Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

ные условия равновесия механической системы будут изложены в

§139 и 144.

2.Докажем, что условия (40') являются не только необходимы­

ми, но и достаточными условиями равновесия для сил, действую­ щих на абсолютно твердое тело. Пусть на свободное твердое тело, находящееся в покое, начинает действовать система сил, удовлет­ воряющая условиям (40'), где О любая точка, т. е., в частности, и

точка С. Тогда уравнения (40) дают uc=const и /Cc=const, а так

как тело вначале было в покое, то vc —0 и К с ~ 0- При vc =0 точка С неподвижна и тело может иметь только вращение с угловой ско­ ростью со вокруг некоторой мгновенной оси С/ (см. § 60). Тогда по формуле (33) у тела будет K t—J Но K t есть проекция вектора

К с на ось С/, а так как /Сс—0. то и К,=0, откуда следует, чтои ш=0, т. е. что при выполнении условий (40') тело остается в покое.

3. Из предыдущих результатов вытекают, в частности, исходные

и являются уравновешенными и что если к действующим на тело силам прибавить (или от них отнять) уравновешенную систему сил, т. е. удовлетворяющую условиям (40'), то ни эти условия, ни урав­ нения (40), определяющие движение тела, не изменятся.

Глава XXV

ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

8 121. КИНЕТИЧЕСКАЯ ЭНЕРГИЯ СИСТЕМЫ

Кинетической энергией системы называется скалярная величина

Кинетическая энергия является характеристикой и поступатель­ ного, и вращательного движений системы. Главное отличие величи­

ны Г от введенных ранее характеристик Q и Ко состоит в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и притом су­ щественно положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих на­ правлений.

Отметим еще следующее важное обстоятельство. Внутренние силы действуют на части системы по взаимно противоположным на­ правлениям. По этой причине они, как мы видели, не изменяют век­

торных характеристик Q и Ко- Но если под действием внутренних сил будут изменяться модули скоростей точек системы, то при этом будет изменяться и величина Т. Следовательно, кинетическая энер­

301

гия системы .отличается от величин Q и Ко еще и тем, что на ее изме­ нение влияет действие и внешних, и внутренних сил.

Если система состоит из нескольких тел, то ее кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий этих тел.

Найдем формулы для вычисления кинетической энергии тела

вразных случаях движения.

1.П о с т у п а т е л ь н о е д в и ж е н и е . В этом случае все точки тела движутся с.одинаковыми скоростями, равными скорости центра масс. Следовательно, для любой точки vh=vc и формула (4.1) дает

T’noci = 2m*w£/2 = (2/л*) vb/2

или

Таким образом, кинетическая энергия тела при поступательном движении равна половине произведения массы тела на квадрат ско­ рости центра масс.

2. В р а щ а т е л ь н о е д в и ж е н и е . Если тело вращается вокруг какой-нибудь оси Ог (см. рис. 295), то скорость любой его точки vk—o)ЛЛ, где hh — расстояние точки от оси вращения, а <о — угловая скорость тела. Подставляя это значение в формулу (41) и вынося общие множители за скобки, получим

Твр= 2/п*(огЛ |/2= (2mkhl) ш’/2.

Величина, стоящая в скобках, представляет собой момент инер­ ции тела относительно оси г. Таким образом, окончательно найдем

т. е. кинетическая энергия тела при вращательном движении равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат его угловой скорости.

3i П л о с х о п а р а л л е л ь н о е д в и ж е н и е *. При этом движении скорости всех точек тела в каждый момент времени-рас­ пределены так, как если бы тело вращалось вокруг оси, перпенди­ кулярной плоскости движения и проходящей через мгновенный центр скоростей Р (рис. 303). Следовательно, по формуле (43)

где J P — момент инерции тела относительно названной выше оси; <■) — угловая скорость тела.

Величина J p в формуле (43') будет переменной, так как положе­ ние центра Р при движении тела все время меняется. Введем вместо J P постоянный момент инерции / с относительно оси, проходящей через центр масс С тела. По теореме Гюйгенса (см. § 1.03) JP= J C+ +М<Р, где d—PC. Подставим это выражение для JР в (43'). Учиты-

* Этот случай может быть получен как частный из рассмотренного в следую* щем пункте общего случая движения твердого тела.

302

вая, что точка Р — мгновенный центр скоростей и, следовательно, (ad=<H'PC=vc , где vc — скорость центра масс С, окончательно найдем v

Следовательно, при плоскопараллельном двиясении кинетическая энергия тела равна энергии поступательного движения со скоростью центра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного дви­ жения вокруг центра масс.

4 * . О б щ и й с л у ч а й д в и ж е н и я . Если выбрать центр масс С тела в качестве полюса (рис. 304), то движение тела в общем случае будет слагаться из поступательного со скоростью

vc полюса и вращательного вокруг мгновенной оси СР, проходящей через этот полюс (см. § 63). Пр£ этом, как показано в § 63, скорость

vh любой точки тела Bh слагается из скорости vc полюса и скорости, которую точка получает при вращении тела вокруг полюса (вокруг

оси СР) и которую мы обозначим и*, т. е. Vk=Uc-|-t>*. При этом по модулю ui=o)/tk, где ft* — расстояние точки Bh от оси СР, а <о — угловая скорость тела, которая (см. § 63) не зависит от выбора по­ люса. Тогда*

vl = v\ = (vc + v’ky = iTfc + v? + 2vc -v'k.

Подставляя это значение vl в равенство (41) и учитывая, что vh—

=0>hh, найдем

Т= (2m*) vh/2 + (Zmkhl) ш*/2+ йс2т*и*,

где общие множители сразу вынесены за скобки.

В полученном равенстве первая скобка дает массу М тела, а вторая равна моменту инерции J cp тела относительно мгновенной

_ * Из определения скалярного произведения двух векторов следует, что

v2= v v= m cos 0°= чг, т. e. скалярный квадрат вектора равен квадрату его модуля. Этот результат здесь использован; мы будем пользоваться им без оговорок и в дальнейшем.

303

оси СР. Величина же Zmktf*=0, так как она представляет собой количество движения, получаемое телом при его вращении вокруг оси СР, проходящей через центр масс тела (см. § 110). I

В результате окончательно получим

Таким образом, кинетическая энергия тела в общем случае дви­ жения (в частности, и при плоскопараллельном движении) равна кинетической энергии поступательного движения со скоростью цент­ ра масс, сложенной с кинетической энергией вращательного двиокения вокруг оси, проходящей через центр масс.

Если за полюс взять не центр масс С, а какую-нибудь другую точку А тела и мгновенная ось АР при этом не будет все время про­

для колеса мгновенным центром скоростей, то Vc=o}-BC=ii>R, откуда <о=ч‘QIR. Подставляя все эти значения, найдем

7’= Alt»J/2+Af«>t'J/4/?> = (.3/4) Mv*c .

Задача 137. В детали А, движущейся поступательно со Скоростью ~й, име­

ются направляющие, по которым со скоростью и перемещается тело В массой т. Зная угол а (рис. 305), определить кинетическую энергию тела В.

Я.

Р е ш е н_и е^_ Абсолютное движение тела В будет поступательным со ско­ ростью ti,6= iН-u (см. § 68). Тогда

Т = tftciJg/2 = m (v*+ и* + 2vu cos a)/2.

Заметим, что если тело совершает сложное движение, то его полная кинетиче­ ская энергия не равна в общем случае сумме кинетических энергий относительного и переносного движений. Так, в данном примере

Тот + Т'пер = mvl/2 + тиЧ2 Ф Т.

304