Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

тельно, FKop=2m(og<cosA, и первое из уравнений (60) примет вид

i = 2 (cog cos X) t.

Так как величина, стоящая в скобках, постоянная, то, интегрируя это урав­ нение, получим:

х= (cog cosX ^+Cj, х— (cog cosX)^/3+Cx<+C2.

Подстановка начальных данных дает Cj=Ca= 0 . Таким образом, уравнения, приближенно определяющие закон относительного движения точки, будут:

х= (cogcos A.) <*/3, у= Н —gf*/2.

Движение оказывается непрямолинейным и падающая точка действительно отклоняется к востоку. Исключив из предыдущих равенств время t, получим в пер­ вом приближении уравнение траектории точки (полукубическая парабола):

Как видим, отклонение е пропорционально угловой скорости Земли со и явля­ ется величиной малой. Например, на широте Москвы (А.=55°47', g=9,816 м/с*) при падении с высоты Н= 100 м величина г—1,2 см.

Ряд опытов, проведенных во многих пунктах Земли разными исследователя­ ми, подтверждает правильность результата, который дает формула (61).

Рассмотрим движение точки, брошенной из пункта О вертикально вверх с на­

чальной скоростью ц>. Сила F"0р при подъеме будет в первом приближении направ­ лена на запад. Тогда, если направить ось Ох также на запад (рис. 252, б), то диффе­ ренциальные уравнения движения сохраняют вид (60), а начальные условия будут: при < = 0 * = 0 , у= 0, vx=0, vv=v0.

Тогда, считая, как и в предыдущей задаче, приближенно v=vu, получим F^op— = 2т ш (i>0—gt)cosA, и первое из уравнений (60) примет вид

x= 2 (со cos А) (v0—gt).

Это уравнение будет описывать движение точки и при ее падении вниз, так как

происходящее при этом изменение направления вектора F£0р учтется изменением знака множителя (v0—gt)—vv.

Интегрируя полученное уравнение при начальных условиях задачи, найдем

Полагая в равенстве (62) у—0, найдем время движения точки до момента ее па­

дения на Землю: tl=2v0lg. Учитывая одновременно, что и0= Y2gH lt где Ну — вы­ сота подъема, определим из уравнения (63) западное отклонение точки в момент

* При определении модуля и направления силы F"0р мы в первом прибли­ жении пренебрегали составляющей скорости vx, направленной на восток. Вслед­

ствие наличия этой скорости сила F”op будет иметь дополнительную составляю­ щую, вызывающую отклонение точки к югу. Так как х= (cog cos k)ls/3, то скорость

vx=x пропорциональна со и отклонение к югу пропорционально со8, т. е. является малой величиной второго порядка.

231

Все эти расчеты относятся, как было указано, к движению в безвоздушном про­ странстве и учитывают влияние вращения Земли только в первом приближении;

Глава XIX

ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ

f 94. СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ БЕЗ УЧЕТА СИЛ СОПРОТИВЛЕНИЯ

Учение о колебаниях составляет основу ряда областей физики и техники. Хотя колебания, рассматриваемые в различных обла­

в технике, но и вследствие того, что результаты, полученные при изучении механических колебаний, могут быть использованы для изучения и уяснения колебательных явлений в других областях.

Начнем с изучения свободных колебакий точки без учета сил сопротивления.. Рассмотрим точку М , движущуюся прямолинейно

под действием одной только восстанавливающей силы F, направлен­ ной к неподвижному центру О и пропорциональной расстоянию от

этого центра. Проекция силы F на ось Ох (рис. 253) будет

Fx——cx. (65)

Сила F, как видим, стремится вернуть точку в равновесное по­ ложение О, где Р = 0; отсюда и наименование «восстанавливающая» сила. Примером, такой силы является сила упругости (см. § 88, рис. 232) или сила притяжения, рассмотренная в задаче 92 (см. § 80).

Найдем закон движения точки М. Составляя дифференциальное

уравнение движения в проекции на ось х (уравнение 12 из § 79), по­ лучим:

тх — Fx или тх = — сх.

232

Уравнение (67) представляет собой дифференциальное уравнение свободных колебаний при отсутствии-сопротивления. Решение это­ го линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка ищут в виде x= ent. Полагая в уравнении (67) x= ent, полу­ чим для определения п характеристическое уравнение л*+6а=0. Поскольку корни этого уравнения являются чисто мнимыми (rti,2=

—±ik), то, как известно из теории дифференциальных уравнений, общее решение уравнения (67) имеет вид

где Cj и С, — постоянные интегрирования. Если вместо постоянных и С, ввести постоянные А и а, такие, что С ^ Л со эа, Ct= A s\na,

Это другой вид решения уравнения (67), в котором постоянными интегрирования являются А и а. Им удобнее пользоваться для об­ щих исследований.

рис. 127, в (см. § 45).

Всем характеристикам этого движения можно дать наглядную кинематическую интерпретацию. Рассмотрим точку В, движущуюся рапномерно по окружности радиуса А из

положения В0, определяемого углом DOB0= —а (рис. 254). Пусть постоянная угловая скорость вращения радиуса ОВ равна k. Тогда в произвольный момент времени t угол ф==/D O B = a + kt и легко видеть, что проекция М точки В на диаметр, перпен­ дикулярный DE, движется по закону х= =i4sin(W +a), где *=0/Vf, т е. совершает гармонические колебания.

