Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Р е ш е н и е . Поместим начало координат О в положение статического рав­ новесия груза и направим ось Ох по вертикали вниз (рис. 256). Сила упругости F—ck. В нашем случае Х=Хст+ х . Следовательно, Fx= —с(Хст-)--*)-

Составляя дифференциальное уравнение движения, получим

тх = — с (Лет +х)-\-Р.

Но по условиям задачи сила тяжести P=mg=d.cr (в равновесном положении сила Я уравновешивается силой упругости сХс1).>В результате, введя обозначение с/т=^/А сх=А, 1 приведем уравнение к виду

X + k*X=*:Q.

Отсюда сразу находим период колебаний груза в виде (75') Г = 2я/* = 2я V KCT/g.

Решением полученного дифференциального уравнения будет х = Ci sin kt -f Cj cos kt.

По начальным условиям при <=0 * = —ХСт. ^,= 0. Так как vx =*x = kCi cos kt—kCt sin kt,

то, подставляя начальные данные, получим С ,= —^ т, ^ = 0 . Следовательно, ко­ лебания происходят с амплитудой Хст по закону

x = — XCTcos'kt.

Отсюда видно, что наибольшее удлинение пружины при колебаниях груза рав­ но 2ХСТ. Этот результат был получен другим путем в задаче 102, где роль пружины играла балка.

'x

двух пружинах с коэффициентами жесткости с. и с., так, как похазано на рис. 257, а.

Р е ш е н и е . Каждая из пружин в статическом положении растягивается с силой Р. Следовательно, статические удлинения пружин будут: XiCT=P/cl , Х*С1=Я /с,. Тогда общее удлинение пружин

Полагая Я =свквАст, найдем, что

где с»к» — коэффициент жесткости эквивалентной пружины, заменяющей две данные пружины. В частности, при сх= с а= с получим с,кв= с/2.

236

Период колебаний по формуле (75') будет

Задача 114. Решить предыдущую задачу, считая, что груз подвешен на пружи-. нах так, как показано на рис. 257, б.

Р е ш е н и е . В этом случае очевидно, что статические удлинения (сжатия) обеих пружин одинаковы. При этом сила Р уравновешивается силами упругости CjXcx и с,Хст пружин, т. е. Р= (Ci+Cj)ActОтсюда ем а—Ci+Ci, а период коле­ баний

Задача 115. Определить период колебаний материальной точки с массой т,

если действующая на нее восстанавливающая сила ¥ пропорциональна кубу от­ клонения точки от центра 0 (см. рис. 253) и Fx= —c1&, где ct — заданный постоян­ ный коэффициент. В начальный момент времени <=0 координата *=*#, а ио= 0 .

Ре ш е н и е . Дифференциальное уравнение движения точки составим в виде

(14)(см. § 79); получим следующее нелинейное уравнение:

я ю .т £ — V е или 1 ^ — n V (« • — £ ) •

Умножим обе части этого уравнения на dx и возьмем (в соответствии с началь­ ными условиями) интегралы слева от 0 до-v*, а справа от хв до х\ получим

ч » / 2 = п * ( д с « - д с 4 ) / 4 . ( я )

Так как в момент времени /= 0 их= 0 , то под действием силы ¥ (см. рис. 253) точка начнет двигаться влево и vx<0. При *=>=—*о, как видно из равенства (а),

»*=*0 и дальше под действием силы F (при ж<0 и ^**<0, а следовательно, Fx> 0) точка будет двигаться вправо до положения х=х^, где опять ц*=0, и т. д. Таким

Полагая здесь х=х<р, где г — новое переменное, и учтя, что при *= 0 и 2= 0 ,

апри X—Xt будет ?= I, получим

г1 £ Z . C _ J L —

“• я*о ^ V I-** ‘

Значение стоящего справа определенного интеграла (это частный вид так назы­ ваемого эллиптического интеграла) можно найти из соответствующих таблиц; приб­ лиженно он равен 1,31 и тогда окончательно

Тя)7,4/пхл.

Мы.видик» что при этих нелинейных колебаниях (в отличие от колебаний ли­ нейных) период зависит от «« и с увеличением xt я данном случае убывает,

237

f as. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ПРИ ВЯЗКОМ СОПРОТИВЛЕНИИ (ЗАТУХАЮЩИЕ КОЛЕБАНИЯ)

Рассмотрим, как влияет на свободные колебания сопротивление, создаваемое силой вязкого трения [см. § 76, формула (7)1, т. е. си­ лой, пропорциональной первой степени скорости: R = —fiv (знак минус указывает, что сила R направлена противоположно v). Пусть на точку при ее движении действуют восстанавливающая сила F и сила сопротивления R (рис. 258). Тогда Fx= —cx, R x= — *=—|uc, и дифференциальное уравнение движения будет

Легко проверить, что величины k и b имеют одинаковые размер­ ности (1/время); это позволяет, сравнивать их с друг с другом.

