Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

вием силы Qa (например, при колебаниях груза на пружине Х„ рав­ но статическому удлинению пружины, вызываемому силой Q0).

Тогда, деля числитель и знаменатель равенств (92) на к2, полу­ чим:

Из формул (97) видно, что В и Р зависят от двух безразмерных параметров г и Л. Для большей наглядности вид этой зависимости при некоторых значени­ ях h показан на графи­ ках. На первом графи­ ке (рис. £64) даны за­ висимости коэффициен­ та динамичности rj= ==В/Х0 (показывающего, во сколько раз ампли­ туда В больше Л,0) от отношения частот г, а на втором (рис. 265) — зависимости сдвига фаз Р тоже от z. В каждой конкретной задаче по ее данным можно вычис­ лить величины Х0, г, Л и найти значения В и Р, пользуясь соответствую­ щими графиками или формулами (97). Из этих графиков (или формул)

видно также, что, меняя соотношение между р и k, можно полу­ чать вынужденные колебания с разными амплитудами.

Когда сопротивлениеочень мало, а величина г не близка к единице, в формулах (97) можно приближенно считать Ля*0.

Тогда будем иметь резуль­ таты, полученные в п. 1, а именно:

лиженно гтО , получим из формулы (97) B « V . Колебания в этом

246

случае происходят с амплитудой, равной статическому отклонению X,, и сдвигом фаз Р«0.

2. Если отношение частот г очень велико (р>Л), величина В становится малой. Этот случай представляет особый интерес для проблем виброзащиты различных сооружений, приборов и др. При этом, считая сопротивление малым и пренебрегая в (97) 2hz и еди­

3. Во всех практически интересных случаях величина Л много меньше единицы. Тогда, как видно из (97), если величина г близка к единице, амплитуда вынужденных колебаний достигает максиму­ ма. Явление, которое при этом имеет место, называется резонансом.

I h формулы (97) видно, что B= Bv= B mtx, когда стоящая в знаменателе вели­ чина /(£)= (1—Й*+4Л*£ (где £=2*) имеет минимум. Решая уравнение /' (£)= = —2 (1—| —2h*)=0 , найдем, что В имеет максимум при £= I—2Л\ т. е. при

гр = Y 1—2Л*. Следовательно,.резонанс имеет места, когда г немного меньше еди­ ницы. Но практически, пренебрегая величиной Л* по сравнению с единицей, мож­ но считать, что г9= 1. При немалых Л резонанс выражен слабо (амплитуда Bf не­

велика, см. рис. 264), а при к>У~$/2*‘0,7 резонанс, как видно из выражения для 2р и из рис. 264, вообще не возникает.

При резонансе амплитуду вынужденных колебаний и сдвиг фаз можно практически вычислять, по приближенным формулам, кото­ рые получаются из равенств (97), если в них положить 2=1:

Отсюда видно, что при малых Л величина B t может достигать Доволь­

но больших значений.

Колебания с амплитудой В 9, как и вообще вынужденные колеба­ ния, устанавливаются при резонансе не сразу. Процесс установле­ ния колебаний будет аналогичен показанному на рис. 263,в. Чем меньше сопротивление, т. е. чем меньше Ь или А, тем больше вели­ чина В р\ноодновременнобудет больше и время <уустановления этих колебаний [см. формулу (94)].

Когда сопротивление отсутствует, т. е. b = h = 0, то, как было установлено, закон вынужденных колебаний при резонансе дается уравнением (89), а график колебаний имеет вид, показанный на рис. 262. Таким образом, в случае отсутствия сопротивления процесс «раскачки» системы при резонансе длится неограниченно долго, а размахи колебаний со временем непрерывно возрастают. Аналогич­ ной будет картина резонансных колебаний при очень малых сопро­ тивлениях.

3. О б щ и е с в о й с т в а в ы н у ж д е н н ы х к о л е б а ­ ний . Из*полученных выше результатов вытекает, что вынужденные колебания обладают следующими важными свойствами, отличаю­ щими их от собственных колебаний точки: 1) амплитуда вынужден­ ных колебаний от начальных условий не зависит; 2) вынужденные колебания при наличии сопротивления не затухают; 3) частота вы­

247

нужденных колебаний равна частоте возмущающей силы и от ха­ рактеристик колеблющейся системы не зависит (возмущающая сила «навязывает» системе свою частоту колебаний); 4) даже при малой возмущающей силе (Q0мало) можно получить интенсивные вынуж­ денные колебания, если сопротивление мало, а частота р близка к k (резонанс); 5) даже при больших значениях возмущающей силы вынужденные колебания можно сделать сколь угодно малыми, если частота р будет много больше k.

