криволинейного движения.

Рассмотрим три конкретные задачи, в которых сила зависит от

кой горизонтальной плоскости под действием силы F, значение которой растет пропорционально времени по закону F= kt. Найти закон движения груза.

(P/g)vx= kP!2-\-Cj.

Подставляя сюда начальные данные, найдем, что C i= 0 . Тогда, заменяя в по­ лученном результате vx на dx/dt, представим его в виде

±-=(kg!2P)t>.

192

Умножая обе части этого равенства на dt, опять разделим переменные и, ин­

тегрируя, найдем

x=(kg/2P)f>l3+Ct.

Подстановка начальных данных дает Са= 0, и окончательно получаем закон

движения груза в виде

x=(kglf>P)P.

Таким образом, проходимый грузом путь будет расти пропорционально кубу времени,

2. С и л а з а в и с и т о т р а с с т о я н и я

Задача 92. Пренебрегая трением и сопротивлением воздуха, определить, в течение какого промежутка времени тело пройдет по прорытому сквозь Землю

точке тело, находящееся в канале, было бы в равновесии) и направим ось Ох

так как из чертежа видно, что г cos a = x , Nx= 0.

Действующая сила оказалась зависящей от координаты х точки М. Чтобы в этом случае в дифференциальном уравнении движения разделились переменные, составим его в виде (14). Тогда сокращая на т и вводя обозначение

получим

Умножая обе части этого равенства на Ах, сразу разделяем переменные я, интегрируя, находим

0*/2= -/!*х«/2+С*.

По начальным условиям при х=*а vx= 0 . Следовательно, C1—ktai/2. Подставляя это значение Clf получаем

vx = ± к У а 2—х*.

Считая,-что в рассматриваемом положении скорость направлена от М к О, т. е. Что »*< 0 , берем перед корнем знак минус (легко, однако, проверить, что тот же окончательный результат получится и при знаке плюс). Тогда, заменяя vx на Ах/At, найдем, что

* у т о .

Разделяя переменные, приведем это уравнение к виду

Y в*—А*

и, интегрируя* получим

«= arcco s (дс/о)+С,.

Подставляя сюда начальные данные (при /= 0 х=а), находим, что С ,= 0 . Окон­ чательно закон движения тела- в канале будет иметь вид

х = а cos kt.

Следовательно, тело будет совершать в канале АВ гармонические колебания

скорость тела. ОД выражения для vx видно, что t>=nmlx при х= 0, т, е, в точке О. Следовательно,

0т.* = & г-а/в/Я .

Колебания, совершаемые материальной точкой под действием силы, пропорциональной расстоянию, будут подробнее изучены в Гл. XIX. Там будет рассмотрен другой метод интегрирования получающихся ~Ь этом случае дифференциальных уравнений дви­ жения.

толчке сообщила лодке (см. § 79.) Чтобы правильно определить, какие силы дей­ ствительно действуют на тело при его движении, надо помнить, *I T O сила есть ревультат взаимодействия данного тела с другими телами. В данном случае сила

тяжести ~Р является результатом действия на лодку Земли, а силы"# и R — ре­ зультат действия на лодку воды. Никакие другие материальные тела с лодкой при «движ ении не взаимодействуют, значит, никаких других действующих сил нет.

Обращаем внимание на этот вопрос, так как он часто является источником оши­ бок при рещении задач.

Вычисляя проекции действующих сил, находим, что

2^**5=— R= —И"*-

194