Материал: Краткий курс теоретич. механики, Тарг

Следовательно, в рассматриваемом случае элементарная работа равна произведению вращающего момента на элементарный угол поворота. Формула (46) справедлива и при действии нескольких

сил, если считать Afl= 2 m l (Fh).

При повороте на конечный угол ф* работа

Если на тело действует пара сил, лежащая в плоскости, перпен­ дикулярной оси Ог, то М г в формулах (46)—(47') будет, очевидно, означать момент этой пары.

Укажем еще, как в данном случае определяется мощность (см. § 87). Пользуясь равенством (46), находим

N = d A /d t= M z •d<p/dt=Mxu>.

Следовательно, при действии сил на вращающееся тело мощность равна произведению вращающего момента на угловую скорость тела. При той же самой мощности вращающий момент будет тем больше, чем меньше угловая скорость.

приложенная в точке В сила трения Fтр, препятствующая скольже­ нию точки вдоль плоскости. Элементарная работа этой силы dA — = F ? ds*. Но точка В в данном случае совпадает с мгновенным цент-

306

Следовательно, при качении без скольжения работа силы трения, препятствующей скольжению, на любом перемещении тела равна нулю. По той же причине в этом случае равна нулю и работа нор­

мальной реакции. N, если считать тела недеформируемыми в силу N приложенной в точке В (как На рис. 308, а).

где k — коэффициент трения качения (см. § 27). Тогда по формуле (46), учитывая, что при качении угол поворота колеса d<fi=dsc/R, получим

h

Так как величина k/R мала, то при наличии других сопротивлений сопро­ тивлением качению ■можно в первом приближении пренебрегать.

§ 128. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИКИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ СИСТЕМЫ

Доказанная в §89 теорема справедлива для любой из точек си­ стемы. Следовательно, если рассмотреть какую-нибудь точку си­ стемы с массой mh, имеющую скорость vh, то для этой точки будет

где йА‘к и 6А‘к — элементарные работы действующих на точку внеш­ них и внутренних сия. Составляя такие уравнения для каждой из точек системы и складывая их почленно, найдем, что

d (2ткоЦ2) = Zd/1J + 2dА{

или

к и н е т и ч е с к о й э н е р г и и с и с т е м ы в д и ф ф е р е н ­ ц и а л ь н о й ф о р м е . Проинтегрировав обе части этого равен­ ства в пределах, соответствующих перемещению системы из неко­ торого начального положения, где кинетическая энергия равна То, в положение, где значение кинетической энергии становится равным 7\, получим

Это уравнение выражает теорему об изменении кинетической энергии в другой (интегральной) форме: изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ

307

2 0 '

Как видим, изменение кинетической энергии системы зависит от работы и активных сил и реакций связей. Однако можно ввести понятие о таких «идеальных» механических системах, у которых наличие связей не влияет на изменение кинетической энергии систе­ мы при ее движении. Для таких связей должно, очевидно, выпол­ няться условие

2(М1 = 0. (52)

Если для связей, не изменяющихся со временем, сумма работ всех реакций при элементарном перемещении системы равна нулю, то такие связи являются идеальными *. Укажем ряд известных нам видов идеальных связей.

В § 89 было установлено, что если связью является неподвижная поверхность (или кривая), трением о которую можно пренебречь, то при скольжении тел вдоль такой поверхности (кривой) работа

реакции N равна нулю. Затем в§ 122 показано, что если пренебречь деформациями, то при качении без скольжения тела по шероховатой

поверхности работа нормальной реакции N и силы трения Fтр (т. е. касательной составляющей реакции) равна нулю. Далее, работа

реакции R шарнира (см. рис. 10 и 11), если пренебречь трением, бу­

дет также равна нулю, поскольку точка приложения силы R при любом перемещении системы остается неподвижной. Наконец, если на рис. 309 материальные точки Вг и В, рассматривать как связан­

ные жестким (нерастяжимым) стержнем BtB t, то силы Fi, и F nl будут реакциями стержня; pa6ofa каждой из этих реакций при перемеще­ нии системы не равна нулю, но сумма этих работ по доказанному дает нуль. Таким образом, все перечисленные связи можно с уче­ том сделанных оговорок считать идеальными.

Для механической системы, на которую наложены только не изменяющиеся со временем идеальные связи, будет

Таким образом, изменение кинетической энергии системы с иде­ альными, не изменяющимися со временем связями при любом ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении приложенных к системе внешних и внутренних активных сил.

Все предыдущие теоремы позволяли исключить из уравнений движения внутренние силы, но все внешние силы, в том числе и наперед неизвестные реакции внешних связей, в уравнениях сохра­ нялись. Практическая ценность теоремы об изменении кинети­ ческой энергии состоит в том, что при не изменяющихся со време­ нем идеальных связях она позволяет исключить из уравнений дви­ жения все наперед неизвестные реакции связей.

Общее понятие об идеальных связях определено в § 139.

309

s 124. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Теорема об изменении кинетической энергии в случаях, когда движущаяся система является неизменяемой, позволяет исключить из рассмотрения все неизвестные внутренние силы, а при идеаль­ ных, не изменяющихся со временем связях — и наперед неизвест­ ные реакции внешних связей.

В случае изменяемой системы теорема дает решение задачи толь­ ко тогда, когда внутренние силы наперед известны. Если же эти силы не известны (задачи 123, 127 и им подобные), то получить ре­ шение с помощью одной только этой теоремы нельзя.

Уравнение (50) позволяет легко решать те задачи, в которых в число данных и искомых величин входят: 1) действующие силы; 2) перемещение системы; 3) скорости тел (линейные или-угловые) в начале и в конце перемещения. При этом действующие силы долж­ ны быть постоянными или зависеть только от перемещений (расстоя­ ний).

Важно также иметь в виду, что с помощью теоремы об изменении кинетической энергии можно (когда положение системы определя­ ется одним параметром) составлять дифференциальные уравнения двиокения системы и, в частности, находить ускорения движущихся тел; при этом на систему могут-вообще действовать и любые перемен­ ные силы (см. задачи 141— 143 и задачу 154 в § 130).

Задача 139.* Стержень А В длиной / подвешен на шарнире в точке А (рис. 310). Пренебрегая трением в шарнире, найти, какую наименьшую угловую скорость <i>0 надо сообщить стержню, чтобы он отклонился до горизонтального положения.

Р е ш е н.и е. В число данных и искомых в задаче величин входят Шд, щ = 0 и перемещение системы, определяемое углом В^АВ^. Следовательно, для решения

Обозначая массу стержня через М , вычислим все входящие в это уравнение величины. По формуле (43) и формуле (6) из § 102 находим

70 = / ий4/2 = Л1/*о4/6.

Так как в конечном положении скорость стержня равна нулю, то Т’|= 0 . Нало­ женная связь является идеальной (шарнир >4); следовательно, работу совершает

только активная сила P = M g и А * = —P h c = —Mgl/2. Подставляя все эти зна-

310