Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Р е ш е н и е . В равновесном положении (рис. 261, а) на цилиндр действуют

сила тяжести Р и архимедова сила Na, равная численно весу вытесненной жидко­ сти, т. е. Nt=ySh (ft — высота погруженной части цилиндра при равновесии).

Проведем из начального положения точки С вертикально вниз ось Сх и изоб­ разим цилиндр в произвольном положении, при котором точка С смещена вниз на

величину х (рис. 261, б). На цилиндр в этом положении действуют: сила тяжести Р, архимедова сила N и сила сопротивления R (при движении цилиндра вниз, т. е.

когда их>0, она направлена вверх); изобразим силы Р и R приложенными в точ­ ке С. Поскольку дополнительное погружение цилиндра равно х, то N= yS (А+дг)= =Nt+ySx (мы видим, что N здесь является восстанавливающей силой, пропорцио­

~х+2Ьх+кш = 0,

такому же, как у уравнения (76). Тогда по формуле (82), учтя обозначения (а), найдем для искомого периода колебаний значение

V yS/m— ц2/4т*

S 96. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ. РЕЗОНАНС

Рассмотрим важный случай колебаний, возникающих когда на точку кроме восстанавливающей силы F действует еще периодически

изменяющаяся со временем сила Q, проекция которой на ось Ох равна

Эта сила называется возмущающей силой, а колебания, происхо­ дящие при действии такой силы, называются вынужденными. Вели­ чина р в равенстве (83) является частотой возмущающей силы.

Возмущающей силой может быть сила, изменяющаяся со вре­ менем и по другому закону. Мы ограничимся рассмотрением слу­ чая, когда Qx определяется равенством (83). Такая возмущающая сила называется гармонической. Конкретный пример ее дан ниже в задаче 117.

которую кроме восстанавливающей силы F (см. рис. 253) действует

только возмущающая сила Q: Дифференциальное уравнение движе­ ния в этом случае будет

тх ——caj+Q# sin pt.

* Получаемые В'Этом пункте результаты могут быть найдены как частный слу­ чай из п. 2.

Разделим обе части этого уравнения на т и положим

clm—k*, Qtlm =Pt,

где Р 0имеет размерность ускорения. Тогда дифференциальное урав­

Уравнение (85) является дифференциальным уравнением вынуж­ денных колебаний точки при отсутствии сопротивления. Его ре­ шением, как известно из теории дифференциальных уравнений, бу­ дет x=x1+xt, где Xi — общее решение уравнения без правой части, т. е. решение уравнения (67), даваемое равенством (69), a xt — ка­ кое-нибудь частное решение полного уравнения (85).

Полагая, что рфк., будем искать решение хшв виде

х%—В sin pt,

где В — постоянная величина, которую надо подобрать так,чтобы равенство (85) обратилось в тождество. Подставляя значение х% и его второй производной в уравнение (85), получим

—р*В sin pt+k\B sinpt=Pt sin pt.

Это равенство будет выполняться при любом t, если В (k%—p') = Р, или

B = P ,/(**-/>*).

Таким образом, искомое частное решение будет

где А И а — постоянные интегрирования, определяемые по началь­ ным данным. Решение (87) показывает, что колебания точки слага­ ются в этом случае из: 1) колебаний с амплитудой А (зависящей от начальных условий) и частотой k, называемых собственными коле­ баниями; 2) колебаний с амплитудой В (не зависящей от начальных

условий) и частотой р, которые называются вынужденными колеба­ ниями.

Практически, благодаря неизбежному наличию тех или иных со­ противлений, собственные колебания будут довольно быстро зату­ хать. Поэтому основное значение в рассматриваемом движении име­ ют вынужденные колебания, закон которых дается уравнением (86).

Частота р вынужденных колебаний, как видно, равна частоте возмущающей силы. Амплитуду этих колебаний, если разделить числитель и знаменатель на k\, можно представит^ в виде

242

дим, В зависит от отношения частоты р возмущающей силы к часто­ те k собственных колебаний. Введем обозначения

г—р/к, rj=В1Хц. (88')

Безразмерный коэффициент т] называют коэффициентом динамично­ сти. Он показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных коле­ баний В (т. е. максимальное отклонение точки от центра колебаний) больше статического отклонения К , и зависит от отношения час­ тот г. График этой зависимости, определяемой равенством (88), по­ казан ниже на рис. 264 кривой, помеченной знаком Л=0 (другие кривые на рис. 264 дают зависимость ц от г при наличии сопротивле­ ния).

Из графика [или из формулы (88)] вцдно, что, подбирая различ­ ные соотношения между р и k, можно получить вынужденные коле­ бания .с разными амплитудами. При р=0 (или p<ZM) амплитуда равна Я, (или близка к этой величине). Если величина р близка к к, амплитуда В становится очень большой. Наконец, когда p^>k, амплитуда В становится очень малой (практически .близка к нулю).

Отметим еще, что при p<.k, как видно из сравнения формул (83) и (86), фазы вынужденных колебаний и возмущающей силы все вре­ мя совпадают (обе равны pt). Если же p>k, то, внося минус под знак синуса, можно представить уравненИЬ (86) в виде

* .= = 7 i5 irs in (/ rt — я ).