Уравнение (76) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при сопротивлении, пропорциональном скорос­

1. Рассмотрим случай, когда k>b, т. е. когда сопротивление по сравнению с восстанавливающей силой мало. Введя обозначение

получим из (78), что n i,,= —b ± ik, т. е. что корни характеристиче­ ского уравнения являются комплексными. Тогда общее решение уравнения (76) будет, очевидно, отличаться от решения уравнения (67) только множителем e~bt, т. е.

или, по аналогии с равенством (69),

Входящие в (81) величины А и а являются постоянными интегри­ рования и определяются по начальным условиям.

Колебания, происходящие по закону (81), называются затухаю­ щими, так как благодаря наличию множителя е_4< величина х —ОМ

238

(рис. 258) с течением времени убывает, стремясь к нулю. График этих колебаний показан на рис. 259 (график заключен между пунк­ тирными кривыми x —A t~ bt и х ——Ae~bt, так как sin (M + a) по мо­ дулю не может стать больше единицы).

Промежуток времени 7\, равный периоду sin (M + a), т. е. ве­ личину

принято называть периодом затухающих колебаний. За период точ­ ка совершает одно полное колебание, т. е., например, начав дви­ гаться из положения х= 0 вправо (см. рис. 258), приходит в то же положение, двигаясь также впра­ во. Формулу (82), если учесть ра­ венство (71), можно еще предста­ вить в виде

что Т{>Т, т. е. что при наличии сопротивления период колебаний несколько увеличивается. Одна­

ко когда сопротивление мало (Ь<^Л), то величиной b4k%по сравне­ нию с единицей можно пренебречь и считать 7’1« 7 \ Следовательно, малое сопротивление на период колебаний практически не влияет.

Промежуток времени между двумя последовательными макси­ мальными отклонениями колеблющейся точки вправо (или влево) также оказывается равным 7\ *. Следовательно, если первое макси­ мальное отклонение вправо Xi происходит в момент U, то второе

Таким образом, оказывается, что размахи колебаний будут убывать по закону геометрической прогрессии. Знаменатель этой прогрессии е~т называется декрементом рассматриваемых колебаний, а мо­ дуль его логарифма, т. е. величина ЬТи— логарифмическим декре­ ментом.

Из всех полученных результатов следует, что малое сопротив­ ление почти не влияет на период колебаний, но вызывает постепен-

* Моменты, когда * имеет максимум или минимум, находятся из уравнения Axldt=Ae~bt (/ijcos (fc^+a)—b sin(ife1/+ a)]= 0 . Если квадратная скобка обращает­

ся в нуль при некотором t= tlt то она, очевидно, обратится в нуль и в моменты вре­ мени ti+Ti, /1+ 2 Г 1 и т. д., поскольку *17’1= 2я.

239

вое их затухание вследствие убывания размахов колебаний по за­ кону геометрической прогрессии.

2. Рассмотрим теперь случай, когда b>k, т. е. когда сопротивле­ ние по сравнению с восстанавливающей силой велико. Вводя обозна­ чение b*—к*=г*, найдем, что в этом случае корни характеристиче­ ского уравнения (78) равны n i,,= —Ь±г, т. е. оба действительны и отрицательны (так как т<Ь). Следовательно, решение уравнения (76), описывающее закон движения точки, имеет при b>k вид

x = C1e~lb*r)t + Cte~lb~r)t.

Так как функция е_вТ, где а> 0 , со временем монотонно убывает, стремясь к нулю, то движение точки в этом случае не будет колеба­ тельным и она под действием восстанавливающей силы будет посте­ пенно (асимптотически) приближаться к равновесному положению лг=0. График такого движения, если при t= 0 х=х£>0 и vx=vxt, имеет в зависимости от значения vx0 вид одной из кривых, показан­ ных на рис. 260 (V — при vxO>0; 2 — при чзсв< 0 , когда Iw^l неве­ лик; 3 — при »жо<0, когда |их,| велик; все эти результаты качествен­ но ясны из физических соображений). При х0< 0 вид графиков не изменится (они будут лишь зеркально отображенными относитель­ но оси Ot)\ наконец, при Хо>0 и их0= 0 график (кривая 1) имеет мак­ симум В в начальный момент времени 1=0.

3. В заключение рассмотрим случай, когда b=k. Корни харак­ теристического уравнения (78) будут при этом тоже действительны­ ми, но кратными (ni,,= ±Ь) и общее решение уравнения (76) примет вид (что можно проверить подстановкой х в уравнение)

х = е -« (С 1 + С10-

Движение точки в данном случае тоже не будет.колебательным и она со временем стремится асимптотически к равновесному поло­

жению х —0 [по правилу Лопиталя lim(//eb*)==lim (1/Ьёь#—0]. Гра- t-¥СР

фик движения в зависимости от начальных условий имеет тоже вид кривых, показанных на рис. 260.

Рис. 261

Задача 116. Цилиндр (его масса т , а площадь дна S), частично погруженный в вязкую жидкость с удельным весом у (рис. 261), выводят из равновесного поло­ жения. Определить период последующих затухающих колебаний цилиндра, счи­

тая, что на него действует сила вязкого трения R = —]iv.

240