Величина А, равная наибольшему откло­ нению точки Af от центра колебаний О, на­ зывается амплитудой колебаний. Величина

<p=W+a называется фазой колебаний. Фаза ф в отличие от коорди­ наты х определяет не только положение точки в данный момент вре­ мени, но и направление ее последующего движения; например, из положения М при фазе, равной ф, точка движется вправо, а при фазе, равной (п—ф),— влево. Фазы, отличающиеся на 2я, считают­ ся одинаковыми (на рис. 127, в светлыми точками отмечены две одц-

233

наковые фазы). Величина а определяет фазу начала колебаний (на­ чальная фаза). Например, при а = 0 колебания происходят по за­ кону синуса (начинаются от центра О со скоростью, направленной вправо), при <р=я/2 — по закону косинуса (начинаются из поло­ жения х —А to скоростью 0о=О). Величина к, совпадающая с угло­ вой скоростью вращения радиуса ОВ, показанного на рис. 254, на­ зывается круговой частотой колебаний.

Промежуток времени Т (или т), в течение которого точка совер­ шает одно полное колебание, называется периодом колебаний. По истечении периода фаза изменяется на 2л. Следовательно, должно быть kT=2n, откуда период

Величина v, обратная периоду и определяющая число колеба­ ний, совершаемых за 1 с, называется частотой колебаний:

Отсюда видно, что величина k отличается от v только постоян­ ным множителем 2л. В дальнейшем мы обычно для краткости часто­ той колебаний будем называть и величину k.

Найдем теперь значения постоянных интегрирования А и а. О п р е д е л е н и е А н а по н а ч а л ь н ы м у с л о в и я м .

Считая, как всегда, при /= 0 x —xt и vx—vt, получим из (69) и (70) х,= А sin a, vJk—A cos а. Отсюда, складывая сначала почленно квад­ раты этих равенств, а затем деля их почленно одно на другое, най­

О п р е д е л е н и е А я а по к р а е в ы м у е л о в и я м (см. § 79). Пусть вместо начальных заданы краевые условия вида: при t= 0 х = 0, а при t= tx х=1. Тогда из (69) получим0 = sin a ,/= i4 sin (#!+<»), откуда a=0,.A=f/sinJWj, ирешением уравнения (67) . будет х= (//sin ktx) sin kt, если только t1^nlk= Т12. Если же <!=л/й (или 2яfk и т. д.), то для определения А получится уравнение /=/4sin я, которому при 1Ф0 удовлетворить нельзя, и задача решения не имеет. А если 1=0 и t^ n /k , то для определения А получится уравнение 0=j4sinn, которое удовлет­ воряется при любом А, и, следовательно, уравнение (67) идеет неоднозначное ре­ шение *=/lsin kt, где А — любое число.

Таким образом, в отличие от задач с начальными условиями, краевые задачи могут ийеть неоднозначные решения или вовсе не иметь решения. В рассмотренных случаях это' объясняется тем, что если по условиям при / = 0 дс=0 , то и через поляериода, т. е. при tx—hlk, должно быть тоже *=0. Поэтому здесь удовлетворить

1) амплитуда н начальная фаза колебаний зависят ог начальных (или краевых) условий; 2) частота k, а следовательно, и период Т колебаний от начальных (или краевых) условий не зависят [опре­ деляются равенствами (66) и (71)] и являются неизменными харак­ теристиками данной колеблющейся системы.

234

Отсюда, в частности, следует, что если в задаче требуется опре­ делить только период (или частоту) колебаний, то надо составить дифференциальное уравнение движения и привести его к виду (67). После этого Т найдется сразу по формуле (71) без интегрирования.

Рассмотренные колебания, как и те, что будут рассмотрены в § 95, 96, называют линейными, так как они описываются линейны­ ми дифференциальными уравнениями. То, что период этих колеба­ ний не зависит от начальных (или краевых) условий, а следователь­ но, и от амплитуды, является одним из основных свойств линейных

щей силы F, направленной к центру О (численно F=c-OM), дейст­ вует еще постоянная по модулю и направлению сила Р (рис. 255). В этом случае положением равновесия точки М , где сила Р уравно­

вешивается силой F, будет точка 0 1( отстоящая от О на расстоянии OOi=XCT, которое определяется равенством ск„—Р или

составляя уравнение (12) и учитывая, что согласно равенству (74)

сК„—Р, получим т х= —сх или x+k*x=0.

Это уравнение, где k определяется равенством (66), совпадает

с уравнением (67). Отсюда заключаем, что постоянная сила Р, не изменяя характера колебаний, смещает центр колебаний в сторону действия силы на величину статического отклонения А,ст.

Таким образом, период кйлебаний пропорционален корню квад­ ратному из статического отклонения Хст.

В частности, если силой Р является сила тяжести (как, напри­ мер, в задаче 112), то P=m g и формула (75) принимает вид

Задача 112. Груз подвешивают к концу В вертикальной пружины АВ и от­ пускают без начальной скорости. Определить закон колебаний груза, если в рав­ новесном положении он растягивает пружину на величину Аст (статическое удли­ нение пружины).

235