Следовательно, при p>k сдвиг между фазами вынужденных коле­

баний и возмущающей силы равен л (когда сила Q имеет максималь­ ное значение и направлена вправо, колеблющаяся точка максималь­ но смещена влево и т. д.).

Р е з о н а н с . В случае, когда p=k, т. е. когда частота возму­ щающей силы равна частоте собственных колебаний, имеет место так называемое явление резонанса. Формулами (86), (88) этот слу­ чай не описывается, но можно доказать, что размахи вынужденных колебаний при резонансе будут со временем неограничен­ но возрастать так, как это показано на

pine. 262. Подробнее общие свойства вынуж­ денных колебаний (и, в частности, резонан­ са) рассмотрены в конце этого параграфа (п. 3).

При p=k уравнение (85) частного решения xt=

=B sinpt не имеет, и это решение будем искать в виде

*2= Ct cos pt.

Тогда х,= —2Cpsinp<—pHltco&pt, и подстановка в уравнение (85), если учесть, что p=k, дает —2Cpsinp/=P^mpt, откуда С= —Я0/2р. В результате находим закон вынужденных колебаний при резонансе в случае отсутствия сопротивления:

Как видим, ралмахи вынужденных колебаний при резонансе действительно воз­ растают пропорционально времени, и закон этих колебаний имеет вид, покамкиый иа рис. 2о2. Сдвиг фаз при резонансе, равен п/2.

действуют восстанавливающая сила F, сила сопротивления R, про­

порциональная скорости (см. § 95), и возмущающая сила Q,' опреде­ ляемая формулой (83). Дифференциальное уравнение этого движе­ ния имеет вид

Деля обе части уравнения на т и учитывая обозначения (77) и (84), получим

Уравнение (91) является дифференциальным уравнением вынуж­ денных колебаний точки при наличии вязкого сопротивления. Его общее решение, как известно, имеет вид х=*х+*«, где — общее решение уравнения без правой части, т. е. уравнения (76) [при к>Ьэгто решение дается равенством (81)1, ах, — какое-нибудь част­ ное решение полного уравнения (91). Будем искать решение х, в виде

х, = В sin (pt —Р),

где В и р — постоянные, которые надо подобрать так, чтобы равен­ ство (91) обратилось в тождество. Вычисляя производные, получим:

х = Bp cos (pt— Р), £= — Bp* sin (pt— p).

Подставляя эти значения производных и величины х, в левую часть уравнения (91) и обозначая для краткости pt—р=\|) (или pt—•$+$), найдем, что

момент времени, коэффициенты при simp и cosrp в левой и правой частях должны быть порознь равны друг другу; следовательно,

В (k*—p*)= Р0соф, 2ЬрВ = P0sinP.

Из полученных уравнений (ими также пользуются для однозначно­ го определения величины Р) находим, возводя их сначала почленно в квадрат и складывая, а затем деля почленно друг на друга:

Так как х=Х!-|-х», а значение Xi (при k>b) дается равенством (81), то окончательно найдем решение уравнения (91) в виде

244

где А и а — постоянные интегрирования, определяемые по началь­ ным условиям, а значения В и р даются формулами (92) и от началь­ ных условий не зависят. При Ь=0 найденные решения дают форму­ лы (86) и (87), полученные выше для случая отсутствия сопротивле­ ния.

Рассматриваемые колебания являются сложными и слагаются из собственных (первое слагаемое в равенстве (93), рис. 263,а) н вы­ нужденных (второе слагаемое в равенстве (93), рис. 263,6). Собст­ венные колебания точки для рассматриваемого случая были изуче­ ны в $ 95. Как было установлено, эти колебания довольно быстро за­ тухают и по истечении некоторого промежутка времени /у, называемо­ го временем установления, Ими практически можно пренебречь.

Если, нупример, считать, что собст­ венными колебаниями можно пренебречь, начиная с момента, когда нх размахн бу­ дут меньше 0,01 В, то величина ty будет определяться из равенства Ле-Ь*=0,01 В, откуда

Как видим, чем меньше сопротивление (т. е. чем меньше Ь), тем время установле­ ния больше.

Одна из возможных картин установления колебаний, происхо­ дящих по закону (93) и начинаю­ щихся изсостояния покоя, показана

на рис. 263,в. При других начальных условиях и соотношениях меж­ ду частотами р и kl характер колебаний в интервале времени 0</</у может оказаться совершенно другим. Однако во всех слу­ чаях по истечении времени установления собственные колебания практически затухают и точка будет совершать колебания по за­ кону

x=Bsin(pt—Р). (95)

Эти колебания и называются вынужденными. Они представляют собой незатухающие гармонические колебания с амплитудой В , оп­ ределяемой равенством (92), и частотой р, равной частоте возмущаю­ щей силы. Величина Р характеризует сдвиг фазы вынужденных ко­ лебаний по отношению к фазе возмущающей силы.

Исследуем полученные результаты. Введем обозначения:

где г — отношение частот; А — величина, характеризующая сопро­ тивление; А* — величина статического отклонения точки под дейст-

245