Вынужденные колебания и, в частности, резонанс играют боль­ шую роль во многих областях физики и техники. Например, при ра­ боте машин и двигателей обычно возникают периодические силы, ко­ торые могут вызвать вынужденные колебания частей машины или фундамента.

Процесс изменения амплитуды этих колебаний можно просле­ дить, заставляя работать на разных оборотах двигатель, для кото­ рого р=<о, где со — угловая скорость (см. задачу 117). С увеличе­ нием со амплитуда В колебаний вибрирующей части (или фундамен­ та) будет возрастать. Когда <о=Л, ■наступает резонанс и размахи вынужденных-колебаний достигают максимума. При дальнейшем увеличении со амплитуда В убывает, а когда станет (o^>k, значе­ ние В будет практически равно нулю. Во многих инженерных соо­ ружениях явление резонанса крайне нежелательно и его следует из­ бегать, подбирая соотношение между частотами р и k так, чтобы амплитуды вынужденных колебаний были практически равны нулю iP > k ) .

Противоположный пример мы имеем в радиотехнике, где резо­ нанс оказывается очень полезным и используется для отделения сигналов.одной радиостанции от сигналов всех остальных (настрой­ ка приемника).

На теории вынужденных колебаний основывается также кон­ струирование ряда приборов, например вибрографов — приборов для измерения смещений колеблющихся тёл (фундаментов, частей машин и др.) и, в частности, сейсмографов, записывающих колеба­ ния земной коры, и т. п.

Задача 117. Балка, на которой установлен мотор, прогибается от его веса на Аст= f см. При каком числе оборотов вала мотора в минуту наступит резонанас?

Р е ш е н и е . Из формулы (75').следует, что период собственных колебаний балки

г= in V K jg .

Если центр тяжести С вала мотора смещен от оси О, то на мотор будет дей­ ствовать передаваемая через подшипники вала сила Q, направленная вдоль ОС

(рис. 266; такие силы рассматриваются в § 136). Проекция силы Q на ось Ох, рав­ ная QX=Q sin at (<о— угловая скорость вала), и будет возмущающей силой, дей­

ствующей на мотор: частота этой силы р—ш. Следовательно, период вынужденных колебаний 7д=2л/ю.

Резонанс наступит, когда 7'а= Т, т. е. лри

ш *р = >Л йгА с т = 3 1 ,З с - 1 .

248

Тогда, исходя из второго закона Кирхгофа, можно установить, что заряд q конденсатора удовлетворяет дифференциальному уравнению

Сравним это уравнение с уравнением (90), в котором для общности будем счи­ тать, что вместо QoSinpf стоит Q(f); видим, что тогда оба уравнения совпадают с точностью до обозначений. Следовательно, закон рассмот­ ренных выше, механических колебаний и закон изменения

затухающим) колебаниям. Например, для периода соб­ ственных затухающих электрических колебаний в рассматриваемой цепи по фор­ мулам (77) и (82) из § 95 получим:

**=1/0., b= R /2L и Т1 = 2л1У \/CL — R44L*.

Когдаомическое Сопротивление отсутствует, Т = 2л У CL.

Электродинамические аналогии используются для моделирования соответ­

ствующих механических колебаний, в частности и в электронных аналоговых ма­ шинах.

Глава X X *

ДВИЖЕНИЕ ТЕЛА В ПОЛЕ ЗЕМНОГО ТЯГОТЕНИЯ

§07. ДВИЖЕНИЕ БРОШЕННОГО ТЕЛА В ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ ЗЕМЛИ

Задача о движении тела в поле земного тяготения возникает при изучении движения баллистических ракет и искусственных спут­ ников Земли, а также при рассмотрении проблем космических по­ летов.

Будем рассматривать движущееся тело как материальную точ­ ку массы т , а Землю считать неподвижной. Пусть в начальный мо­ мент времени эта точка находится у поверхности Земли в положении

М 0 (рис. 269) и имеет начальную скорость и0, направленную под углом а к горизонтальной плоскости. Если пренебречь сопротив­ лением воздуха (что для рассматриваемых высот полета в первом приближении допустимо), то на точку при ее движении будет дейст­

вовать только сила тяготения F, направленная к центру Земли. Как показано в §88, п. 4, модуль этой силы можно представить в вЬде

250